Devoir Maison n°5 Mécanique

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Devoir Maison no 5 Mécanique Problème 1 Oscillations mécaniques Nous nous proposons, dans ce problème, d'étudier quelques exemples d'oscillateurs méca- niques. Pour chacune des parties, l'étude sera menée dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Dans l'ensemble du problème, ??g désigne le vecteur accélération de la pesanteur. On notera g la norme du vecteur ??g . Il est rappelé que lorsqu'un corps est immergé, partiellement ou totalement, dans un fluide de masse volumique ?l ce corps est soumis, en plus de son poids, à une force ?? F a appelée poussée d'Archimède et telle que ?? F a = ??lVi ??g où Vi désigne le volume du corps immergé dans le fluide. On négligera la poussée d'Archimède dans l'air Données trigonométriques : cos(a+ b) = cos a cos b? sin a sin b cos(a? b) = cos a cos b+ sin a sin b sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a sin(a? b) = sin a cos b? sin b cos a A Oscillateur harmonique non amorti Considérons le système représenté ci-dessous : une massem est suspendue à un ressort vertical de masse négligeable et de raideur k. L'extrémité supérieure du ressort est fixe et attachée au point O. Soit l'axe (Ox), vertical et orienté vers le bas.

  • norme v0 du vecteur vitesse initial

  • electron

  • expression de la masse volumique

  • sphère

  • liquide de coefficient de viscosité ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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o Devoir Maison n5 MÉcanique
ProblÈme 1Oscillations mÉcaniques Nous nous proposons, dans ce problÈme, d’Étudier quelques exemples d’oscillateurs mÉca-niques. Pour chacune des parties, l’Étude sera menÉe dans le rÉfÉrentiel du laboratoire considÉrÉ −→ comme galilÉen. Dans l’ensemble du problÈme,gdÉsigne le vecteur accÉlÉration de la pesanteur. −→ On noteragla norme du vecteurg. Il est rappelÉ que lorsqu’un corps est immergÉ, partiellement ou totalement, dans un fluide −→ de masse volumiqueρlce corps est soumis, en plus de son poids, á une forceFaappelÉe poussÉe −→ −→ d’ArchimÈde et telle queFa=ρlVigVidÉsigne le volume du corps immergÉ dans le fluide. On nÉgligera la poussÉe d’ArchimÈde dans l’air DonnÉes trigonomÉtriques :
cos(a+b) = cosacosbsinasinb
sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa
cos(ab) = cosacosb+ sinasinb
sin(ab) = sinacosbsinbcosa
A Oscillateurharmonique non amorti ConsidÉrons le systÈme reprÉsentÉ ci-dessous : une massemest suspendue á un ressort vertical de masse nÉgligeable et de raideurk. L’extrÉmitÉ supÉrieure du ressort est fixe et attachÉe au pointO. Soit l’axe(Ox), vertical et orientÉ vers le bas. La position de l’extrÉmitÉ libre du ressort est repÉrÉe par son abscissex. Soitx0la longueur á vide du ressort etxeqsa longueur lorsque la massemest accrochÉe au ressort et est á l’Équilibre.
Equation diffrentielle du mouvement A.1Faire le bilan des forces appliquÉes á la massem. Appliquer la deuxiÈme loi de Newton et dÉterminer l’Équation diffÉrentielle(1)vÉrifiÉe parx. Que devient cette Équation lorsque la masse mest á l’Équilibre? On appellera(2)l’Équation obtenue dans ce cas. DÉduire de l’Équation(2)l’expression de la longueurxeqdu ressort á l’Équilibre en fonction dex0,g,metk.
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A.2DÉterminer en combinant les Équations(1)et(2), l’Équation diffÉrentielle(3)vÉrifiÉe par xet liantx,xeq,metk. En dÉduire la pulsation propreω0et la pÉriode propreT0de l’oscillateur ainsi obtenu. A.3A l’instantt= 0, la massemest dans une position telle que la longueur du ressort est Égale áxeq. On communique alors á la massemune vitessev0verticale. DÉterminer dans ce cas la solutionx(t)de l’Équation diffÉrentielle(3).
B Oscillateurharmonique amorti par frottement fluide La massemdu systÈme de la partie prÉcÉdente est une sphÈre homogÈne de masse volumique −→ ρet de rayonRfaible. Lorsque cette sphÈre est animÉe d’une vitessevet plongÉe dans un liquide de coefficient de viscositÉη, elle est soumise, de la part du fluide, en plus de la poussÉe −→ d’ArchimÈde, á une force de frottementfdonnÉe par la loi de Stokes :f=6πηR v. On nÉgligera les interactions Éventuelles entre le ressort et le liquide. Pour simplifier les calculs, on noteraVle volume de la sphÈre etρVsa masse.
Priode de l’oscillateur non amorti (volution de la sphÈre dans l’air) B.1En l’absence de frottement et de poussÉe d’ArchimÈde (dans l’air), les oscillations libres de la sphÈre ont une pulsation propreω1. En utilisant les rÉsultats de la partie prÉcÉdente dÉterminer l’expression deω1en fonction dek,Vetρ. Dans la suite de cette deuxiÈme partie, la sphÈre est totalement immergÉe dans un liquide de masse volumiqueρl. On considÉrera, de plus, que la sphÈre est entiÈrement immergÉe dans le liquide quelle que soit la position de l’oscillateur.
Dtermination de la masse volumique du liquide B.2Lorsque la sphÈre est totalement immergÉe dans le liquide et est á l’Équilibre, la longueur du 0 ressort est Égale áx. Faire le bilan des forces appliquÉes á la massem. DÉterminer l’expression eq 0 eqx0etk. de la masse volumiqueρldu liquide en fonction deρ,x,V,g,
Oscillations pseudopriodiques de la sphÈre immerge dans le liquide B.3En appliquant la deuxiÈme loi de Newton, dÉterminer l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe par la longueurxdu ressort á un instant quelconquetau cours du mouvement. En utilisant l’expression de la masse volumiqueρldu liquide dÉterminÉe á la question prÉcÉdente, dÉterminer l’Équation 0 diffÉrentielle vÉrifiÉe parxen utilisant les grandeursx,x,ρ,V,k,Retη. eq B.4â quelle condition portant surk, constante de raideur du ressort, le mouvement de la sphÈre est-il pseudopÉriodique? On exprimera la condition sous la formek > k0k0est une constante que l’on exprimera en fonction deη,R,Vetρ. DÉterminer dans ce cas la pseudopulsationω2 des oscillations en fonction dek0,k,ρetV.
Dtermination du coefficient de viscosit du liquide B.5On considÈre dans cette question que la condition surkpour avoir des oscillations pseu-dopÉriodiques est satisfaite. En utilisant les expressions deω1etω2dÉterminÉes prÉcÉdemment, donner l’expression du coefficient de viscositÉηdu liquide en fonction deR,ρ,V,ω1etω2.
C OscillationsforcÉes : puissance absorbÉe par l’oscillateur Soit un oscillateur amorti par frottement fluide constituÉ par une massemsuspendue á un ressort de masse nÉgligeable. La position de la massemÉtant repÉrÉe par son abscissex, en rÉgime libre l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe parxest de la forme :
2 x¨ + 2αx˙ +ω x= 0 0 2
ω0dÉsigne la pulsation propre de l’oscillateur harmonique. L’oscillateur est soumis á une excitation extÉrieure sinusodale de pulsationωdonnÉe par : −→ F(t) =F0cosωtuxavecF0>0etuxle vecteur unitaire de l’axe des abcissesx. Dans ce cas 2F0cosωt lŠÉquation diffÉrentielle du mouvement s’Écrit :x¨ + 2αx˙ +ω x=. En rÉgime permanent 0m les oscillations forcÉes sont telles quex=Acos(ωt+ϕ)avecAetϕdeux constantes. Remarque : On pourra dans cette partie utiliser les notations complexes, si nÉcessaire. Il faudra pour cela dÉfinir clairement les notations utilisÉes.
Rgime permanent C.1DÉterminer l’amplitudeAdes oscillations forcÉes en fonction deF0,m,α,ωetω0. C.2ϕreprÉsentant le dÉphasage entre la source d’excitation extÉrieure et la rÉponse de l’oscil-lateur, dÉterminer les expression desinϕetcosϕen fonction deα,ωetω0.
Puissance absorbe par l’oscillateur C.3AprÈs avoir prÉalablement dÉterminÉ l’expression de la vitessevde l’oscillateur au cours du temps, dÉterminer la puissance instantanÉePe(t)fournie par la force excitatrice. En dÉduire la valeur moyenne< Pe>dePe(t). DÉterminer l’expression de< Pe>en fonction deF0,m,ω, ω0etα. C.4L’expression de< Pe>dÉterminÉe á la question prÉcÉdente peut tre mise sous la forme : 2 F 0 α m < Pe>=2 ω 202 4α+ (ω) ω En dÉduire, sans calculer la dÉrivÉe de< Pe>mais en examinant le dÉnominateur, la pulsation pour laquelle< Pe>est maximale ainsi que l’expression< Pe>maxcorrespondante en fonction deF0,metα. C.5Donner l’allure de la reprÉsentation graphique de< Pe>en fonction deωet donner le nom du phÉnomÈne physique mis en Évidence.
ProblÈme 2Mouvement d’un point sur un rail circulaire Un petit objet assimilÉ á un point matÉrielM, de massem, peut glisser sans frottement le long d’un rail ayant la forme d’un demi-cercle de centreOet de rayonR, placÉ dans un plan vertical. Le rail est supposÉ fixe par rapport au rÉfÉrentiel terrestreRgalilÉen.
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−→\−−−−→ On repÈre la position du point M á l’instant t par l’angleθ(t) =OM0, OM(t). â l’instant t= 0, l’objet est lancÉ du pointM0avec une vitessev~0. Dans tout le problÈme, on utilisera une base de projection polaire(e~r~e,θ). 2 On prendra pour valeur de l’accÉlÉration de la pesanteurg= 10m.s.
A Lesfrottements sont nÉgligÉs A.1Faire l’inventaire des forces appliquÉes áM, et les reprÉsenter sur un schÉma clair lorsque le point est dans une positionM(t)quelconque. On prÉcisera les composantes de ces forces sur la base polaire. A.2En utilisant trois mÉthodes diffÉrentes, dÉterminer l’Équation diffÉrentielle á laquelle sa-tisfait la fonctionθ(t). A.3On suppose que la normev0du vecteur vitesse initial est suffisamment faible pour que la conditionθ(t)<<1radsoit satisfaite á chaque instant. DÉterminer complÈtement l’expression deθ(t)dans cette hypothÈse en fonction dev0,g,Rett.
B Influencedes frottements de l’air On suppose á partir de maintenant que le pointMsubit au cours de son mouvement une ~ force de frottements fluidef=α~v, oÙαest une constante positive et~v, le vecteur vitesse du pointMá l’instantt. La conditionθ(t)<<1radreste Également satisfaite á chaque instant. B.1En utilisant une mÉthode ÉnergÉtique, Établir la nouvelle Équation diffÉrentielle satisfaite par la fonctionθ(t). B.2Les grandeursm,getRÉtant fixÉes, donner la condition portant surαpour que le mouvement soit pseudo-pÉriodique. t B.3On suppose la condition prÉcÉdente rÉalisÉe. Exprimerθ(t)sous la formeθ(t) =Aexpsin Ωt. τ On justifiera soigneusement l’Établissement de cette relation et on exprimeraA,τetΩen fonction dev0,m,g,Retα. B.4L’allure de la courbe reprÉsentative des variations de la fonctionθ(t)est donnÉe ci-dessous.
θ(t) On appelle dÉcrÉment logarithmique la grandeur sans dimensionδ= lnTdÉsigne θ(t+T) la pseudo-pÉriode. Exprimerαen fonction deδ,metT. Par lecture graphique, dÉterminer les valeurs deTetδ. En dÉduire celle deα(sans omettre de prÉciser son unitÉ), sachant que m= 100g.
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ProblÈme 3Pourquoi le ciel est-il bleu? La couleur du ciel a longtemps constituÉ une source d’interrogation. Dans ce problÈme, on l’interprÈte comme Étant due À la diffusion sÉlective des ondes issues du Soleil par les atomes prÉsents dans l’atmosphÈre. On adopte le modÈle de Thomson de l’atome, dans lequel le noyau est modÉlisÉ par une charge ponctuelle placÉe enOet l’Électron situÉ enM, de massemet de chargee, est liÉ Élastiquement au noyau par une force du type :T=kOMks’interprÈte comme une constante de raideur. On suppose que le noyau placÉ enOest fixe dans le rÉfÉrentiel d’ÉtudeRsupposÉ galilÉen. −→ −→ Dans ce modÈle l’Électron est de plus soumis á une force de frottement du typef=h v −→ hest une constante positive etvla vitesse instantanÉe de l’Électron. On considÈre une radiation monochromatique issue du Soleil, produisant au niveau de l’atome un champ Électrique −→ −→ E=E0cosωtux. On rappelle que l’Électron est alors soumis á une force Électrique du type Fe= (e)E. Le poids de l’Électron et la force d’origine magnÉtique sont nÉgligÉes devant les autres forces. On suppose que le mouvement de l’Électron est unidimensionnel suivant l’axe(Ox) et on posex(t)son abcisse mesurÉ par rapport au noyau. 31191201 DonnÉes :m= 9,1.10kg,e= 1,6.10C,k= 100N.m,h= 1,0.10kg.s 1. Montrerque l’abcissexde l’Électron vÉrifie une Équation diffÉrentielle de la forme : ω0 2 x¨ +x˙ +ω x=F(t) 0 Q ω0,QetF(t)sont á exprimer en fonction des donnÉes. Calculerω0etQ. On suppose quex(t)s’Écrit sous la forme :x(t) =Xcos(ωt+ϕ) 2. Exprimerl’amplitudeXdes oscillations de l’Électron en fonction deω0,Q,e,E0etm. 3. Lerayonnement visible provenant du Soleil est compris dans la gamme des longueurs d’onde allant deλb= 400nm(couleur bleue) áλr= 800nm(couleur rouge). Calculer les pulsa-tionsωbetωrcorrespondant aux radiations bleue et rouge. DonnÉe : cÉlÉritÉ de la lumiÈre : 81 c= 3,0.10m.s. −−→ 4. Montrerque le vecteurOMde l’Électron s’Écrit approximativement : e −→ OM(t)E0cosωtux 2 0 5. Sachantque l’Électron diffuse un rayonnement dont la puissancePest proportionnelle á la valeur moyenne du carrÉ de son accÉlÉration, exprimer en fonction des longueurs d’onde P b λbetλrle rapportdes puissances diffusÉes dans le bleu et le rouge. Faire l’application Pr numÉrique et conclure.
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