Cours PC Brizeux Ch PO4 Dispersion Absorption

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Cours PC Brizeux Ch. PO4 Dispersion – Absorption 44 - 44 - C H A P I T R E P O 4 DISPERSION - ABSORPTION Les problèmes mis en équation dans les chapitres précédents étaient tous solutions de l'équation de d'Alembert. Ces solutions faisaient apparaître la propagation d'un signal quelconque sans déformation ni atténuation. Nous allons voir dans ce chapitre qu'il existe des milieux et/ou des conditions pour lesquels la propagation d'une onde s'accompagnera des phénomènes de dispersion et/ou d'absorption. 1. CHAINE D'OSCILLATEURS DISPERSIVE 1.1. Position du problème 1.1.1. Rappel : chaîne d'oscillateurs discrète Nous reprenons ici l'exemple d'une chaîne d'oscillateurs discrète représentée sur la figure ci-dessous : ... ... X p - 1 X p X p + 1 K m Un oscillateur quelconque de la chaîne, indicé p, a une équation de mouvement de la forme : ˙ ˙ X p = - ?20(Xp - Xp - 1) + ?20 (Xp + 1 - Xp) où ?0 = ? K m Nous supposons enfin le milieu non limité et étudions la possibilité d'existence d'une onde progressive sinusoïdale le long de la chaîne. 1.1.2. Onde progressive sinusoïdale dans une chaîne discrète Guidés par les résultats précédents, nous cherchons à faire intervenir dans cette onde un terme de propagation.

  • définition de la vitesse de phase de l'onde

  • vitesse de phase

  • onde

  • chaîne d'oscillateurs discrète

  • tension

  • onde progressive

  • propagation


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Cours PC Brizeux
Ch. PO4 Dispersion – Absorption
44
- 44 -
CHAPITRE PO4
CHAPITRE PO4
DISPERSION - ABSORPTION
Les problèmes mis en équation dans les chapitres précédents étaient tous solutions de l’équation de
d’Alembert. Ces solutions faisaient apparaître la propagation d’un signal quelconque sans déformation
ni atténuation. Nous allons voir dans ce chapitre qu’il existe des milieux et/ou des conditions pour
lesquels la propagation d’une onde s’accompagnera des phénomènes de dispersion et/ou d’absorption.
1.
CHAINE D’OSCILLATEURS DISPERSIVE
1.1.
Position du problème
1.1.1. Rappel : chaîne d’oscillateurs discrète
Nous reprenons ici l’exemple d’une chaîne d’oscillateurs discrète représentée sur la figure ci-
dessous :
...
...
X
p - 1
X
p
X
p + 1
K
m
Un oscillateur quelconque de la chaîne, indicé p, a une équation de mouvement de la forme :
˙˙
X
p
= -
ω
2
0
(X
p
- X
p - 1
) +
ω
2
0
(X
p + 1
- X
p
)
ω
0
=
K
m
Nous supposons enfin le milieu non limité et étudions la possibilité d’existence d’une onde
progressive
sinusoïdale
le long de la chaîne.
1.1.2. Onde progressive sinusoïdale dans une chaîne discrète
Guidés par les résultats précédents, nous cherchons à faire intervenir dans cette onde un terme de
propagation. Celui-ci doit correspondre à une propagation “ discrète ”, par “ sauts ” d’un oscillateur à
l’autre. La longueur au repos de chaque ressort étant a, la position de repos de l’oscillateur p est
x
p
= pa. En l’absence de terme d’amortissement, l’onde, d’amplitude constante, sera de la forme :
X
p
= X
0
e
j(
ω
t - kpa)
X
p
représente l’élongation de l’oscillateur p par rapport à sa position de repos.
ω
est la pulsation de
l’onde et k le “ vecteur d’onde ” associé.
Cours PC Brizeux
Ch. PO4 Dispersion – Absorption
45
- 45 -
Nous retrouvons, pour l’oscillateur p + 1, à un instant t +
Δ
t, la même valeur de l’élongation que
pour l’oscillateur p à l’instant t si :
ω
t - kpa =
ω(
t +
Δ
t) - k(p + 1)a
=>
ωΔ
t = ka => v
φ
=
a
"
t
=
"
k
La définition de la vitesse de phase de l’onde est donc inchangée dans le cas discret. Mais que vaut
cette vitesse ?
1.2.
Relation de dispersion
1.2.1. Expression : vitesse de phase
Introduisons dans l’équation de mouvement la forme supposée de l’onde. Nous obtenons :
-
ω
2
X
0
e
j(
ω
t - kpa)
= -
ω
2
0
(X
0
e
j(
ω
t - kpa)
- X
0
e
j(
ω
t - k(p - 1)a)
) +
ω
2
0
(X
0
e
j(
ω
t - k(p + 1)a)
- X
0
e
j(
ω
t - kpa)
)
-
ω
2
= -
ω
2
0
( 1 - e
jka
) +
ω
2
0
( e
-jka
-
1 ) =
- 2
ω
2
0
(1 - coska) = - 4
ω
2
0
sin
2
ka
2
ω
2
= 4
ω
2
0
sin
2
ka
2
La relation entre
ω
et k n’est plus ici linéaire. La vitesse de phase est :
v
φ
=
"
k
= ± 2
"
0
k
sin
ka
2
Le signe ± correspond simplement à une propagation progressive ( vers les p croissants ) ou
régressive ( vers les p décroissants ). Le fait important est que la vitesse de phase dépend de k, donc de
ω.
Dans un milieu dispersif, la vitesse de phase dépend de
la fréquence de l’onde
Des ondes de fréquence différentes, initialement “ rassemblées ” en un même point ( on parle de
paquet d’ondes ), se propagent dans la chaîne à des vitesses différentes et sont ainsi dispersées.
La relation non linéaire entre
ω
et k est appelée
relation de dispersion
.
Rq.
La relation de dispersion associée à la chaîne d’oscillateurs impose ici une limitation sur les
pulsations possibles de l’onde :
ω
ne peut qu’être inférieure à 2
ω
0
.
1.2.2. Approximation de la chaîne continue : milieu non dispersif
Pour passer du cas discret au cas continu, nous avions supposé que a était faible : nous pouvons
maintenant préciser ce point. En effet, nous disposons d’une longueur caractéristique associée à l’onde
: sa longueur d’onde
λ =
k
.
Si a <<
λ
, c’est à dire si le produit ka << 1, alors :
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Ch. PO4 Dispersion – Absorption
46
- 46 -
v
φ
= 2
"
0
k
sin
ka
2
≈ 2
"
0
k
ka
2
=
ω
0
a =
Ka
2
m
Nous retrouvons la célérité associée au milieu continu, indépendante de
ω.
Il est possible de
visualiser ces résultats en représentant le graphe de
ω
(k).
Pour tracer celui-ci, on peut restreindre les valeurs de k à l’intervalle [ -
π
a
,
π
a
] :
!
k
2
!
0
"
/a
-
"
/a
L’approximation du milieu continu correspond aux faibles valeurs de k, pour lesquelles la courbe et
assimilable à la tangente à l’origine,
ω
devenant alors proportionnelle à k....
2.
PROPAGATION DISPERSIVE DANS UNE CORDE
Nous allons reprendre l’exemple de la corde vibrante en supposant cette fois que les forces de
frottement de l’air ne sont pas négligeables : nous introduisons ainsi un terme supplémentaire de type
dissipatif dans les équations mécaniques précédentes.
Nous allons dégager de cet exemple des généralités qui pourront s’appliquer aux autres cas
envisagés : ligne électrique avec résistances, prise en compte de la viscosité pour la propagation
d’ondes sonores dans un fluide, forces de frottement dans la chaîne de ressorts….
2.1.
Nouvelle mise en équation du problème
On considère une corde de masse linéique
μ
, tendue par une force F et confondue au repos avec
un axe horizontal Ox. On étudie des déplacements
transversaux
y(x,t) des points de la corde.
Rappelons les approximations :
-
les déplacements sont contenus dans un plan vertical, et de faible amplitude : y << x et
"
y
"
x
<< 1 ( la corde reste toujours faiblement inclinée par rapport à l’horizontale ). On en
déduit notamment qu’un élément de corde de longueur au repos dx a approximativement la
même longueur quand il est déplacé transversalement.
-
les forces de pesanteur sont négligées.
Cours PC Brizeux
Ch. PO4 Dispersion – Absorption
47
- 47 -
-
les forces de frottement de l’air sont cette fois prises en compte et modélisées par une force
de type frottement fluide en
"#
l
$
y
$
t
dx
pour
un élément de corde de longueur dx.
λ
l
correspond à un coefficient de frottement
linéique.
Si on applique la relation fondamentale de la
dynamique à cet élément, soumis en A à une tension
-
T
(x,t) et en B à
T
(x+dx,t), on obtient :
/ x
0 = T
x
(x+dx,t) - T
x
(x,t) (1)
/ y
μ
dx
"
2
y
"
t
2
= T
y
(x+dx,t) - T
y
(x,t) -
"
l
#
y
#
t
dx
(2)
L'équation (1) montre que la composante horizontale de la tension est indépendante de x. A
l'extrémité fixe de la corde elle vaut la tension imposée F. Donc, quels que soient x et t,
on a T
x
(x,t) = F.
En outre la tension
T
est toujours tangente à la corde si bien qu'on peut écrire, à l'abscisse x,
compte tenu du sens choisi pour la tension :
T
y
T
x
=
"
y
"
x
. D'où T
y
(x,t) = F
∂y(x,t)
∂x
.
L'équation (2) donne alors :
μ
dx
"
2
y
"
t
2
= T
y
(x+dx,t) - T
y
(x,t) -
"
l
#
y
#
t
dx
= F dx
"
2
y
"
x
2
-
"
l
#
y
#
t
dx
L’équation de propagation
est donc :
μ
"
2
y
"
t
2
- F
"
2
y
"
x
2
+
"
l
#
y
#
t
= 0
L’équation d’onde trouvée est une équation différentielle linéaire à coefficients constants mais n’est
plus de type d’Alembert. On peut noter que le terme supplémentaire qui permet de prendre en compte
les forces de frottement fait apparaître cette équation comme irréversible (modifiée par renversement
du temps).
2.2.
Relation de dispersion
La méthode adoptée pour résoudre ce type d’équation consiste à généraliser la notion d’onde plane
progressive harmonique en posant une onde sous la forme :
y(x,t) = Re(y(x,t)) avec
y(x,t)
=
y
0
e
j(
"
t
#
kx )
ω
est réel et
k a priori complexe
.
Remarquons bien qu’ici nous allons chercher à quelle condition sur
ω
et k une onde de cette forme
peut être solution de l’équation de propagation.
x+dx
dl
x
y(x+dx,t)
y(x,t)
"
T(x,t)
T(x
+
dx,t)
A
B
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Ch. PO4 Dispersion – Absorption
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- 48 -
Introduisons dans l’équation de propagation la forme supposée de l’onde. Nous obtenons :
k
2
=
μ
F
"
2
#
$
l
F
j
"
La relation entre
ω
et k est appelée
relation de dispersion
. Ici, elle n’est plus linéaire.
De plus k apparaît comme complexe. Pour interpréter le contenu physique d’un tel cas, nous allons
poser : k(
ω
) = k’(
ω
)+jk’’(
ω
).
3.
PROPRIETES CARACTERISTIQUES DE LA
PROPAGATION DANS LES MILIEUX DISPERSIFS
3.1.
Dispersion - Absorption
On a donc : y(x,t) = Re(y(x,t) . Si on pose
y
0
=
y
0
e
j
"
, cela donne :
y(x,t)
=
y
0
e
k "(
"
)x
cos(
"
t
#
k'(
"
)t
+ $
)
• Le terme sinusoïdal est identique à celui qu’on avait obtenu pour une onde plane progressive qui
se propagerait avec la
vitesse de phase
v
"
=
#
k'(
#
)
.
Le fait important et nouveau est que cette vitesse de phase dépend de
ω
(puisque k’(
ω
) n’est pas
linéaire) :
Dans un milieu dispersif, la vitesse de phase dépend de
la fréquence de l’onde
Des ondes de fréquence différentes, initialement “ rassemblées ” en un même point (on parlera de
paquet d’ondes), se propagent dans la corde à des vitesses différentes et sont ainsi dispersées.
• Le terme en
e
""
k (
#
)x
traduit, selon le signe de k’’(
ω
), un amortissement ou une amplification de
l’onde au cours de la propagation. La situation la plus fréquente est celle de l’
amortissement
et on le
caractérise par la distance caractéristique :
" =
1
##
k (
$
)
: au bout de quelques
δ
l’onde sera fortement
atténuée.
δ
est souvent appelée épaisseur de peau liée au phénomène d’
absorption
.
On peut vérifier rapidement dans le cas de la corde dispersive que k’’ est négatif pour k’ positif et
inversement : l’onde s’atténue dans la direction de propagation.
Cours PC Brizeux
Ch. PO4 Dispersion – Absorption
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- 49 -
3.2.
Propagation d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif –
Vitesse de groupe
Comme nous venons de le voir, la propagation dans un milieu dispersif se fait à des vitesses qui
dépendent des fréquences des ondes qui s’y propagent. Si un signal possède plusieurs fréquences, il
sera donc déformé au cours de sa propagation par ce type de milieu. Nous allons définir la vitesse de
groupe, qui nous allons le voir, correspond à la vitesse de paquets d’ondes et, pour les milieux pas trop
dispersifs, correspondra également à la vitesse de propagation de l’énergie.
3.2.1. Superposition de deux OPPM de pulsations voisines
Nous prenons ici le cas d’un milieu dispersif unidimensionnel quelconque pour lequel il existe une
relation de dispersion f
(ω,
k) = 0. Nous ne nous intéresserons dans ce paragraphe qu’au phénomène de
dispersion et supposerons donc être dans une zone de transparence du milieu (c’est-à-dire dans un
domaine de pulsations pour lesquelles le milieu est faiblement absorbant).
Nous envisageons alors deux ondes de même amplitude, de même sens de propagation, et de
pulsations voisines
ω
et
ω
+
δω.
A ces deux pulsations correspondent 2 valeurs de k, k et k +
δ
k.
Les deux ondes s’écrivent alors :
s
1
= s
0
cos (
ω
t - kx) et
s
2
= s
0
cos [ (
ω
+
δω)
t - (k +
δ
k)x ]
soit :
s(x,t)= s
1
+ s
2
≈ 2s
0
cos(
"#
t
$"
kx
2
).cos(
ω
t - kx)
Représentons, à t
0
donnée l’aspect spatial de l’onde résultante : celle-ci apparaît comme une onde
“ moyenne ” de pulsation spatiale k modulée par une onde de pulsation bien plus faible
δ
k qui
l’enveloppe.
Nous faisons donc apparaître deux ondes dont les vitesses de propagation sont très différentes et
respectivement égales à :
- v
ϕ
=
"
k
pour “ l’onde moyenne ”
- v
g
=
"#
"
k
pour son enveloppe
Pendant
Δ
t, l’onde “ interne ” se déplace de v
φ
Δ
t alors que son enveloppe, elle, se déplace de v
g
Δ
t.
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- 50 -
x
s(x,t
0
)
3.2.2. Paquet d’ondes - Onde localisée
Une OPPM seule n’est localisée ni dans l’espace ni dans le temps
: elle s’étend théoriquement
de - ∞ à + ∞.
La somme de 2 OPPM de fréquences voisines a la forme vue précédemment : on peut dire qu’elle
est “ plus ” localisée au voisinage des ventres des fuseaux modulant son amplitude.
Si on superpose un nombre encore plus important d’OPPM, on réduit encore l’extension de
l’enveloppe du signal qui se localise peu à peu de façon de plus en plus étroite dans le temps et
l’espace.
Un observateur voit en fait passer des bouffées d’onde de durée d’autant plus faible que l’étendue
en fréquences des OPPM composantes est importante.
A la limite,
une onde physique réelle, à la fois localisée dans l’espace et le temps pourra être
modélisée par la superposition d’un nombre infini d’OPPM, à répartition continue de
fréquences
, et d’amplitudes variables suivant la fréquence (profil spectral rappelant celui d’une
fonction périodique décomposée en série de Fourier, mais ici étendu à une répartition continue de
fréquences ) : c’est la définition même d’un
paquet d’ondes
.
3.2.3. Propagation d’un paquet d’ondes
Dans un milieu non dispersif, toutes les OPPM composantes d’un paquet d’ondes se
propagent à la même vitesse : le paquet ne déforme pas au cours de la propagation.
Dans un milieu dispersif en revanche, le paquet d’ondes se déforme de plus en plus au cours
de la propagation.
Si la largeur spectrale du paquet n’est pas trop importante et le milieu pas trop dispersif,
l’enveloppe du paquet d’ondes garde un maximum que l’on peut continuer à repérer : ce maximum se
propage, comme l’enveloppe, à la vitesse de groupe. L’énergie, localisée au niveau du
paquet
d’ondes, c’est-à-dire du maximum de l’enveloppe, se propage donc elle-même dans ce cas à la vitesse
de groupe.
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Ch. PO4 Dispersion – Absorption
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- 51 -
Dans un milieu pas trop dispersif, la vitesse de groupe v
g
=
d
"
dk
d’un paquet d’ondes de faible
étendue spectrale représente également la vitesse de propagation de l’énergie.
Remarque
: la vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d’une OPPM. Mais une
OPPM est totalement délocalisée et ne peut pas servir à transporter une information. Donc il n’est pas
étonnant de trouver, dans certains cas, v
ϕ
> c = 3.10
8
m.s
-1
. Par contre, on a forcément v
g
≤ c (principe
de relativité).
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