Divers exemples de modèles dynamiques feuille réponse

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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 6 Divers examples de modeles dynamiques Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique de deux populations en competition, dont nous avons vu un premier exemple lors de la seance 2. Notre objectif dans les deux cas est d'etudier les possibilites de coexistence de ces deux populations. Exercice 1. : Le premier exemple illustre ce que l'on appelle le principe d'exclusion competitive. Voici son systeme differentiel et, plus bas, son champs de vecteurs : { x? = (1? 0.5x? 0.33y)x y? = (1? x? 0.5y)y (1) 0 0.5 1 1.5 2 y 0.5 1 1.5 2 x extinction de l'espece 2 1. Calculer les equations de deux droites qui sont les isoclines x? = 0 du systeme (1). 2. Meme question pour les deux isoclines y? = 0. 3. A droite de la figure, tracer dans un plan (x, y) les isoclines du systeme puis tracer dans chaque region (et sur les isoclines) les fleches donnant l'allure du champs de vecteurs. 1

  • fleche indiquant la direction du champs

  • taux de croissance intrinseque des larves

  • bassin d'elevage de poissons

  • fleches donnant l'allure du champs


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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NOM : PRENOM :
Date : Groupe :
Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD6 Diversexamplesdemode`lesdynamiques
. .
Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique dedpxueitnoe´itennsmpcoulopioat, dont nousavonsvuunpremierexemplelorsdelase´ance2.Notreobjectifdanslesdeuxcasestde´tudierles possibilit´esdecoexistencedecesdeuxpopulations. Exercice 1.:Le premier exemple illustre ce que l’on appelle lenciop´omexdusclnirpepictetivie. Voici sonsyst`emedi´erentielet,plusbas,sonchampsdevecteurs: 0 x= (10.5x0.33y)x (1) 0 y= (1x0.5y)y
2
1.5
y 1
0.5
0
extinction de l'espece 2
0.5
1 x
1.5
2
0 1.Calculerles´equationsdedeuxdroitesquisontlesisoclinesx=us0d`tsy(eme.)1
0 2.Meˆmequestionpourlesdeuxisoclinesy= 0.
3. A droitede la figure, tracer dans un plan (x, ydreccsnaiupeartsquhael)sesiusyst`emoclinesd r´egion(etsurlesisoclines)lese`chesdonnantlallureduchampsdevecteurs.
1
4.Combienlesyst`eme(1)a-t-ildepointsde´quilibres?Calculerleurscoordonne´es,lesrep´erersurla figure.
5.De´terminerlanaturedechaque´equilibre(noeud,col,foyeroucentre)etve´riervosr´esultatssur votre figure. Ajouter quelques trajectoires.
6.Quepensez-vousdele´volutiondesdeuxpopulationsseloncemode`le:vont-ellescoexisteroulune delleva-t-elledisparaıˆtre?Expliquer.
7. Tracerapproximativement les deux graphes des composantesx(t) ety(t) de la solution de (1) issue du pointM= (2,1).
Exercice 2.:me`tdedexuespedevtcuesrsaosci´e`aunautresysserugaLretnaviuenesr´epamchlete espe`cesencompe´tition 0 x= (1x2y)x (2) 0 y= (12xy)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. 1.Ajoutersurcedessinlesisoclinesetlespointsde´quilibre(indiquervoscalculsci-dessous).
2
coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes
1
0.8
0.6 y
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.81 x
2.D´eterminerlanaturedese´quilibres.
3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.
4.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1ε), pourε >0 petit.
5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1ε,1).
3
6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemod`eleconduitenge´n´eral`alextinctiondelunedesdeux populations.
Exercice 3.:e´elavegabssnidsiumpepnotseuenquelonOanledtnocxuatsnpansnrupodesois larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelledunmod`eledeLotka-Volterramaiselleendie`reparlefaitqueletauxdecroissance intrinse`quedeslarvesnestpasproportionela`latailledecettepopulationmaisilestsuppose´constant aucoursdutemps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype 0 x=α1β1xy (3) 0 y=α2y+β2xy
o`ux(tlimne(sete)sreilre)esp´neetalatlieledalpopulationdelarvy(t) celle de la population de poissons. Cetypedemod`elesappelleunmode`leressource-consommateur. On suppose queα1= 20,β1= 0.04, α2= 0.75 etβ2= 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoecients β1etβ2?
0 2.Ecrirelesyste`medi´erentielpourcemod`elepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y=0etlescoordonn´eesdel´equilibre.
3. Dans le quadrantx0, ychacuneds,etdansnoqsuleser4e´ig0tceracosienilselrxuedsel de´limitentplacerune`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.
4.Peut-onend´eduirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +?
4
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