Cours PC Brizeux Ch E3 Régimes stationnaires

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Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 21 - 21 C H A P I T R E E 3 RÉGIMES STATIONNAIRES 1. LE CADRE DES REGIMES STATIONNAIRES Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c'est-à-dire indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute dérivée du type ! t est donc identiquement nulle. En particulier les distributions de charges seront telles que ! _ t = 0. En ce qui concerne l'étude du champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d'étude. Il est cependant plus large puisqu'on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut : imaginons par exemple le cas d'un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à son axe. L'équation de conservation de la charge implique qu'en régime stationnaire, une distribution de courants est nécessairement telle que ! divj ! = 0 . Ceci revient à dire que le flux de ! j est le même à travers toute section d'un tube de courant : en régime stationnaire, pour des circuits filiformes, l'intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps (on parle souvent de courant continu).

  • potentiels correspondants

  • masse

  • propriété

  • équation locale

  • surface fermée

  • loi de coulomb

  • extension infinie

  • champ electrique


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 21

CHAPITRE E3
RÉGIMES STATIONNAIRES


1. LE CADRE DES REGIMES STATIONNAIRES


Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c’est-à-dire
indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute
"
dérivée du type est donc identiquement nulle.
"t
"#
En particulier les distributions de charges seront telles que = 0. En ce qui concerne l’étude du
"t
champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes
! statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d’étude. Il est cependant plus large
puisqu’on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut :
! imaginons par exemple le cas d’un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à
son axe.

L’équation de conservation de la charge implique qu’en régime stationnaire, une distribution de
courants est nécessairement telle que divj =0 . Ceci revient à dire que le flux de j est le même à
travers toute section d’un tube de courant : en régime stationnaire, pour des circuits filiformes,
l’intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps
(on parle souvent de courant continu).
! ! !
Rq. La loi des noeuds est une autre conséquence de div j = 0. Sur la figure ci-dessous, un courant I
se répartit dans deux branches en I et I . Si l’on écrit que le flux de est nul à travers la surface fermée j 1 2
Σ, on obtient, compte tenu des changements d’orientation de surface au passage
surface ouverte - surface fermée : !
!
S1
I1
n
n


I2
n
S2

j dS = 0 = j dS + j dS + j dS =$I + I + I 1 2"" "" "" ""
# S S S1 2
d’où la loi des nœuds : I = I + I . 1 2
- 21
! Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 22

2. CHAMP ELECTRIQUE STATIONNAIRE

2.1. Rappel de la loi de Coulomb

Considérons une distribution volumique de charges ρ(P) à l’intérieur d’un volume τ. Le champ E
stationnaire créé en tout point M de l’espace est donné par :

1 $(P)u M! E(M) = d&
2''' 4"# r0
P%& u r
P
Cette expression est applicable pour toute
distribution, même d'extension infinie. Elle est d"! ! connue sous le nom de loi de Coulomb.

Pour des distributions d’extension finie, le
! potentiel V associé est calculable par :

ρ(P)1
V(M) = ∫∫∫ dτ τ 4πε r0

Rq.1 Ces expressions s'étendent aux distributions limites surfaciques, linéiques et ponctuelles en
remplaçant l'intégrale volumique en intégrale surfacique, curviligne ou simple somme.

Rq.2 L’expression du potentiel montre notamment qu’il tend vers 0 quand on s'éloigne à l'infini
de la distribution. C'est un choix qui rend unique la solution prise pour le potentiel.


2.2. Propriétés fondamentales

2.2.1. Flux et divergence : Théorème de Gauss

Comme nous l’avons remarqué au chapitre précédent, l’équation de Maxwell-Gauss est la même
dans tout type de régime. Les propriétés associées s’appliquent donc au champ électrique stationnaire.
Rappelons que cette équation s’écrit :
"
divE =
#0
EAinsi le flux de à travers toute surface fermée s’écrit :

!
! le flux de E à travers toute surface fermée est égal au quotient par ε de la charge 0
! totale contenue dans le volume délimité par cette surface :

Q! intE.dS = ## "0
S
- 22
! Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 23

Le théorème de Gauss permet par exemple, par un choix de surfaces judicieux, de calculer E plus
facilement que par la loi de Coulomb, dans des problèmes à forte symétrie où la direction du champ est
connue à priori.

!
Ainsi, pour des distributions à symétrie sphérique, le champ à l’extérieur de la distribution est
le même que si la charge était rassemblée en son centre.

2.2.2. Circulation et Rotationnel : potentiel V

En régime stationnaire, l’équation de Maxwell-Faraday s’écrit :

rotE= 0

Tout champ vectoriel à rotationnel identiquement nul dérive d’un gradient. C’est pourquoi nous
pouvons associer au champ E un scalaire V, défini à une constante additive près. ! ! !
L’usage veut qu’on ait en fait posé :

E = " gradV !

On retrouve bien évidemment la forme particulière de la relation liant en général le champ r
"A ! ! électrique aux potentiels V et A en régime stationnaire où le terme - est identiquement nul…
"t
En outre, le théorème de Stokes transforme ces propriétés locales en propriétés intégrales : ainsi,
tout champ électrique stationnaire est à circulation conservative : sa circulation le long d'un contour
fermé est toujours nul! le.
!
E.dl = 0 : tout champ E stationnaire est à circulation conservative "
C

De même : ! ! !
!
2r
"C E .dr = V – V 1 2#
1
C
La circulation d’un champ électrique stationnaire le long de tout contour allant d’un point 1 à
un point 2 est égale à la différence de potentiel entre le premier et le deuxième point.

! D’un point de vue topographique, nous pouvons dire, de façon un peu imagée, que le champ
électrique stationnaire ne « tourne » pas. Plus concrètement, les lignes de champ, qui ne peuvent se
refermer, sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et dirigées vers les potentiels
décroissants.

2.2.3. Équation de Poisson
ρ
Combinons enfin divE = et E = - gradV. Nous obtenons : ε0
ρ "
div (-gradV) = => ΔV + = 0 ε0 #0
! ! !
- 23
!
! Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 24

Cette équation, appelée équation de Poisson, constitue en fait une équation locale relative au
potentiel V, équation qui le relie à ses sources.
C’est l’intégration de cette équation sur une distribution de charges d’extension finie, avec le choix
d’un potentiel nul à l’infini, qui aboutit à la loi de Coulomb du potentiel :

1 $(P)
V(M) = dτ ### 4"# r0"

E☞ Remarquons enfin que les deux équations de Maxwell relatives à per mettent de
« construire » totalement le champ électrique stationnaire et contiennent notamment la loi de ! !
Coulomb qui en est une conséquence .

!

2.3. Analogie champ électrostatique – champ gravitationnel

2.3.1. Force d’interaction gravitationnelle

La force d’interaction gravitationnelle qui m2
s’exerce entre deux masses ponctuelles m et 1 F1"2
mm1 2m a pour expression : F1"2 =#G u , 2 r2r r
force qu’exerce la masse m sur la masses m 1 2 !
où G représente la constante de
mgravitation universelle 1
!
ur
-11 2 -2 G = 6,67.10 N.m .kg .

qq! 1 2Cette expression est analogue à celle de l’interaction électrostatique : F1"2 = u . r24#$ r0
Les différences fondamentales entre ces deux forces proviennent d’une part du fait que l’interaction
gravitationnelle est forcément attractive alors que l’interaction électrostatique peut être répulsive, et
d’autre part du fait que la gravitation joue un rôle négligeable à l’échelle atomique face à l’interaction
! électrostatique alors que c’est le contraire à l’échelle macroscopique (la matière est globalement neutre).

2.3.2. Champ gravitationnel
On peut donc considérer que la masse m crée dans tout l’espace un champ gravitationnel que peut 1
m1ressentir toute masse m placée en son voisinage : G ="G u . 2 r2r
µ(P)u
Pour une distribution volumique de masse, nous aurons donc : G(M) = "G d$
2%%% r
P#$ !
Cette expression est applicable pour toute distribution, même d'extension infinie. µ(P) représente la
masse volumique au point P.
!



- 24 Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 25

2.3.3. Théorème de Gauss pour les champs gravitationnels

L’analogie entre formelle entre ces deux types
Md’interaction dites Newtonienne est la suivante :

u rElectrostatique Gravitation
Pq m
1
d"! -G 4"#0

Le théorème de Gauss de l’interaction gravitationnel
! est donc :
!
G.dS =#4$GM int""
S

Gqui permet de déterminer le champ gravitationnel crée par une distribution de masse. Dans cette
expression, M représente la masse comprise dans le volume délimité par la surface fermée S. int !

Nous allons à présent étudier plus particulièrement deux exemples de distributions de charges et les
!
champs et potentiels correspondants :

- le condensateur plan idéal

- les distributions dipolaires


2.4. Le condensateur plan idéal

2.4.1. Champ et potentiel

Nous modélisons un condensateur plan idéal par deux plans conducteurs infinis parallèles, distants de
e, et portant des densités superficielles uniformes σ et - σ sur leurs faces en regard :

E +
C+


E
E +



- 25 Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 26

En réalité, un condensateur réel, de taille finie, est caractérisé par des effets de bord qui le
différencient du modèle idéal. Cependant, quand les dimensions des faces du condensateur sont grandes
devant l’épaisseur e, le condensateur se rapproche du modèle idéal, ce qui justifie son intérêt.

La symétrie du système montre que le champ E est de la forme E = E(z)e . z

En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre d’axe z, interne au condensateur, et donc vide de
charges, on voit que E est uniforme. En appelant enfin U la différence de potentiel entre les plaques, ! ! ! nous obtenons, en faisant circuler le champ d’une plaque à l’autre : U = Ee.

Nous aurions pu aussi calculer directement le potentiel entre les plaques à partir de l’équation de
!
Poisson : par symétrie, le potentiel ne dépend que de z (les surfaces équipotentielles sont des plans
2d V
horizontaux). L’équation de Poisson entre les plaques devient ΔV = 0, soit = 0. D’où V = az + b.
2dz
U dV U
Soit encore V = z + b et enfin E = -gradV = - e = - e . z ze dz e

! Nous pouvons enfin calculer le champ en fonction de σ.
! ! ! !
! ! !
Par superposition, E est la somme des champs créés par chacun des plans :
" "
Le plan σ crée le champ E = - e pour z < e, et e pour z > e (il suffit d’appliquer Gauss à + z z
2# 2#0 0
un cylindre du type C ). + !
" "
De même le plan - σ crée E = + e pour z < 0, et - e pour z > 0. -! z z! ! 2# 2#0 0! !

"
Le champ E est donc nul à l’extérieur des plaques et vaut - e entre les plans. ! z! ! #0! !

Rq. Nous retrouvons la discontinuité de la composante normale du champ E à la traversée d’une
! ! "
surface chargée σ, égale à , conséquence conj!oi nte des équations de Maxwell et du modèle
#0
surfacique. !

2.4.2. Capacité d’un condensateur plan !

Pour un condensateur réel, dont les plaques ont une surface S, la charge portée par la plaque chargée
U
σ est q = σS (l’autre plaque porte alors la charge - q). D’où q = ε ES = ε S. Cette charge est donc 0 0
e
proportionnelle à la différence de potentiel entre les plaques : le facteur de proportionnalité est la
capacité du condensateur, grandeur positive exprimée en farads. Tout condensateur possède une
capacité C telle q = CU. Pour le condensateur plan :
!
q = CU C capacité d’un condensateur
S
condensateur plan C = ε 0
e


!
- 26 Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 27

2.4.3. Aspect énergétique

Nous savons qu’un condensateur possédant une charge q a également une énergie qui s’exprime par

21 q
E = E
2 C

Nous pouvons exprimer différemment cette énergie en faisant intervenir le champ E créé entre les
plaques du condensateur. En raisonnant sur l’exemple du condensateur plan :
! !
2 2 21 q 1 " S e 1 12 2 ! E = = = ε E Se = ε E τ E 0 02 C 2 # S 2 20

Cette dernière expression fait apparaître l’énergie comme distribuée dans le volume τ =Se du
1 2! ! ! ! ! condensateur avec la densité volumique d’énergie (ici uniforme) w = ε E . ! E 0
2

Nous verrons dans le prochain chapitre que ce résultat est tout à fait général :

!
EA toute distribution de charges créant, à priori dans tout l’espace, un champ , est associée une
énergie répartie également dans tout l’espace,
1 2avec la densité volumique w = ε E E 0
2 !

Cette énergie représente en fait l’énergie nécessaire pour constituer la distribution de charges
(charges qui sont en interaction) et par la même pour établir le champ E. !


! 2.5. Distribution dipolaire

2.5.1. Potentiel créé à grande distance par une distribution de charges quelconque

Parmi toutes les distributions de charges, les distributions dipolaires constituent un groupe
particulièrement intéressant : considérons en effet une distribution volumique caractérisée par ρ en
tout point d'un volume fini τ et déterminons le potentiel créé à grande distance par cette distribution.
Il s'agit en fait de calculer V en M tel que, si on a choisi une origine quelconque O au voisinage de la
distribution, la distance OM = r est grande devant les dimensions de la distribution elle-même.
2 2 2 2D'où PM = (PO + OM) = r + OP - 2 OP.OM. Soit, au premier ordre :

( + " % 1 1 OP.OM 1
= = 1+ +o * $ '- 2 3PM r r # r & ! ! ! ! ) ,
Le potentiel en M se développe alors en :

1 "(P) OP.OM "(P) 1! ! V(M) = ρ(P) dτ + dτ + o( )dτ 3 3### ### ###4"# r 4#$ r 4#$ r0 0 0" " "

- 27
! ! ! ! ! ! ! Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 28

La première intégrale représente simplement la charge totale de la distribution : on retrouve qu'à
1
grande distance, au premier ordre en , le potentiel créé en M est celui d'une charge ponctuelle ; la
r
distribution est dite alors monopolaire.

2.5.2. Distribution dipolaire : moment dipolaire !

Par contre, si cette charge totale est nulle, on doit s'intéresser au deuxième terme qu'on peut écrire :

1 r [ ρ(P)OP dτ]. , soit en posant P = ρ(P) OP dτ,
3### ###4"# r0 " "

1 P.r 1
! ! ! V(M) = . + o( )
3 3! 4"# r r! 0! !

Le vecteur P est appelé moment dipolaire électrique de la distribution, elle-même dipolaire (si P
1 1! est non nul !) : le potentiel créé à! gr ande distance n'est plus en mais en . Si P est nul, on doit
2r r
calculer le terme suivant du développement, la distribution devenant au moins quadrupolaire... ! !

! Revenons sur l'expression de P, qui n'a d'intérêt que si la charge totale est nulle. On peut alors
! ! décomposer cette dernière en charges positives ρ de barycentre A , et charges négatives ρ , de + + -
barycentre A , avec les expressions : -
!
ρ (P) dτ = − ρ (P) dτ = q + −### ###
" "

OA OAρ (P) OP dτ = q + et ρ (P) OP dτ = - q "+ − ### ###
! ! " "

D'où P = q OA - q OA = q A A + " " +! ! ! !
! ! On retrouve l'équivalence de la distribution à deux charges ponctuelles - q et q, placées en A et A . - +
Ce résultat montre en outre que P est indépendant du choix de l'origine O, c'est une grandeur ! ! ! !
intrinsèque, caractéristique de la distribution.

2.5.3. Champ créé : topographie !

On retiendra donc les expressions classiques du potentiel et
du champ pour un dipôle électrostatique :
E
1 P.r
e V(M) = !"
3 er4"# r0
r
% ( 1 2Pcos$ Psin$
" !E (M) = e + e ' * r $ " 3 3& ) 4"# r r0
P
!
! - 28 "
! Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 29

La topographie du champ est indiquée sur la figure ci-dessous : les lignes de champ , ouvertes,
divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives :











+q-q P



!







2.5.4. Dipôle et champ extérieur : aspect énergétique

De même que pour le condensateur plan, nous allons dégager un aspect énergétique du dipôle.
Cependant il ne s’agira pas d’une énergie propre du dipôle mais d’une énergie d’interaction avec un
champ extérieur E : c'est en quelque sorte l'énergie des deux charges +q et -q du dipôle dans le champ
créé E. Comment définir cette énergie ?

Si nous admettons qu’à une distribution de charges D créant le champ E nous associons la ! 1 1
1 12 2! densité d’énergie w = ε E , et à une distribution D la densité w = ε E , à l’ensemble D + D E1 0 1 2 E2 0 2 1 22 2
1 2! qui crée par superposition le champ E + E , nous devons associer la densité w = ε (E + E ) . 1 2 0 1 22

! ! Remarquons dès à présent que w ≠ w + w : les énergies, contrairement aux champs, ne sont E1 E2
! ! ! ! pas additives. La densité totale d’énergie de la distribution comprend un terme d’énergie mutuelle
!
ε E .E qui correspond aux interactions entre les charges de D et celles de D . 0 1 2 1 2

C’est cette énergie mutuelle que nous nous proposons de calculer dans l’exemple du dipôle et d’un
champ extérieur. Rappelons que l’énergie potentielle d’interaction d’une charge ponctuelle q et d’un
! !
champ extérieur E (non nécessairement uniforme) s’écrit :

E = qV où V est le potentiel associé à E au point où se trouve q. mut
!

!
- 29 Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 30

Dans le cas du dipôle, E = qV + (-q)V mut A+ A-
Mais V - V = - E.A A car le champ est quasi uniforme sur la petite distance A A des A+ A- " + " +
charges. Enfin, par définition, p· = qA A moment dipolaire. D'où : " +

! ! !
E = - p.E énergie d'un dipôle dans un champ extérieur. mut ! ext

2.5.5. Actions subies
! !
Rappelons que dans un champ extérieur uniforme, un dipôle subit une force résultante nulle F =0
(F = qE + (-q) E = 0 ) .
Il y subit un couple C = p ∧E (C = OA ∧ - qE + OA ∧ qE = q (A A ∧ E). " + " +
!
L’expression précédente de l’énergie d’un dipôle dans un champ extérieur nous permet de calculer la ! ! ! !
force subie dans un champ non uniforme. Il suffit en effet d’écrire que l’énergie potentille
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! d’interaction entre le dipôle et le champ extérieur est justement relié à la force subie par le dipôle
suivant la relation

F = -gradE = grad(p.E) el mut

F = grad(p.E) : force subie par un dipôle dans un champ extérieur. el
! ! C = p ∧ E : m!o ment sub!i p ar u!n dipôle dans un champ extérieur.

! ! ! !
! ! !
3. CHAMP MAGNETIQUE STATIONNAIRE


3.1. Rappel de la loi de Biot et Savart


3.1.1. Loi de Biot et Savart

Toute distribution de courants, d’extension finie ou non, crée, en régime stationnaire, un champ
magnétique B donné par la loi de Biot et Savart :
M

u r
! P
µ PM0B = (P) ∧ dτ j 3$$$4" PM d"!
P"#

! !
! ! ! !
- 30

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