Département de Mathématiques SCL3 MT02

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2

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Département de Mathématiques SCL3 MT02 Université d'Orléans 1er semestre, 2008/2009 Feuille d'exercices 3 : Variables aléatoires discrètes 1. Soient B,C deux évènements tels que P (C) 6= 0. Montrer P (B|B?C) ≥ P (B), puis P (B|B ? C) ≥ P (B|C). 2. Une urne U1 contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3, 4. Une urne U2 contient 5 jetons ; 3 numérotés 2, 2 numérotés 3. On tire un jeton de l'urne U1 et un jeton de l'urne U2. On suppose, pour chaque urne, l'équiprobabilité de tirage d'un jeton. Soit X la variable aléatoire correspondant à la somme des nombres portés par les jetons choisis. Déterminer la loi de probabilité de X et la fonction de répartition de X. 3. Deux enfants disposent chacun d'une boite contenant 10 jetons de forme iden- tique, numérotés de 1 à 10. A un signal, chaque enfant prend un jeton dans sa boite et le dépose sur une table . On désigne par E l'événement les 2 jetons déposés sur la table ont le même numéro. (a) Quelle est la probabilité pour que l'événement E se réalise ? (b) On répète de façon indépendante dix fois l'épreuve et on désigne par X le nombre de fois où l'événement E se réalise.

  • réaction positive au test

  • boule dans l'urne

  • variable aléatoire

  • réaction négative

  • test donné

  • urne

  • indépendant

  • urnes choisie au hasard


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 24
Source : univ-orleans.fr
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B;C P(C) = 0 P(BjB[C)P(B)
P(BjB[C)P(BjC)
U 4 1 2 3 4 U 51 2
3 2 2 3 U1
U2
X
X X
10
1 10
E
E
X
E
E
E[X] V[X] [X]
99
100 E
n
k
k
X
n 1
1 G
G 0
P(G =l) =P(G = l) E[G]
G n = 4
P(G =l) G
moinstirediscr?tesun?preuvjetonrneded'obtenirl'urnenomOnaleurs.l'onet"?quilibr?e".untjetonetdeprobabilit?l'urne.um?rot?sum?rot?snbien.puisOnjetssupp:ose,l'esppobtenourecellehaqued'eurosurne,(ii)l'?quiprobabilit?FdePtirageard'untjeton.(d)Soit?riences,.la,v4.ariablemal?atoirellecorrespfoisondanace"tv.a.r?delal'issuesommejetsdeseuronomparbresariablep?usort?sep?galeardeuxles:jetons2008/2009cloihoisis.tiquesD?terminerth?mall'?cart-ta,loicondeUneprobabilit?odefaireum?rot?souretaulahancesfonctionvder?aliserr?partitionfoisdeeectuenpi?ce.a3.QuDeuxlaenfand'obtenirts?dispfoisosen(b)tdeccorresphacunnomd'uneaceb(c)oiteccondetenanjtre?oit;"FjetonstsdeOnformelaiden-r?sultattique,d'eurosnnomum?rot?s(i)deestjetons?nem??vttrer.SoienAariablesund'exercicessignal,Enc1erhaqueDonnerenfanUniversit?tMT02prendlesunum?riquesjetondedans.saebnoitejetonsettienleetd?puose2.surCunemtablefaudrait-il.d'expOnpd?signequeparaittienmoinsl'?vc?nemensurtde"lesoir2sejetonsaud?puneos?s?surOnlatrertabled'uneondetonnleiem?me(a)neum?ro".est(a)probabilit?Qu(i)eMonlle"Pile"est(ii)la.probabilit?"Fp?ourDonnerq?ranceuelal'?v6?nemenondantauconbrese"Fr?alises"?ues.urneA.deThaquelesedequenlevoual?atoiresurantels1parpace"endandonneteeurodix"Pile".foisappl'?preuvenevetal?atoireon:d?signebreparreUnemoinslebrenomdonn?s.breQudellefoislao?quel'?vsoit?nemen?t?.Monsequer?alise.tQuelle1.estal?atoireslaVprobabilit?3peuilleour.qued?duire,semestre,sed'Orl?ansr?alise(iii)aulamoinsdeune.foisourauSCL3coursdonnerdevcesndixdeexpMa?riencestement?D?p(c)CalculerCaculeryp,de,(b)5.Oracernfonctionsr?pr?partitio?tedesdeariablesfa?onsuivites.nd?X
X p
X f1;:::;ng
cA X =1 1A A
Y p =P(A)
X 2Y 1
X;Y Z
f 1;+1g A =XY B =YZ C =ZX
A B
B C
A C
ABC A;B
C
N N 2
k f1;:::;ng b kk
A
X =1 XA
Pn
b (b 1)k kk=1p = :
N(N 1)
G
A B
A B
T A T BA B
1
3
oBernouillicesdetloitru-.deOnr?ussissenpetosets,uneprobabilis?tDeuxanaitsuivt,jeual?atoireaariablelesvd?lisezunestruisez,eSoitsonal?atoire.cariablejusqu'?vla.Soit(a)leMontestrerlquelaunesetparestd?ssonuntparind?p(b)endanal?atoiretes.le(b)(c)Monal?atoiretrersaqueetquedeetettreraitsonquitestind?ptemendanttes.que(c)sit.MonsontrerleurqueOnMonsonetestt.nsonobabittind?pqu'elleendanntes.des(d)tQousue(a)v?rienceautespacelaabivoariableval?atoiresur?nemend?lisan?vapr?s??rienceLeslatroisvvcalculariables?ranceal?atoiresariance.unersonnesSoitonetune6.qu'ellessonementultan?menellesqueind?pouendanLetesr?ussi?La8.ulleUneenurnes.conlatienletet.tbetoules,trersurariablesuniformeind?ploicalcule.(b)On?aose?critpi?suridenctruqu?es.haqueprobabilit?bsoioule?uncettenomlorsquebrepi?cesunetiquesdansMonsuitma(c)co.treparam?trer?sultatsdedeuxBernouillisondedi?renloivunegagnez.euros.OnMonotel'expsuital?atoire(b)unleprnombbrelis?.deCbnoulesunenariableum?rot?est.l'espace.moOnttiregainaucettehasardxpdeuxal?atoire.bDonnezoulesloidecettel'urne,ariablesansetremise.ezSoitespteetl'?vv?nemen10.tp{lesSoiendeux7.btouleshacuneppi?ceortenmonnaie,tlancenlesuccessivm?metnsimum?ro}tetceconstanloi.unepileestesurface..premierMonatrergagnequepartie.(a)partiesuitnunes'ilsloitdem?meBernouillipde(a)param?trem?muniformel'instanloio?lajoueurtr?ussit,anonsuivl'instanteso?endanjoueurind?pr?us-al?atoiresD?monariablesquevvtroisal?atoiresparam?tretetendan.etMonr9.loi.VLeouss'arr?te-t-iljettez(c)deuxsuppd?s.queSieslescesr?sultatstdestiquesdeuxnond?sQuellesonlatqueidenpartietttrerullede(d)C2lculerousprplit?erdezleladeuxsommesonindiqu?eidenparetunqu?es.destrerdeuxestd?s.jor?eSipari.ques,vX
Y
Z = max(X;Y) k2f1;:::;6g P(Zk)
Z
n
M
20% 10
X
X
n = 500 P(X > 200)
X;Y
X +Y
+
X
n
n
P(Xn)
n!
1 1 1
(n+k)! n!k!
(A ;:::;A ) 2n1 2n P Pn 2n
p2]0;1[ X = 1 Y = 1 Z =X +YA Ak=1 k k=n+1 k
P(Z =n)
n 2X n 2n
= :
k n
k=0
X;Y
fX = 0g\fY = 0gfX =Yg
x8x 0;e 1 x
P(X =Y) 2 :
A B n
X A Y
B
X Y
P(X =Y) n
.calculequeruneune.vosealeurLoiapproycariablesh?eEdpremierepar,OnLorsquedeux(ii)tit?ariance.vvune.Le13.tSoitd?duiresaetettruqu?.matiquededeux(b)vquandariablesval?atoires?renind?p.endanontesunesuivaantestoissondesopulationloisloidecalcP,oilancer.sson6deDeuxparam?trescresp?quilibr?e.ectidefsfacesmat?-paretLoi?ranceun.estMonsurtrerequeCalculerespdsondeDonnermaladessuitd?duireunequeloid'unedeconPconoissonSoitdedeuxparam?treind?p?andedeprobabilit?param?tre.trer14.d'uneSoit.ded?duireune.vEnariablefaital?atoiPrOne,suivr?sultatarnr?sultattersonnesunejettenloiOndedePnotoissonnomdeobtenparam?tre,loinom.obtenQuelle.la?tendd?ersanndeux?.Lalid'absencel'em?moireetptouraccin?s,tout.estde,mani?reslleietesQua(i)il?pid?mie.lesd'uneEncoursl'idenauparmimaladesconstatede?pid?mie,breLorsIndicationtagieuse:maladieutilisertrel'idenaccin?tit?16.nom?t?lecardinaltvtanal?atoiresrepr?senendanal?atoiresuivariabletvloilaPnotedendeOMon(b)que.p15.quartSoien12.tde?laacenec(b)est-iluleraccin.vutilisanLele?quemaladeoure.bptom(a)accin?secondven?vdu?nemenletsetmlanceutuellemendut17.ind?ppendanletsnotedetm?mehacunepro-foisbabilit?pi?cenonmonnaiequ'unOnprobabilit?elaleestbre."pile"OnuspnonoseetlleleebreQu"pile"(a)us.6sur(a)adedemal?unde,?aCylculerilfoisaccin?slancev11.desQuelleblesammiteensestvsal'imoiy18.ennepropri?t??deMon3trerX
8k2N;8n2N; P(X >n+kjX >n) =P(X >k):
N

kexp( )
P(N =k) = k2N
k!
p
S
S p
s> 1 X s
1 1
8n2N P(X =n) = ;
s(s)n
+1X 1
(s) = :
sn
n=1
X s
p2N pN =fnp;n2Ng
P(X2 2N ) p2N P(X2pN )
(p;q)
fX2pNg fX2qNg
Y 1 X
n;k2N P(Y =kjX =n)
YZ = FZX
[0;1]
p;q pq
pP(Z = )
q
(n) 1 n
n
+1X(n)
(s+1) =(s):
s+1n
n=1
breloitrerunensuitequeprditqueOn?rien.:Soitopri?o?enl'onlappestos?en20.toutes.queparam?tret?dec?deoissonestPsedeondusloid'oune.suitM?langequedetrerteMontts.ositifsSoitedoncrouvan)suivdeantrtpremiersuneceloiprobabilistesurvivellededeMonparam?trectedeP.unPcalcourp)nomesuprO,lois(al?atoi.4laose(1).bretnomlale(e)equitrsoennaOnloists.Calculerendan(b)ind?p.trapp.suiv(a)leCalculertiersutuellemend'absencemsontvsonD?duireeufspropreuvlesl'idenque?rie,loipuisv.pqueourettreesteteuf.oour,icalcparu,luererd'uneufstbreemenleelopposed?vOnde(d)it?nrobabilose.de(b)19.?Monnoncqueezfonctionuner?partitionconditionpropri?t?n?cessairestrictemenetcroissansusansurtetsur.pSoienlavquedeuxttieppourpremiersquetrleseux,?vv?-cnemenlests.?galemeneroseTsupp(1)Onte:(feOntrelleetanparam?m?moireded?signeoissonnomPd'endeenloieuneetsoienquittind?paendanects.etded?monquitrez-la.?(c)uneOnetiredesuittit?aulahasardvg?om?trique,c'estdeparam?tre?a.direunesil'onaasivtrerec(a)?quiprobabilit?onpZ+1 +1 +1 3X X X1 (n) (n)
( )( )( ) = x dx:
2 3 4n n n 2n=1 n=1 n=1
25(4) = 2(2)
b n
s r
p
p b n r s
s r
p
i = 1;2;3 1 i
i
i
A i Ri i
i i = 1;2;3
i = 1;2;3
i
1
10%
40% 80%
15%
0:90
0:80
Yyyyl?aprobabilit?spremi?re,queetzonedel'celui(Indearrivcelletestsaqui23.sonredoutentquiblanc.).hes.yL'?vhan?nemenmalades.tseraconsid?r?heestemenlebretirageund'uneYyyybos?oulecauquihasardodansal'uneetdesoururnesscquehoisiedeaumaladehasard.arLetbuttdedansl'exercEiceariationsestommedelesd?terminerselessujetr?parti-troistionsOr,rendanctilsmaximalpesortelaleprobabilit?cune?desympathiestirerditunesurbquiouleleblanchanceshe.Xxxx.(a)cExpr?ilesmerpmoinsDansenonfonctionmoutonden?gativau;,estv,dansnoiressacetlaoulesc.zone(b)infructueuse.Dansrcettelesquestion,cesl'onconsid?r?esxedelacommenvobtenale?tudianurtdexamen.bfabriqu?;decommen:tZzzzc?tudianhoisirqu'unetsoitpl'examenouraluenaugmenlaterquesen?c'est(c)leR?soudrec'estl'exercice.fait,(d)c'estQueldelesprofg?n?ralisationstprop?tudianosez-vleurousIlencaugmenptansoittlelesjenompasbrtroisecinqscedejourcou-etleursfatidiqueetpd'urnes!?cela,22.pUnaitaparvionZzzz.a?levdisparuoutetnotelaprobabilit?rn'est?unegion?o?estil.s'esttre,?cras?laestedivis?eunep5ourlasabrechanhercqueherecenrtroishezoneslade1m?me?t?probabilit?.(b)Ptudieourbri?vhetblancvoulesdebtroisdeconditionnellesosecdispfonctions,denotonsetOnter21.r?sultats.)us.laDesprobabilit?tsquepr?parenl'a?vionesoitLeretrouvsera?parparununeleursrecprofesseurshercXxxx,heoudans.laleszonetsquets'ilcertainesthapitreep?eetctiv?vemetnnomtprobabilit?dansourcettelezone.hapitreLesquestionconstansitesXxxxadmettrefaitourrasujet,repr?sensitenYyyytlelesetprobabilit?ssideZzzzmanquerutilel'adirevionqueletvsonntlesg?n?ralemendestts..attribuablesYyyy?al'en:vironnemenytunedehanceldeuxaourzonece(relief,moivfasse?g?tation,.sujet,.si.).neOnfaisnoterailpa(Oncl'?vsur?nemenptquel'avionsoitestLedansJlae,zoneletrerhapitre,eettMonos?(g)l'examenl'?vSac?nementtcalculerl'avionprobabilit?sestourrl'examenetr?t?ouv?os?dansXxxx,laouzone24.soiun(agenemd'ellesons,qu'aucuned?c?lefa?ond'animauxdeLaurnesqu'undeuxqui).pas(a)aitPr?actionouretreunendonn?r?partitonl'onvidequeP,conhaques'ilhasardmalade,oulesr?actiondanspositivQuellealaecqu'unprobabilit?caua.anestuneprobabilit?pmoutonehoisitestmaladeet,yd?terminertlesr?actionprobabilit?sositivquauesoitl'a?vionsoit = 5
= 3 75%
90%
X
70%
Y
P(Y =kjX =n) 0kn k>n
Y
i 1 8 Zi
Z = 0 ii
Z = 1 ii
Y Z Yi
attrapparam?trer?par?ede?Pqueoissonest?r?par?r?duit(distinguerIlourh?.paspdeourenmarcnotedem?dicamenladupdonopulation.d?nitPvourumesledesrehstvededetlabrepdonn?.opu.ldeation,ann?eleunem?dicamenlest?estunsanssieettnotablenomsurselestrherumes.nsSivun(b)individuquessaiealehancesm?dicamenenr?parables).tlepvendanuntvienunnouvandeetcasattrapveest2Enrhloiumesuneauoncours(c)dedecette,pv?riopardeun,foisquellneeouestdelasiprobabilit?vqueteleEnm?dicamenent,luiaait(moi?t?debuit?n?queoitures?r?parer).26.UnUn?hiculegarageiptreeutd'?trer?parerchd'?treuit(tousvsonoiturespasparOnjour.tChaquenomjour,dehoituresuitsconducteursjourind?pCalculerendanttseauonUntparam?trerendez-voissonous,lecPhacunariableauneycasandonn?et).uned?duireprobabilit?ladedeleestdebin?mialevtenirpr?ciseraeectivparam?tres.emenPt.en(a)umeQurheonllelaestariablelaeloi:duindividusuro?.lamis-?medeoiturevvienoiturespaspr?senn'esttesr?parable.aubregarageLeunlajour-?medonn?oiture?pr?senEnetd?duirer?par?e.laexprimanprobabilit?Rhquefonctionle25.legarageretrouvnelsoitloipaspleinnom6bre

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