Cours PC Brizeux Ch DF3 Dynamique locale des fluides parfaits

De
Publié par

Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29 - 29 - C H A P I T R E D F 3 DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS Dans ce chapitre, nous allons relier l'écoulement d'un fluide aux actions qu'il subit. Nous privilégions le point de vue eulérien, c'est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant de champs tels que ? r v (M, t), P(M, t) et ?(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s'agit bien d'une dynamique locale. Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5 équations pour sa résolution… Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l'étude de fluides parfaits où n'intervient donc aucune force de viscosité. 1. EQUATION D'EULER - APPLICATIONS 1.1. Expression Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : dm ? D r v Dt = ? d r f où ? D r v Dt représente l'accélération de la particule et ? d r f la résultante des forces subies par l'élément dm.

  • masses volumique

  • forces massiques

  • conservation

  • accélération locale

  • pression hydrostatique

  • ecoulement

  • dynamique locale des fluides parfaits


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 59
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 17
Voir plus Voir moins

Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 29

C H A P I T R E D F 3
DYNAMIQUE LOCALE DES
FLUIDES PARFAITS



Dans ce chapitre, nous allons relier l’écoulement d’un fluide aux actions qu’il subit. Nous
privilégions le point de vue eulérien, c’est-à-dire la connaissance, en tout point du fluide et à tout instant r
de champs tels que v (M, t), P(M, t) et ρ(M, t). Nous établirons des relations différentielles ou de
conservation entre ces grandeurs et les actions subies : il s’agit bien d’une dynamique locale.
Remarquons dès à présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5
équations pour sa résolution…
!
Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune
force de viscosité.


1. EQUATION D’EULER - APPLICATIONS


1.1. Expression

Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit
le mouvement, on a : r r Dv
dm = df
Dt r r Dv
df où représente l'accélération de la particule et la résultante des forces subies par l'élément dm.
Dt
!
! En privilégiant la description volumique des forces et en faisant apparaître le rôle spécifique des r
! forces de pression, df s’écrit : r r !
df = ( f - gradP) dτ v

En écrivant dm = ρ dτ, il vient : ! r r r r "v
! ρ[ (v .grad)v + ]= f - gradP ! ! v "t

Cette équation, qui n'est autre que la relation locale de la résultante cinétique, est appelée équation r
d'Euler. Une division par ρ fait apparaître les forces massiques f et une deuxième forme de l’équation ! ! ! m !
d’Euler. Nous retiendrons :


! r r r r r r r r "v "v gradP
ρ[ + (v .grad)v ] = f - gradP + (v .grad)v = f - v m ""t "t
Equation d’Euler

! ! ! ! !
! ! - 29 - ! Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 30

1.2. Equation locale de la statique des fluides

Le cas particulier d’un fluide au repos dans un référentiel R s’obtient très facilement comme un cas
particulier de l’équation d’Euler :

r r
Pour un fluide en équilibre :0 = f - gradP v
r
Rq. Dans un référentiel non galiléen, f inclut les forces volumiques d’inertie... v
! ! !
Par exemple, si l’on suppose le fluide seulement soumis aux forces de pesanteur telles que r r r
f = ρg = - ρg e , avec un axe vertical z ascendant,cette relation redonne la forme scalaire simple en v z !
projection sur z :
dP = - ρg dz

! ! ! Il est important de remarquer que la répartition de pression n’est pas la même dans un fluide au
repos,où on parle de pression hydrostatique, et dans le même fluide en mouvement. En particulier, le
théorème d’Archimède, qui utilise la pression hydrostatique pour calculer la résultante des forces
pressantes exercées par un fluide sur un objet immergé, n’est plus valable dans un fluide en
mouvement…


1.3. Détermination des grandeurs locales associées à un fluide en écoulement : recherche
d’un système complet d’équations

L'équation d'Euler, vectorielle, fournit 3 équations scalaires et la relation locale de conservation de la
masse 1 équation scalaire : d’après la remarque faite en introduction, il « manque » alors une équation
pour pouvoir résoudre le problème.
Le problème est évidemment immédiatement résolu si le fluide est homogène incompressible : la
masse volumique devient alors une constante ρ connue dans tout l’écoulement. Les équations locales 0
deviennent alors :
r r # & r r r "v P
div v = 0 (v .grad)v + = f - grad % ( m "t " $ ' 0
(On notera le passage de la constante ρ à l’intérieur du gradient …) 0

! ! ! ! Dans le cas où la masse volumique reste une inconnue du problème, nous pourrions penser ajouter ! ! une équation en introduisant une équation d’état du fluide. Cependant, c’est une équation de type
thermodynamique qui introduit en général une nouvelle grandeur a priori également inconnue : le champ
de température T(M, t). Il apparaît donc qu’une nouvelle équation est nécessaire. Cette équation sera en
fait une équation de comportement du fluide au cours de l’écoulement (équation souvent de nature
thermodynamique).

La lenteur des échanges thermiques permet souvent de considérer que ces échanges sont négligeables
entre particules de fluide. Le comportement du fluide est alors adiabatique. Si de plus on néglige toute
irréversibilité due à une diffusion thermique ou à la viscosité, l’hypothèse isentropique peut alors être
envisagée. Ainsi, pour un fluide tel qu’un gaz parfait en évolution isentropique, la loi de Laplace fournit
alors une relation supplémentaire entre P et ρ, de la forme :

-γPρ = cste
- 30 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 31

Enfin, dans la résolution des équations différentielles de l’écoulement, la recherche des solutions
devra en outre tenir compte des conditions aux limites que nous avons déjà évoquées, tant au niveau de
la vitesse que de la pression.


1.4. Une conséquence importante de l’équation d’Euler pour les
écoulements unidirectionnels

Par définition, un écoulement unidirectionnel est tel que le vecteur vitesse garde une direction fixe
constante. Le champ des vitesses peut alors être modélisé par une loi du type :
r r
v = v(x, y, z, t) e x

r "v r "v r
L’accélération particulaire s’écrit alors a = e + v e . Si on projette alors l’équation d’Euler x x "t "x! !
sur un axe orthogonal à l’écoulement ( y ou z par exemple), on obtient :
r r ! ! ! e 0 = ( f - gradP). yv ! !

Ce qui conduit au résultat :

! ! !
Dans un écoulement unidirectionnel, la répartition de pression est
hydrostatique dans une direction orthogonale à l’écoulement


1.5. Intégration de l’équation d’Euler le long
d’une ligne de courant

L’équation d’Euler est également souvent utilisée en l’intégrant le long d’une ligne de courant.
Remarquons tout d’abord qu’une identité mathématique affirme que :
2r r v r r
(v .grad)v = grad( ) + rot v ∧ v 2

En utilisant cette identité l’équation d’Euler devient :
! ! ! ! ! r ! 2 r r r v "v gradP
rot v v grad ( ) + ∧ + = f - m 2 "t "

Multiplions alors scalairement tous les termes de l’équation par un élément de la ligne de courant qui
r r r r ! ! ! ! ! s’écrit nécessairement dr =v dt. Cette opération permet d’annuler le terme en rot v ∧ v , ce qui est ! ! !
justement l’intérêt de choisir un élément d’une ligne de courant. Il reste :

r 2 r r r r r v "v gradP! ! ! ! ! grad ( ).dr + . dr = f .dr - . dr m 2 "t "
r
Très souvent,les forces massiques f dérivent d’une énergie potentielle e (elle-même massique) de m pm r ! ! ! ! ! ! sorte que nous puissions écrire : f = - grade ! m! pm !
- 31 -
!
! ! Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 32
r r
Prenons par exemple les forces de pesanteur, pour lesquelles = . Dans le cas d’un champ de f g m
pesanteur uniforme, et avec le choix d’un axe vertical ascendant z, dont l’origine est également celle des
énergies potentielles, on a : r
f = - grad(gz) m ! !

Rassemblons les deux gradients et l’équation devient :

r ! ! 2r r gradP r "v v
.dr + grad(e + ).dr + . dr = 0 pm
"t 2 "

En intégrant entre deux points A et B d’une ligne de courant :
! ! ! !
! ! ! B B
Br 2" % r r "v v gradP
.dr + e + + . dr = 0 " $ ' "pm
"t 2 " # & AA A

Cette relation sera utilisée dans des écoulements non permanents : elle permet, dans des cas à
! !
géométrie simple, de calculer l’accélération locale. Nous allons voir un prolongement très utile de cette ! ! !
intégration de l’équation d’Euler, en ajoutant des hypothèses simplificatrices supplémentaires : ! !



2. RELATION DE BERNOULLI


2.1. Expression et interprétation

En ajoutant des caractéristiques particulières à l’écoulement d’un fluide parfait, nous pouvons obtenir
un prolongement intéressant de l’équation d’Euler. La relation obtenue, qui exprimera la conservation
d’une certaine grandeur sur tout ou partie du fluide, et appelée équation de Bernoulli, peut prendre en
fait différentes formes suivant les caractéristiques de l’écoulement, l’ensemble formant « les » relations
de Bernoulli. Nous n’envisagerons cependant que les 2 formes les plus simples de cette relation.

Rappelons que, lors de l’intégration de l’équation d’Euler, nous avons déjà supposé que les forces autres
que les forces de pression dérivent d’une énergie potentielle qu’on peut écrire sous forme massique e pm

Nous ajoutons deux hypothèses supplémentaires :

- L’écoulement est homogène incompressible ρ = ρ = cste dans tout l’écoulement 0

- Le régime est permanent
# & gradP P
La première hypothèse permet de passer la constante ρ dans le gradient si bien que =grad , % ( 0 " "$ ' 0r
"v
La deuxième hypothèse supprime évidemment le terme
"t
B
2# & v P! ! L’intégration précédente de l’équation d’Euler se simplifie alors en : e + + = 0 % ( pm
2 "$ ' 0 A
!
- 32 -
! Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 33

Ce qui peut encore s’énoncer :

Pour un écoulement homogène incompressible, permanent, soumis aux seules forces de
pression et à des forces dérivant d’une énergie potentielle :
2v P
La grandeur e + + est conservée le long d’une ligne de courant pm
2 "0

Il est important de remarquer que cette expression peut en revanche varier d’une ligne de courant à
une autre.
!
Cependant, si on ajoute enfin une dernière hypothèse disant que l’écoulement est non tourbillonnaire, le
r r
terme rot v ∧ v disparaît de lui-même si bien que nous n’avons plus à intégrer le long d’une ligne de
courant, mais entre deux points quelconques.

Pour un écoulement homogène incompressible, permanent,non tourbillonnaire et ! ! !
soumis aux seules forces de pression et à des forces dérivant d’une énergie potentielle :
2v P
La grandeur e + + est conservée dans tout l’écoulement pm 2 "0

L’équation de Bernoulli n’est autre qu’une équation locale de conservation de l’énergie :
2v P! l’expressione + + représente en effet l’énergie mécanique massique associée à une particule de pm 2 "0
fluide :

2v
! - est l’énergie cinétique massique
2
- e est l’énergie potentielle massique des forces autres que celles de pression pm
P
- représente une énergie potentielle massique associée aux forces de pression
"0!

2" v0Remarque : on peut évidemment aussi écrire : + P + e = cste pv
2!
2" v0Nous appellerons pression dynamique le terme (évidemment homogène à P) et pression
2
2" v0! totale ou pression de stagnation la somme + P. Pour mieux comprendre la signification de ces
2
termes, prenons l’exemple d’un écoulement uniforme horizontal arrivant sur un obstacle.
!


! P0 PA
r
V 0


2
" v0Ecrivons la conservation de + P + e sur la ligne de courant horizontale arrivant en A sur pm ! 2
l’obstacle, entre l’infini et A :

! - 33 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 34

- A l’infini, on retrouve l’écoulement uniforme, de pression P et de vitesse v . 0 0

- en A, la vitesse est nécessairement nulle et la pression est notée P A

La ligne de courant étant horizontale, si nous considérons les seules forces de pesanteur, e est pm
identique sur tous les points de la ligne. On a alors :
2" v0 + P = P A
2

D’où le vocable de pression totale ou pression de stagnation en A...

!
2.2. Applications de la relation de Bernoulli

2.2.1. Jet homocinétique à l’air libre

Considérons l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible sous forme d’un jet libre, de vitesse r r
v = ve : on parle de jet homocinétique. x
P0
! !

P0

Supposons en outre que les seules forces intervenant sont les forces de pression (les forces de pesanteur
étant en fait considérées comme négligeables)), si bien que la relation de Bernoulli s’écrit :
2 Pv
+ = cste dans tout le jet
2 "0

La vitesse étant la même en tout point du jet, nous pouvons en dire autant de la pression. Aux bords du
jet, au contact de l’atmosphère, la pression vaut P . C’est donc la pression en tout point du jet : 0! !
Dans un jet homocinétique à l’air libre, la pression, uniforme, est égale à
celle de l’atmosphère.

2.2.2. Effet Venturi

Nous considérons ici un écoulement stationnaire homogène incompressible, soumis aux seules forces
de pression, dans une conduite de section variable Le problème sera en outre supposé unidimensionnel :
toutes les grandeurs ont une valeur uniforme sur une section droite de la conduite.

La conservation du débit volumique entre les sections d'aires S et S donne : S v = S v 1 2 1 1 2 2

- 34 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 35

S2S1 r r
V V 2 1
! !


L'application de la relation de Bernoulli entre deux points de ces sections donne alors :

2 2
P v P v1 1 2 2 + = +
" 2 " 20 0

Si S > S => v < v => P > P . Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Venturi : 1 2 1 2 1 2
! ! ! !
Effet Venturi :
Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régions de basse pression.


Nous retrouvons une forme de l’effet Venturi dans « l’effet de sol » : l’écoulement d’un fluide comme
l’air sous une plaque inclinée, a tendance à la plaquer au sol (Cet effet a parfois été utilisé pour augmenter
la tenue de route des voitures de compétition). L’expérience peut être facilement réalisée en soufflant de
l’air sous une feuille de papier

L’expérience de la balle de ping-pong, aspirée vers une région de faible section (le sommet de
l’entonnoir) donc également de faible pression, constitue une autre illustration spectaculaire de l’effet
Venturi.

Soufflerie
écoulement d'air
sortie de l'écoulement par un entonnoir
(conduite de section croissante)
balle de ping-pong


- 35 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 36

Une dépression est donc observée au niveau du rétrécissement d’une conduite : cet effet a de
nombreuses applications. Citons par exemple la trompe à eau où un étranglement d'une conduite d'eau est
relié à un récipient où l'on souhaite faire le vide.

Le tube de Venturi constitue une autre application permettant de mesurer des débits :

A2
hA
B2A1
hB
B1
BA


SALe tube possède un rétrécissement au niveau du point B , si bien que v = v > v . B A A
SB
En outre, on a disposé des tubes latéraux, ouverts à l’air libre : dans ces tubes, qui ne perturbent que très
peu l’écoulement, le fluide est au repos, et nous pourrons montrer qu’il y a continuité de la pression en A 1
(Ceci n’est d’ailleurs pas évident, puisque nous admettons au contraire une discontinuité de la vitesse : la
! relation de Bernoulli ne peut donc s’appliquer sur une ligne qui passerait par A : nous devrons en fait 1
remettre en cause le caractère « parfait » du fluide. Ce point sera discuté dans un prochain chapitre...).
L’écoulement en A et B est unidirectionnel et la variation de pression entre A et A, ou B et B, est 1 1
purement hydrostatique. Il en est de même entre A et A , ou B et B , le fluide étant au repos dans les 1 2 1 2
tubes. D’où :

P - P = P - P = ρgh et P - P = P - P = ρgh A2 A 0 A A B2 B 0 B B

Enfin, sur la ligne de courant allant de A à B, on écrit la relation de Bernoulli en régime stationnaire
pour un fluide incompressible :
2 2
P v P vA A B B + = +
" "2 2

2 2v v 2g(h "h )A B A BD’où h + = h + => v = A B A 22g 2g # & ! ! S! ! A "1% (
S$ ' B
2g(h "h )A BLe tube peut donc mesurer le débit volumique D du fluide : D = S v = S v V A A A 2! ! # & SA "1% (
! S$ ' B

2.2.3. Effet Magnus : portance
!
Nous nous plaçons ici dans le cas d’un écoulement stationnaire homogène incompressible : on peut
alors appliquer la relation de Bernoulli sur une ligne de courant.

- 36 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 37

L’écoulement, supposé uniforme à l’infini, est perturbé par un obstacle bidimensionnel. Cette
dénomination n’implique pas nécessairement que l’obstacle soit plan, mais qu’on puisse se ramener à une
étude dans le plan : ce sera par exemple le cas pour un cylindre placé dans un écoulement dont les lignes
de courant sont contenues dans des plans orthogonaux à l’axe du cylindre, de sorte que le problème soit
identique dans chacun de ces plans. Plus généralement tout obstacle de type cylindrique, dont la section
droite a une forme quelconque, répondra à cette définition.

Prenons pour exemple le cas de l’écoulement autour d’un cylindre à base circulaire : la symétrie de la r r r
figure implique l’égalité des vitesses et des pressions aux points A et B : v = v = v , P = P . A B A B
r
V 0
! ! !
P0 A0€
B0


r
Supposons à présent le cylindre en rotation de vecteur " autour de son axe. Nous admettons que le
caractère réel (c’est à dire visqueux) du fluide entraîne sa rotation au contact du cylindre. On peut alors
procéder par superposition : l’écoulement résultant est la somme de l’écoulement précédent et d’un
écoulement de type vortex dû à la rotation du cylindre.
!
r r r r r r
Il en résulte qu’en A et B, les vitesses sont à présent : v = v + RΩ e et v = v - RΩ e . La relation A Bx x
de Bernoulli peut être écrite sur les lignes de courant allant de A à A et B à B. A et B , très éloignés de 0 0 0 0r
l’obstacle, sont caractérisés par des mêmes valeurs de v et P : v > v entraîne alors P < P . A B A B

! ! ! ! ! ! Cette différence de pression engendre une force verticale (donc perpendiculaire à l’écoulement en
l’absence d’obstacle) ici ascendante étant donné le sens de rotation supposé : ce phénomène est appelé
! effet Magnus.(Pour une étude plus complète du phénomène, voir l’exercice...) Nous le retrouvons quand
on suppose l’obstacle mobile dans un fluide au repos loin de l’obstacle (il suffit de se placer dans le
référentiel lié à l’obstacle pour retrouver le cas précédent) : l’obstacle subit alors une force orthogonale à
son déplacement principal.

L’effet Magnus explique alors les trajectoires incurvées de balles qu’on a frappées en leur imprimant
un mouvement de rotation : balles « brossées » au football, balles « liftées » ou « coupées » (suivant le sens
de rotation) au tennis

Plus généralement, ce peut être la forme même de l’obstacle qui, par sa dissymétrie, engendre des
valeurs différentes de la vitesse et donc de la pression en des points situés « en dessous » et « en dessus »
de l’obstacle. C’est le cas des ailes d’avion dont le profil est à l’origine de la force qui s’exerce vers le haut
(dirigée de « l’intrados » vers « l’extrados » de l’aile) : cette force est appelée force de portance. Nous en
étudierons plus précisément le calcul dans un chapitre ultérieur. Retenons cependant dès à présent que
l’existence d’une force de portance est subordonnée à celle d’une circulation de fluide non nulle
autour de l’obstacle (comme c’est le cas pour le cylindre en rotation...).




- 37 - Cours PC Brizeux Ch. DF3 : Dynamique locale des fluides parfaits 38

r
F Por tan ce
extrados
!
r r
V 0 F Trainée
intrados

! !
2.2.4. Vidange d’un réservoir : formule de Torricelli

On considère ici un réservoir muni d’un orifice par lequel un fluide incompressible peut s’écouler et on
cherche à déterminer la vitesse v d’éjection du fluide au niveau de cet orifice.

L’écoulement étudié n’est pas rigoureusement stationnaire, mais si la section s de l'orifice est petite
devant la surface libre S, nous pourrons négliger l’accélération locale devant l’accélération convective dans
la plus grande partie de l’écoulement et donc appliquer la relation de Bernoulli des écoulements
stationnaires.

S
A
h
B
v· s

Nous avons vu précédemment que la pression du jet libre en B est égale à la pression
atmosphérique. L'application entre A et B, points d'une même ligne de courant, de la relation de
Bernoulli donne directement :
2 2v vAgh + = gh + A B
2 2

La conservation du débit volumique implique Sv = sv. L’hypothèse S >> s implique donc également A
v << v . D’où, avec h = h - h : A A B
! !
2formule de Torricelli : v = 2gh
vitesse d’éjection d’un fluide au niveau d’un orifice surmonté d’une hauteur h de fluide






- 38 -

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi