Devoir Surveille n PSI

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Devoir Surveille n?3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 14 Novembre 2009) (dure : 4 heures) Les calculatrices sont interdites Questions de cours : 1. Donner la definition d'une valeur propre d'un endomorphisme. 2. Donner la definition du sous espace propre associe une valeur propre ? d'un endomorphisme. 3. Donner la relation entre l'ordre de multiplicite et la dimension du sous espace propre associe a une valeur propre ? d'un endomorphisme. 4. Montrer qu'une matrice A ? Mn(K) admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable sur K. 5. Donner la definition du polynome minimal d'un endomorphisme. 6. Citer 3 caracterisations montrant qu'un endomorphisme (ou matrice) est diagonalisable sur K. 7. Citer le theoreme de Cayley-Hamilton. 8. Donner les 3 normes usuelles de Kn. 9. Donner la definition d'une suite de Cauchy. 10. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Dans quel cas a-t-on la reciproque ? 11. Donner la definition de deux normes equivalentes. 12. Donner la caracterisation sequentielle d'un ferme. Probleme CCP PC 2002 Notations Soit n et p des entiers superieurs ou egaux a 1. K designant le corps des reels ou celui des complexes, on note Mn,p(K) le K-espace vectoriel des matrices a coefficients dans K ayant n lignes et p colonnes.

  • elements de la matrice d?1x

  • norme matricielle sur mn

  • deduire

  • matrice positive de mn

  • b? designent des matrices de mn


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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DevoirSurveill´en3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 14 Novembre 2009) (dure : 4 heures) Les calculatrices sont interdites
Questions de cours : 1.Donnerlade´nitiondunevaleurpropredunendomorphisme. 2.Donnerlade´nitiondusousespacepropreassoci´eunevaleurpropreλd’un endomorphisme. 3.Donnerlarelationentrelordredemultiplicit´eetladimensiondusousespacepropreassocie´a`unevaleur propreλd’un endomorphisme. 4. Montrer qu’une matriceA∈ Mn(K) admettantnvaleurs propres distinctes est diagonalisable surK. 5.Donnerlad´enitiondupolynoˆmeminimaldunendomorphisme. 6.Citer3caract´erisationsmontrantquunendomorphisme(oumatrice)estdiagonalisablesurK. 7.Citerleth´eor`emedeCayley-Hamilton. n 8. Donner les 3 normes usuelles deK. 9.Donnerlade´nitiondunesuitedeCauchy. 10.MontrerquetoutesuiteconvergenteestdeCauchy.Dansquelcasa-t-onlar´eciproque? 11.Donnerlade´nitiondedeuxnormese´quivalentes. 12.Donnerlacaracte´risationse´quentielledunferm´e. Proble`me CCP PC 2002 Notations Soitnetp.x`a1geuaos´ueiru´presursientsedeKnantesigd´ex,snocoeslempceouidlu´rsesleeoceldspr noteMn,p(K) leKaacterviceecst`oriel-deesspmtndsnascaeoceiKayantnlignes etpcolonnes. Lorsque p=n,Mn,n(Ktnot)esemtnpmelsuise´lpMn(Ke`rb,edenimustte)egladerutcurtsasInntantlaerrpe´es matriceidentite´. 0n,peledse´dneigmalaictrulenMn,p(K) et 0nla matrice nulle deMn(K). GLn(Kdseleveinibrstrmaesicise´d)nseelgnesedblemMn(K) etTn(Krre´sertciseacbledesma)lensem d’ordren`serueire´pusseraiulngiatransntsd´emea´elK. neme` Tout vecteurx= (xi)1indeKtiene`´n´au´eelemtneditsXdeMn,1(Klquel´el´ementdale)eti ligne deXsoitxi.Dteoustanindironsemment´erti,ealusonetonsuX= (xi)1inun´edemtnlee´Mn,1(K) n aussi bien que le vecteur deKi´e.estassociuliuq p`eme PourA= (ai,j)1indansMn,p(K) etX= (xi)1ipdansK, on note (AX)ile coefficient de lailigne 1jp deAX. Pour toute matriceAdeMn(K(), on note SpA) l’ensemble des valeurs propres complexes deAet on appelle rayon spectral deAlee´relρ(Ane´d):ipar ρ(Amax) =|λ|. λSp(A)
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n Conforme´ment`alusage,onnoteNiesuronaldemrne´Cpar : n X= (xi)1inC, N(Xmax) =|xi|. 1in On qualifie de norme matricielle toute normeϕurniesd´eMn(Ktnarpalv)ire´e:riopt´´e 2 (A, B)(Mn(K)), ϕ(AB)ϕ(A)ϕ(B). Mn(Kpaepllqeneio,rnimensi)o´netantdedseci(detetrmaunuuiesAk)kNdeMn(K) converge vers une matriceAdeMn(K) si et seulement si la convergence a lieu dansMn(K) muni d’une norme quelconque. Partie I Une matriceAdeMn(K) est dite trigonalisable si et seulement si il existePGLn(K) etT∈ Tn(K) 1 tels queT=P AP. I.1Pourntricedeetoutemaoppuuqese´xsno,Mn(Cd`sionnctoeeblsaecirtamenuereiroganil)sett MdeMn+1(C). a)Montrer queMadmet au moins une valeur propre. b)Soitλune valeur propre deM. Montrer qu’il existeQGLn+1(C),L∈ M1,n(C) etNMn(C) tels que :   λ L 1 Q MQ=. 0n,1N c)End´exriesqtueidlueiHGLn(C) etS∈ Tn(C) tels que :   1λ L Q MQ=. 1 0n,1HSH   1 01,n 1 d)On poseRMontrer que= .Rest inversible et exprimerR. 0n,1H 11 e)CalculerQRR Q Meterequdeiune´dMest trigonalisable. I.2aqeledirnpiostueude´Durtout´rcee´edtnqeeuopnto1,emutriatdeceire´oruege´ua`laentiersup Mn(C) est trigonalisable.   1 1 0   I.3Soit la matriceG= 11 1 . 25 3 a)La matriceGest-elle diagonalisable? 3 b)On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deC. Montrer queGadmet un unique vecteur propreutnalodi`erpremposaecomdetnlsnasabaeBireuqeseegt´e`aleta1erv´B1= 3 (u, e2, e3) est une base deC. 1 c)On noteQla matrice de passage deBa`B1. CalculerQ GQsnipsniedartnetd´enuied,ere 1 lam´ethoded´ecriteauxquestionsI.1etI.2,PGL3(C) etT∈ T3(C) telles queP GP=T. I.4SoitA∈ Mn(C). SiTsteemungnaiialuirtartecesemieurp´erresuela`lbbaAntteenesr´repe,uq lese´le´mentsdiagonauxdeT? I.5SoitS= (si,j) etT= (ti,jlairessup´erieurmxtairectsirnaugeu)dedseMn(C). a)Montrer queSTtnanogosxuntieiasdsclecoe´eriesupdonteureteirrtcialrinaugmanetues s1,1t1,1,s2,2t2,2, .. .,sn,ntn,n. k b)PourkNeauxdnogaidstneme´le´estlonsselqu,T?
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  k k I.6Montrer que pour toute matriceAdeMn(C),ρ A= [ρ(A)] . I.7Montrer que l’applicationψ:Mn(C)R, A= (ai,j)7→max|ai,j|est une norme surMn(C), 1i,jn maisnestpaseng´en´eralunenormematriciellesurMn(C). I.8En admettant l’existence de normes matricielles surMn(C)(lasuitedume`lborprertnomea effectivement cette existence), montrer que pour toute normeNnieuresd´Mn(C), il existe une constanteCr´eel:ueevetllqeelopisit 2 (A, B)(Mn(C)), N(AB)CN(A)N(B). I.9Soit (Ak)kNune suite de matrices deMn(C),A∈ Mn(C) etPGLn(C). Montrer que la suite   11 (Ak)kNconverge versAsi et seulement si la suiteP APconverge versP AP. kN   λ µ k I.10 a)SoitTemen´el´undt=eM2(C). Pour toutkN, calculerTleuqeriude´dnetea 0λ   k suiteTconverge si et seulement si (|λ|<1) ou (λ= 1 etµ= 0). kN b)SoitA∈ M2(Cid)silanogaon.Dleabconeruneoinndntissiae´ecsusreetsurlanteavseruels k propres deApour que la suite (A)kNsoit convergente. k c)SoitA∈ M2(C) non diagonalisable. Montrer que la suite (A)kNest convergente si et k seulement siρ(A)<meciserlisace´rp,D.1csnaA. k+d)SoitA∈ M2(Ctnasruseireetsun´ecessanoid.i)tonDonnrenuceρ(A) pour que la suite k (A)kNconverge vers la matrice nulle. Partie II n SoitA= (ai,j) une matrice deMn(C) etNune norme quelconque surC. On pose : n X MA= max|ai,j|. 1in j=1 n II.1 a)Montrer que pour toutXC:N(AX)MAN(X). b)sixeliunocenuetrqrentMolleeenats´retCAtelle que : n XC, N(AX)CAN(X).   N(AX) n c)Montrer que l’ensemble|XC\ {0}ueere´irsepuobnrneeueds`ospdansR. N(X) On notera dans la suite : N(AX) ˜ N(A) =sup. nN(X) XC\{0} g d)Montrer que :N(A)MA. e)On reprend dans cette question la matriceGintroduite enI.3tere.´DruurvnciemeetnX0de 3 g Ctel queN(X0) = 1 etN(GX0erdeualavelriude´dnE.01=)N(G). n P n II.2Soiti0un entier compris entre 1 etntel que|ai0,j|=MAEn.nrscorantid´ecteuleveYdeC j=1 de composantesyj´ed:arspien a i0,j yj= siai0,j6=0 etyj= 1 siai0,j= 0 |ai0,j| g g montrer queMAN(Ade´deriu)enetN(A) =MA.
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