Devoir surveillé no5 Mécanique & Optique

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Lycée Brizeux Samedi 30 Janvier 2010 PCSI A Devoir surveillé no 5 Mécanique & Optique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Observation d'étoiles depuis un satellite A Préliminaires : Troisième loi de Kepler On considère un satellite assimilé à un point matériel P de masse m en orbite autour d'un astre fixe, au point O et de masse M . On notera ??r = ??? OP et G la constante universelle de gravitation. A.1 Exprimer la force exercée par l'astre fixe sur le satellite en fonction de G, M , m, ??r et de la distance r. A.2 Que vaut le moment en O de la force précédente ? A.3 Exprimer le moment cinétique en O du satellite en fonction de m, de son vecteur vitesse ??v et du vecteur ??r . A.4 En appliquant en O le théorème du moment cinétique, montrer que la trajectoire du satellite est plane. A.5 On se place dorénavant dans le plan de la trajectoire.

  • point matériel

  • masse µ

  • satellite

  • vecteurs unitaires usuels des coordonnées polaires

  • masse du soleil ms dans la base

  • ex- pression du vecteur accélération du satellite

  • période de l'orbite du satellite géostationnaire


Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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LycÉe Brizeux PCSI A
o Devoir surveillÉ n5
Samedi 30 Janvier 2010
MÉcanique & Optique durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la finLa du temps prÉvu. L’usage de la calculatrice est autorisÉ Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants Les rÉsultats devront tre encadrÉs. Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme IObservation d’Étoiles depuis un satellite A PrÉliminaires: TroisiÈme loi de Kepler On considre un satellite assimil á un point matrielPde massemen orbite autour d’un astre −→ fixe, au pointOet de masseM. On noterar=OPetGla constante universelle de gravitation. −→ A.1Exprimer la force exerce par l’astre fixe sur le satellite en fonction deG,M,m,ret de la distancer. A.2Que vaut le moment enOde la force prcdente? −→ A.3Exprimer le moment cintique enOdu satellite en fonction dem, de son vecteur vitessevet −→ du vecteurr. A.4En appliquant enOle thorme du moment cintique, montrer que la trajectoire du satellite est plane. A.5On se place dornavant dans le plan de la trajectoire. On repre un pointPpar ses coor-donnes polairesretθ(cf. figure ci-contre). La base polaire sera note(ur, uθ). Dterminer l’ex-−→ pression du vecteur vitessevdu satellite en coor-donnes polaires. Pour cette question et toutes les suivantes, on suppose que la trajectoire du satel-lite est un cercle de rayonr. Comment se simplifie −→ l’expression dev? A.6Dterminer en coordonnes polaires l’ex-pression du vecteur acclration du satellite. A.7â partir de la relation fondamentale de la dynamique applique au satellite, montrer que la vitesse angulaire du satelliteω=est constante. dt ˙ 3 2 A.8Dduire aussi de la relation fondamentale de la dynamique applique au satellite quer θ=K Kest une constante qu’on exprimera en fonction des donnes. e A.9On appelleTloi dela priode du mouvement. Dmontrer la relation suivante, appele 3 2 2 T4π Kpler :3= a GM
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B LeSatellite Hipparcos Le satellite Hipparcos fut lanc le 8 aoÛt 1989 par une fuse Ariane IV. Ce projet de l’Agence spatiale europenne (ESA) avait notamment pour but de mesurer avec prcision la distance de plus de 2,5 millions d’toiles. Il tait prvu á l’origine de placer Hipparcos sur une orbite gostationnaire. Cette partie se propose d’tudier les caractristiques principales d’une telle orbite. On se placera dans cette partie dans le rfrentiel gocentrique, suppos galilen. On rappelle que le rfrentiel gocentrique a pour origine le centreTde la Terre et que ses axes pointent dans trois directions fixes. Un satellite, assimil á un point matrielMde massem, est en orbite autour de la Terre, de masse MT. On ngligera l’influence sur le mouvement du satellite des astres autres que la Terre. Le satellite est gostationnaire c’est-á-dire qu’il reste en permanence á la verticale d’un mme point de la Terre situ á l’quateur. B.1La priode de l’orbite du satellite gostationnaire est gale á un jour sidral dont la dureTsid est de 23 h 56 min 4 s (Tsid= 86164s). Expliquer pourquoi cette valeur est lgrement infrieure (d’environ 4 minutes) á la dure du jour solaireTsolde 24 heures. B.2En notanthl’altitude etRTle rayon de la Terre et en utilisant la 3ıme loi de Kpler, calculer numriquement l’altitude du satellite gostationnaire. 2411 312 Donnes :Tsid= 86164s;RT= 6378km;MT= 5,97.10kg;G= 6,67.10m kgs. Le satellite Hipparcos devait tre plac sur une telle orbite gostationnaire mais, en raison d’une panne de moteur au moment du lancement, il se retrouva sur une orbite trs elliptique, ce qui ne l’empcha pas de remplir correctement sa mission. Celle-ci s’est acheve le 17 aoÛt 1993.
C Sondesspatiales aux points de Lagrange Pour succder á Hipparcos, l’Agence spatiale europenne dveloppe le projet Gaia, qui est une sonde devant tre lance en dcembre 2011. Elle doit observer plus d’un milliard d’objets et permettre ainsi de grands progrs dans la connaissance des toiles, des galaxies et des plantes extrasolaires. L’orbite de Gaia sera compltement diffrente de celle d’Hipparcos puisque Gaia sera place á l’un des points de Lagrange. Les points de Lagrange sont des points particuliers oÙ un objet de faible masse (comme une sonde) tournerait autour du Soleil avec exactement la mme vitesse an-gulaire que la Terre. On ne s’intressera qu’aux deux points de LagrangeL1etL2qui se situent tous deux sur la droite(ST)Sest le centre du Soleil etTcelui de la Terre,L1tant entreSetTalors queL2se trouve plus loin deSqueT(cf. figure ci-contre). On appelle le rfrentiel hliocentrique, suppos galilen, d’origine Set dont les axes (SX,SY,SZ) ont des directions fixes. On dfinit un second rfrentiel,R(S, ux, uy, uz) tournant par rapport au prcdent autour de l’axeSZ á la vitesse angulaire de la Terre,ω=, constante, la dt Terre tant suppose avoir une orbite circulaire autour du Soleil. On suppose que la sonde se trouve au point de LagrangeL2. On notera :d=ST,`2=T L2. C.1Le rfrentielRest-il galilen? C.2On se place dans le rfrentielR. La sonde, de massem, subit alors la force : 2−→ F=FS+FT+m(d+`2)ω ux FSetFTsont les forces gravitationnelles exerces respectivement par le Soleil et par la Terre sur 2−→ la sonde. Expliquer l’origine du troisime termem(d+`2)ω ux. −→ C.3Donner l’expression deFSen fonction deG,m,d,`2et de la masse du SoleilMSdans la base (ux, uy, uz)deR. 2
−→ C.4Donner l’expression deFTen fonction deG,m,`2et de la masse de la TerreMTdans la base (ux, uy, uz)deR. C.5Ècrire la condition d’quilibre de la sonde dans le rfrentielRen ne faisant intervenir queG, MT,MS,d,`2et la dureTAde l’anne terrestre (priode de l’orbite de la Terre autour du Soleil). `2 C.6En utilisant la 3e loi de Kpler donne á la question A.9, et en notantε=, montrer que   d 1MT cette condition peut s’crire :MS1 +ε22= 0 (1+ε)ε 3MT C.7On supposeε1. Montrer que l’quation prcdente se simplifie en :ε=γ. Dterminer MS α la constante sans dimension,γ. On rappelle qu’au second ordre prs,(1 +ε)1 +αε. 8 2430 C.8Calculer numriquement`2. Donnes :d= 1,5.10km;MT= 5,97.10kg,MS= 1,99.10kg. C.9On admet que le point de LagrangeL1est le symtrique deL2par rapport áTc’est-á-dire queT L1=T L2. Ètant donn les objectifs de Gaia, dire, en justifiant la rponse, si les ingnieurs de l’ESA prvoient d’envoyer Gaia au point de LagrangeL1ou au point de LagrangeL2.
ProblÈme IIDynamique de molÉcules diatomiques Une molcule diatomique peut tre assimile á un systme mcanique constitu de deux points matrielsA1etA2de masses respectivesmletm2situs dans un rfrentielRgalilen aux positions dfinies par les vecteursrletr2(cf. figure ci-dessous). Les quantits de mouvement deA1etA2 sont notes respectivementp1etp2. Ces deux points matriels sont soumis á des forces d’interaction −→ −→ −→−→ drivant d’une nergie potentielleEp(r), oÙrest la norme der=r1r2: la forceFIcre par −→ dEp A2et s’exerÇant surA1s’crit doncFI=ururest le vecteur unitaire port par la droite dr (AlA2) et dirig deA2versAl(de sorte que l’on peut crirer=rur).
On considre que les deux points matrielsAletA2sont uniquement soumis aux forces d’interaction drivant de l’nergie potentielleEp(r).
A PointmatÉriel fictif A A.1Donner la dfinition et un exemple de rfrentiel approximativement galilen. −→ A.2Donner l’expression de la forceF2cre parA1et s’exerÇant surA2. A.3Dterminer l’expression derG, position du centre de masseGdu systme, en fonction derl −→ etr2dans le rfrentielR. −→ A.4Dterminer la quantit de mouvementpGdeGaffect de la massem=m1+m2en fonction −→ −→−→ dep1etp2. Que peut-on dire depG? Conclure sur le mouvement deGdansR. −→ A.5Exprimer les vecteursGA1etGA2en fonction der.
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A.6Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux points matrielsAletA2et en dE −→p−→ combinant ces deux relations, montrer quervrifie l’quation diffrentielle suivante :µr¨ =ur dr m1m2 avecµ= m1+m2 −→ −→ On dfinit un point matriel fictifAde positionGA=ret de masseµ. Les trajectoires deA1 etA2autour deGse dduisent de celle deApar partir des rsultats tablis á la question A.5. On admettra donc que le mouvement deAletA2dans le rfrentiel du centre de masseRGse dduit de −→ celui du point matrielAsoumis á la forceFI. A.7Montrer que dans le rfrentielRGdu centre de masse, le moment cintique par rapport áG du systme des deux points matrielsA1etA2est gal au moment cintique par rapport áGdu point matriel fictifA. A.8Montrer que dans le rfrentielRG, l’nergie cintique du systme des deux points matriels AletA2est gale á l’nergie cintique du point matriel fictifA.
B Approximationde l’Énergie potentielle d’interaction L’nergie potentielleEp(r)est reprsente graphiquement sur la figure ci-dessous. On tudie uniquement les mouvements du systme lorsquerreste proche dere, valeur pour laquelleEp(r)est minimum et est gale áEp0.
B.1Quel est l’tat du systme lorsquer=re? B.2A partir d’un dveloppement limit au deuxime ordre deEp(r)autour du point(re,Ep0), on montre que : 2 dEp(rre) Ep(r) =Ep(re) + (rre) (r=re) +k dr2 2 d Ep k=2(r=re). Simplifier cette expression et donner l’unit dek? dr −→ B.3A partir de l’expression prcdente deEp(r), dterminer l’expression de la forceFIá laquelle −→ est soumis le pointAen fonction dek,r,reetur. On vrifiera queFIest dirige selonurlorsque −→ r < reet selonurlorsquer > re. Dans toute la suite du problÈme, on conservera pourEp(r)l’expression obtenue À la question B.2 en supposant querreste toujours proche dere.
C Vibrationet rotation de la molÉculeA1A2 −→ C.1Quelles proprits vrifient l’nergie totaleETet le moment cintiqueLpar rapport áGdu point matriel fictifAdans le rfrentielRG? En dduire que la trajectoire deAest plane. 4
On noterauretuθ, les vecteurs unitaires usuels des coordonnes polaires(r, θ)deAdans le plan de sa trajectoire dans le rfrentielRG. On noterauzle vecteururuθ. −→ ˙ C.2Exprimer le vecteur vitesser˙du pointAen fonction der˙,θet des vecteursuretuθ. −→ ˙ C.3ExprimerLen fonction der,θ,µet du vecteuruz. ˙ C.4ExprimerETen fonction der,re,r˙,θ,µ,k, etEp0, puis en fonction der,re,r˙,µ,k,Ep0et −→ L(norme deL). C.5Montrer que lorsqueL= 0, la trajectoire deAest rectiligne et que l’on peut assimiler le systme mcanique á un oscillateur harmonique dont on exprimera la pulsationω0(appele aussi pulsation de vibration de la molcule) en fonction deketµ. Dterminer l’expression de la trajectoire r(t)du pointAavec les conditions initiales suivantes :r(0) =Curetr˙(0) = 0. C.6On supposeL6= 0. Montrer que si le mouvement du pointAest uniforme alors ce mouvement est un cercle centr surGdont on calculera le rayon,R, en fonction dere,ω0etΩ, vitesse angulaire deAautour deG(aussi appele pulsation de rotation de la molcule). 10 C.7Applications numriques. On considre la molculeA1A2caractrise par :re= 10m, 326 k= 1.10SIetµ= 10kg. C.7.1Justifier rapidement les ordres de grandeur dereetµ. C.7.2Calculer la valeur deω0. 33 C.7.3Calculer la valeur deRdans le cas oÙL= 10J.set en supposantRproche dere. C.7.4A quel(s) domaine(s) du spectre lectromagntique appartiennentω0etΩ?
ProblÈme IIITir d’un obus vers le zÉnith e Au 17 sicle, le Pre Mersenne, ami et correspondant de Descartes, se livra á un tir d’obus, le canon tant point vers le znith. Le rsultat ne fut pas du tout celui escompt. On se propose d’tudier l’influence de diffrents facteurs physiques sur la trajectoire de l’obus. 1 En un lieuAde latitudeλ= 48N, un canon tire un obus á la vitessev0= 100mssuivant la verticale ascendanteAz. On dsigne parAxyzun repre orthonorm li á la Terre,Axtant dirig vers le Sud. On assimile la Terre á une sphre homogne, tournant autour de l’axe des pÔles á la 51−→ vitesse angulaireω0= 7,3.10rad.s. On noteg0le champ de pesanteur terrestre, de moduleg0 2 suppos constant gal á10ms.
A Etudedans le rÉfÉrentiel terrestre galilÉen A.1On nglige la rsistance de l’air. −→ A.1.1Donner l’expression de la vitessevde l’obus á un instant quelconque. A.1.2Exprimer l’nergie mcanique de l’obus. Varie-t-elle au cours du temps? Calculer l’altitude maximale atteinte par l’obus. A.1.3En quel point et au bout de combien de temps l’obus retombe-t-il? A.2La rsistance de l’air sur l’obus, de forme sphrique de rayonr0= 5cmet anim d’une vitesse 2 2 v, se traduit par une force de modulekπr vaveck= 0,25S.I.. L’obus est en plomb de masse 0 3 volumiqueρ= 11,3g.cm. A.2.1Prciser l’unit dek. A.2.2Comparer la force de frottement au poids. Commenter. 2 A.2.3On prend en compte cette force de frottement fluide. On poseu=v. Montrer que, dans la phase ascendante,uvrifie l’quation : du kπ 2 =2g02r u 0 dz m Expliciter la fonctionz(u). En dduire l’altitude maximale atteinte par l’obus. On posera m d=2. 2kπr 0 Dans la suite du problme, on ne prend pas en compte les frottements de l’air sur l’obus. 5
B Etudedans le rÉfÉrentiel terrestre non-galilÉen B.1Ecrire l’quation du mouvement de l’obus. Pourquoi la force d’inertie d’entranement n’inter-vient pas explicitement dans l’quation du mouvement? B.2Soit(i ,j , k)la base orthonorme associe au repre(Axyz).Mreprant la position de l’obus, on poseAM=x i+y j+z k. B.2.1On value la force d’inertie de Coriolis en utilisant la loi de vitesse obtenue au1. Justifier cette mthode de calcul. B.2.2Montrer que : 2 d y =2ω0(v0g0t) cosλ 2 dt B.2.3En dduire une expression approche de l’ordonneyde l’obus. Èvalueryau moment oÙ l’obus tombe sur le sol. La dviation se fait-elle vers l’Ouest ou vers l’Est? Le rsultat dpend-il de l’hmisphre dans lequel on effectue le tir? B.3L’expression de la force de Coriolis utilise ne permet pas de mettre en vidence une dviation dans l’axe Nord-Sud. Or cette dviation existe. Expliquer cette apparente contradiction. Que penser de cette dviation compare á celle calcule á la question prcdente?
C Analysedu mouvement de l’obus dans le rÉfÉrentiel gÉocentrique C.1Rappeler la dfinition du rfrentiel gocentrique. Pourquoi peut-il tre suppos galilen pour ce type d’exprience? C.2Dterminer la vitesse initiale de l’obus dans ce rfrentiel. C.3Si on considre le champ de gravitation uniforme sur la trajectoire de l’obus, montrer alors que celui-ci retombe enA. Comment l’observateur gocentrique peut-il justifier la dviation value dans la partie prcdente?
Exercice 1Un peu de pratique... On souhaite observ á l’oscilloscope le signal suivant dlivr par un GBF :v(t) =v0+vmcos(2πf t) avecf= 1kHz,v0= 5Vetvm= 8V. 1. Lorsde l’observation, on constate que le signal « dfile sur l’cran ». Pourquoi le signal dfile? Que faut-il faire pour le stabiliser? 2. On souhaite rgler prcisment les valeurs dev0etvmá l’aide d’un multimtre numrique. Comment faut-il procder? (on dtaillera notamment le mode utilis pour le multimtre : AC, DC, AC+DC). 3. LeGBF tant parfaitement rgl, on observe ce signal á l’oscilloscope et on constate que l’on observe un signal centr sur zro volt. Que doit on faire pour observer l’ensemble du signal sur l’oscilloscope ? 4. On souhaite observer ce signal sur Synchronie. Choisir une dure d’acquisition adapte á ce signal. Les paramtres d’acquisition tant bien rgls. Que constate-t-on? Pourquoi? 5. On considre dsormais un circuit RLCaliment par un GBF. On souhaite visualiser sur la voie 1 de l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF et sur la voie 2 l’image du courant qui traverse le circuit. Faites le schma du montage et indiquer les branchements de l’oscilloscope. Peut-on observer á l’aide de l’oscilloscope la tension aux bornes du condensateur et le courant qui traverse le circuit? Expliquer.
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