Du local au global interpolation entre

De
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Niveau: Supérieur

  • exposé


Du local au global : interpolation entre données peu régulières et quantités conservées Fabrice Planchon Laboratoire d'Analyse Numérique, URA CNRS 189, Université Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu BC 187, 75 252 Paris Cedex Introduction Lorsque l'on s'intéresse à une équation aux dérivées partielles d'évolution, et plus particulièrement au problème de Cauchy, la question la plus impor- tante après l'existence possible d'une solution est le comportement asympto- tique de celle-là. Explose-t-elle en temps ni, existe-t-elle pour tout temps, quel est son comportement à temps grand ? Si l'on laisse de coté les cas où l'on attend l'explosion sous une forme ou une autre, il existe essentiellement deux façons d'aborder l'existence globale de solutions. La première consiste à préa- lablement étudier la question de l'existence locale : on considère l'équation aux dérivées partielles comme une équation diérentielle dans un Banach, et l'on applique alors le formalisme usuel des équations diérentielles ordi- naires (généralement, le théorème de point xe de Picard). Ensuite, il s'agit de prolonger ces solutions locales globalement. Pour cela (en ignorant les cas où l'on dispose d'un principe du maximum), on s'appuie sur les lois de conservation associées aux symétries de l'équation.

  • méthode

  • unicité dans la classe du point xe local

  • origine des méthodes

  • changement d'échelle

  • contexte de navier-stokes

  • existence globale


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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certaines
Du
th?or?me
lo
d'?tudier
cal
princip
au
l'?quation
global
.
:
cales
in
sym?tries
terp
Sob
olation
ation
en
eu
tre
par
donn?es
Ensuite,
p
t
eu
les
r?guli?res
donnen
et
H
quan
tation).
tit?s
r?gularit?
conserv?es
a
F
p
abrice
s
Planc
minimal
hon
c
Lab
t
oratoire
prolonger
d'Analyse
our
Num?rique,
l'on
URA
um),
CNRS
ation
189,
lois
Univ
orne
ersit?
solution,
Pierre
restreindra
et
simplier
Marie
on
Curie,
LC
4
tr?l?e
place
?videmmen
Jussieu
Il
BC
Cau-
187,
au
75
dire
252
s
P
toujours
aris
p
Cedex
EDO,
In
IX1
tro
p
duction
de
Lorsque
s'agit
l'on
solutions
s'in
t.
t?resse
(en
?
cas
une
ose
?quation
du
aux
s'appuie
d?riv
de
?es
ci?es
partielles
l'?quation.
d'?v
conserv
olution,
une
et
priori
plus
de
particuli?remen
exemple
t
(on
au
espaces
probl?me
p
de
pr?-
Cauc
g?n?ralemen
h
cie
y
r?gularit?
,
est
la
olev
question
la
la
p
plus
y
imp
oir
or-
donc
tan
probl?me
te
h
apr?s
des
l'existence
aussi
p
c'est
ossible
donn?es
d'une
v
solution
s
est
il
le
niv
comp
r?gularit?
ortemen
de
t
m?tho
asympto-
elons-le
tique
la
de
le
celle-l?.
de
Explose-t-elle
oin
en
xe
temps
Picard).
ni,
il
existe-t-elle
de
p
ces
our
lo
tout
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temps,
P
quel
cela
est
ignoran
son
les
comp
o?
ortemen
disp
t
d'un
?
e
temps
maxim
grand
on
?
sur
Si
lois
l'on
conserv
laisse
asso
de
aux
cot?
de
les
Ces
cas
de
o?
ation
l'on
t
attend
b
l'explosion
a
sous
sur
une
normes
forme
la
ou
par
une
dans
autre,
1
il
se
existe
aux
essen
de
tiellemen
olev
t
our
deux
la
fa?ons
sen
d'ab
Plus
order
t,
l'existence
asso
globale
?
de
une
solutions.
s
La
qui
premi?re
la
consiste
Sob
?
con
pr?a-
par
lablemen
conserv
t
(il
?tudier
eut
la
t
question
en
de
v
l'existence
plusieurs).
lo
est
cale
n?cessaire
:
le
on
de
consid?re
c
l'?quation
y
aux
our
d?riv
donn?es
?es
moins
partielles
p
comme
r?guli?res,
une
?
?quation
des
di?ren
H
tielle
a
dans
ec
un

Banac
LC
h,
Or
et
existe
l'on
un
applique
eau
alors
de
le
qui
formalisme
ermette
usuel
r?soudre
des
les
?quations
des
di?ren
app
tielles
s
ordi-
,
naires
r?gularit?
(g?n?ralemen
t,r?sultats
critique.
trois
C'est
un
souv
en
en
l'incon
t
est
la
a
r?gularit?
eectiv
corresp
la
ondan
t
t
des
aux
et
in
est
v
question
ariances
etite
de
our
c
es,
han-
de
gemen
ces
t
celle-l?
d'?c
en
helle
d?part.
de
existan
l'?quation
au-del?
(mais
c
pas
ariance
n?cessairemen
p
t,
p
en
H
particulier
Bourgain
quand
?
elle
d?fo
serait
?tendus
n?gativ
une
e).
quelque
Lorsque
la
s
v
c
est
<
il
s
et
LC
l'?quation
,
p
le
structurelles
temps
pr?sen
d'existence
liens
lo
la
cal
lois
dans
ci-dessus.
H
Le
s
.
LC
l'indice
est
t
prop
p
ortionnel
s
?
naturelle
la
sorte
norme
?
de
l'existence
la
s
donn?e
qu'on
initiale,
trer
et
un
en
Sc
utilisan
dimension
t
de)
la
d'autres
b
([7]).
orne
he
a
Bourgain,
priori
L'a
sur
la
H
di?ren
s
principal
LC
t
de
tho
la
l'on
loi
l'unicit?
de
n?cessaire
conserv
p
ation,
t
on
tr?s
p
la
eut
deux
donc
t
globaliser
onnes
les
l'?quation
solutions
but
lo
exp
cales.
revisiter
C'est
oten
par
en
exemple
lo
comme
pr?sence
cela
conserv
qu'on
l'exemple
mon
distingue
tre
:
l'existence
sous-critique,
globale
s
p
s
our
emen
l'?quation
l'in
des
c
ondes
helle,
sous-critique
existence
H
des
1
dans
,
.

emen
u
p
+
en
u
terp
3
l'existence
=
donn?e
0
LC
dans
?
R
dans

?
R
mon
3
ouv
,
t
[13].
tence
L'a
donn?e
v
sous-critique,
an-
tion
tage
dinger
de
te
cette
d'espace.
m?tho
sa
de
t
est
g?n?ralis?s
qu'elle
disp
donne
particulier
non
prop
seulemen
pro
t
e
l'existence,
de
mais
est
aussi
plus
l'unicit?.
an
Dans
simplicit?
le
robustesse
cas
de
critique
con
s
?nien
c
qu'il
=
?nien
s
de
LC
m?-
,
des
le
que
temps
n'obtien
d'existence
pas
d?p
:
end
est
non
d'?tudier
plus
a
de
osteriori,
la
g?n?ralemen
norme
c'est
mais
probl?me
du
dicile,
prol
de
de
di?rence
la
tre
donn?e
solutions
initiale,
erdan
et
certaines
il
b
est
propri?t?s
n?cessaire
de
de
de
recourir
Le
?
du
des
t
argumen
os?
ts
de
de
les
non-concen
p
tration
tiels
p
t
our
tre
esp
th?orie
?rer
cale
globaliser
la
les
des
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de
lo
ation,
cales.
de
Enn,
expliqu?
dans
On
le
donc
cas
situations
(sur-critique)

o?
cas
s
s
c
<
>
LC
s
Lorsque
LC
c
,
eectiv
ce
t
t
de
yp
v
e
par
d'appro
hangemen
c
d'?c
he
on
est
alors
sans
globale
esp
our
oir,
donn?es
mais
etites
on
H
disp
c
ose
Une
alors
relativ
d'une
t
appro
se
c
ose,
he
eut-on
di?ren
quelque
te,
"in
bas?e
oler"
sur
tre
les
globale
m?tho
grande
des
dans
de
s
compacit?.
et
En
globale
utilisan
p
t
donn?e
la
H
loi
c
de
J.
conserv
a
ation
tr?
qui
p
fournit
ait
une
emen
b
mon
orne
l'exis-
a
globale
priori,
grande
et
dans
une
cadre
appro
p
ximation
l'?qua-
(de
de
la
hr?
donn?e
cubique
et
calisan
de
en
l'?quation)
deux
r?guli?re,
Ses
on
(et
c
m?tho
herc
on
he
?t?
?
et
passer
?
?
?quations
la
ersiv
limite
en
(faible)
KdV
dans
Nous
les
osons
termes
ap-
non-lin?aires
c
p
alternativ
our
?
ob-
m?tho
tenir
de
une
qui
solution
en
globale.
sorte
L'exemple
simple.
historique
v
est
tage
le
la
cas
est
des
probable
?quations
de
de
m?tho
Na
dans
vier-Stok
ts
es
textes,
incompressibles
v
([18]).
t
Le
est
principal
IX2
inconp
ne
?es
sem
vier-Stok
ble
[12]
pas
espaces
p
ind?p
ossible
a
de
que
toujours
exp
?galer
en
les
de
r?sultats
([17]).
des
nouv
m?tho
et
des
le
"?
sorte,
la
ne
Bourgain",
la
et
solutions
m?me
fait
g?n?riquemen
[2,
t
p
on
au
s'attend
t
?
dernier
faire
c
moins
une
bien
asymptotique.
qu'a
des
v
oth?tique
ec
particulier
les
de
m?tho
un
des
ni.
plus
1
sophistiqu?es
Les
d?v
trouv
elopp
des
?es
cas.
dans
our
[7].
dimen-
Nous
a
pr?-
our
sen
a
tons
Lema-
dans
L
la
aux
premi?re
m?tho
partie
10
l'exemple
on
de
?
l'?quation
helle.
des
globale
ondes
n'est
cu-
comp
bique,
les
p
v
our
on
laquelle
asymptotique
on
n?cessairemen
retrouv
p
e
est
les
our
r?sultats
son
an
(et
t?rieurs
solutions
([16
t
])
nous
inspir?s
tr?s
de
pr?-
Bourgain.
cas
Le
g?n?ralisation
d?tail
p
de
IX3
ces
p
r?sultats
in
se
ces
trouv
ce
e
Calderon
dans
de
[11
incompressible
].
trois,

].
Le
tr?
cas
faibles
critique,
donn?es
s
Ce
c
retrouv
=
t
s
et
LC
de
.
lo
Supp
tra
osons
Calderon
toujours
l'origine
que
d?v
s
[11,
c
Dans
est
v
l'indice
t?resse
du
aux
c
r?gularit?
hangemen
t
t
se
d'?c
une
helle.
v
Il
initiale
existe
p
des
?tudie
situations
men
o?
utilisan
il
des
y
bin?es
a
les
existence
p
globale
tre
?
ortemen
donn?es
h
p
globale
etites
le
dans
d'une
un
et
espace
telle
plus
En
grand
comme
que
solutions
H
y
s
conn
c
?tre
=
etites)
H
ni,
s
de
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euv
,
qu'en
app
[10
elons-
v
le
le
B
_
c
,
.
tons
L?gitimen
partie
t,
3
on
et
p
cadre
eut
Beso
p
t
enser
dans
?
des
in
faibles
terp
our
oler
donn?es
en
term?diaires
tre
tre
H
deux
s
C'est
LC
qu'a
et
Calixto
B
p
c
l'?quation
.
Na
Dans
es
le
en
cas
sion
des
dans
?quations
1
de
Il
Na
mon
vier-Stok
l'existence
es
solutions
incompressibles
p
en
des
dimension
L
deux,
.
nous
r?sultat
a
?t?
v
?
ons
endammen
eectiv
par
emen
ri?
t
g?n?ralis?
mon
cas
tr?
donn?es
qu'il
2
y
c
a
Ces
v
v
ait
de
existence
son
globale
?
p
des
our
des
toute
elopp
donn?e
dans
dans
12,
un
].
espace
ce
d'in
tra
terp
ail,
olation
s'in
en
?
tre
eau
L
solutions
2
la
et
du
B
hangemen
M
d'?c
O
On
1
donne
.
priori
Nous
solution
n'en
(a
parlerons
ec
pas
donn?e
ici
qui
et
pas
nous
etite),
ren
l'on
v
son
o
orte-
y
t
ons
En
?
t
[12
m?tho
]
de
p
com
our
a
un
ec
exp
propri?t?s
os?
solutions
d?taill?
etites,
?
mon
ce
que
sujet.
comp

t
Le
d'une
cas
yp
sur-critique,
solution
s
est
c
t
>
m?me
s
celui
LC
solution
.
etite,
Dans
en
ce
qu'une
cas,
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on
stable.
disp
quelque
ose
tout
?v
p
en
les
tuellemen
faibles
t
Lera
d'une
qui
part
t
de
ues
solutions
our
faibles
r?guli?res
dans
p
H
apr?s
s
temps
LC
les
,
fortes
et
Kato
des
p
solutions
en
p
exploser
etites
temps
dans
Dans
H
]
s
a
c
ons
.
os?
Une
cas
fa?on
simple
de
H
donner
2
un
nous
sens
sen
?
dans
une
seconde
"in
le
terp
L
olation"
.
en
d?tails
tre
la
ces
au
deux
des
r?sultats
de
est
v
de
ourron
c
?tre
herc
?s
her
[9].
?
construire)
1
p
Existence
se
globale
4
p
C
our
La
l'?quation
le
des
informelle.
ondes
ale
cubique
)(6
a
les
v
?
ec
argumen
donn?es
y
_
de
H
t
s
A
,
k
s
s
<
commen?ons
1
L
On
en
s'in
du
t?resse
lo
?
(
l'?quation
des
(1)
5

complets,
@
rapp
2
es,
t
on

t

>
+
une

plus,
3
(
=
0
0
)
dans
s
R
remarques.

la
R
v
3
olev
(
vitesse
;
l'unicit?
@
xe
t
une
)
suppl?men
j
dans
t
4
=0
[21].
=
nous
(
p
0
nous
;
p

5
1
complications
)
v
;
c?dons
o?
e

les
est
la
?
@
v
s
aleur
c
r?elle.
4
L'?quation
il
est
solution
sous-critique
(1).
H
k
1
H
et
)
d?fo
k
calisan
_
te,
L
donc
(1
l'existence
3)
lo
:
cale
faire
dans
p
H
enser
1
d'appartenance
devien
en
t
t
globale
de
en
caux
utilisan
t
t
de
la
de
conserv
la
ation
oin
du
cal,
hamiltonien
mo
kr
d'in

en
k
mais
2
obtenir
L
1
2
H
+
par
1
suppl?men
2
p
k
de

mon
k
seulemen
4
s
L
,
4
v
,
?
[13
les
].
gain
Concernan
?
t
t
l'existence
hniques
lo
direct
cale
la
p
Nous
our
plusieurs
des
la
donn?es
suit
p
our
eu
de
r?guli?res,
consid?rera
le

r?sultat
(on
d?nitif

est
).
celui
1
de
ave
[19
s
]
3
(dans
.
un
lors
con
existe
texte
unique
plus
glob
g?n?ral).
de
L'?quation
De
(1)
(2)
est

lo
_
calemen
s
t
t
bien

p
(
os?e
u
dans
k
_
H
H
\
1
4
2
t

s
_
s
H
4
1
3
2
Nous
et
par
mal
plusieurs
p
On
os?e
eut
en
disp
dessous
de
de
condition
s
?
=
4
1
tra
2
aillan
qui
dans
est
espaces
l'indice
Sob
in
lo
v
et
arian
utilisan
t
la
par
nie
c
propagation.
hangemen
m?tho
t
donne
d'?c
dans
helle.
classe
Les
p
m?tho
t
des
lo
"?
c'est
la
dire
Bourgain"
dulo
donnen
condition
t
t?grabilit?
l'existence
cale
globale
temps
p
taire,
our
on
s
eut
>
l'unicit?
3
L
4
t
,
_
[16
3
].
)
Nous
un
allons
t
donner
taire,
une
Enn,
preuv
our
e
raisons
di?ren
simplicit?
te,
allons
bas?e
trer
sur
r?sultat
la
t
strat?gie
our
in
>
tro
6
duite
et
dans
ren
le
o
con
ons
texte
[11]
de
our
Na
r?sultats
vier-Stok
le
es
de
dans
6
[2].
3
Nous
n?cessitan
d?mon
des
trons
tec
dans
sans
[11]
ort
le
a
r?sultat
ec
suiv
m?tho
an
g?n?rique.
t
pro
:
en
Th?or?me
?tap
1
et
Soit
preuv
(
qui
0
est
;
P

?viter
1
lourdeurs
)
notation,
2
ne
(
que
_
donn?e
H
j
s
=0
\
"oublie"
L
t
4
j
;
=0
_
IX4
Hjk
1.
t
On
1
commence
L
par
:
s?parer
H
la
En
donn?e
2

k
0
donc
2
facile
_
k
H
que
s
x
:
2

2
0
obten
=
s
u
T
0
1
+
0
v
lo
0
de
o?
P
u
1
0
1
est
u
dans
in
_
puisque
H
pr?c?den
1
)
a
deux
v
p
ec
k
une
2
grande
T
norme
eut
et
+
v
T
0
1
est
=0
dans
)
_
que
H
p
1
un
2
t
a
_
v
eectue
ec
t
une
sut
p
son
etite
2
norme.
de
Ceci
t
est
lo
toujours
D'autre
p
L
ossible,
dans
par
(v
exemple
donne
par
(
s?paration
terme
fr?quen-
con
cielle
si
?
norme
la
nous
fr?quence
u
j
_

L
j
2

3
2
u
J
lin?aire
a
gauc
v
j
ec
)
J
a
susammen
2
t
6
grand.
k
2.
j
On
(
r?sout
u
l'?quation
Il
(1)
v
a
?quation
v
t
ec
dans
la
,
p
terv
etite
d?p
donn?e
t
v
0
0
1
.
cela,
Ceci
p
nous
dans
donne
_
une
.
solution
prouv
globale
termes
p
dans
etite,
(
v
)
dans
t
C
o-
t
2
(
L
_
et
H
t
1
en
2
v
)
t
\
x
L
0
4
H
t
1
(
l'?tap
L
Cela
4
2
x
1
)
2
,
H?lder.
et
reste,
toutes
,
les
par
normes
ts,
de
d?note
v
kj
son
l'espace
t
t
p
v
etites
(3)
et
T
de
0
taille
1
plus
1
p
+
etite
(
que
1
2
T
k
u
v
T
0
3
k
le
_
droite
H
absorb?
1
d?s
2
2
,
1
qui
6
est
Nous
d'ordre
r?sultat
2
ec
(
inf
1
j
2
+
s
)
)
u
J
_
.
:
On
t
notera
=
que
u
la
;
condition
1
de
:
p
est
etitesse
de
nous
oir
force
cette
?
est
c
calemen
hoisir
bien
2
os?e
(
_
1
1
2
sur
s
in
)
alle
J
temps
.
endan
"
uniquemen
0
de
.
u
Dans
k
l'optique
H
d'une
.
?tap
our
e
on
ult?rieure,
un
il
oin
est
xe
b
C
on
(
de
H
re-
)
marquer
Il
que
de
toute
er
r?gularit?
les
additionnelle
non-lin?aires
est
t
pr?serv
L
?e,
t
c'est-?-dire
L
par
x
exemple
.
que
utilisan
(1)
l'injection
k
Sob
v
lev,
k
3
C
C
t
(
(
2
_
)
H
donc
1
calemen
2
est
+
t?grable
1
temps.
6
part,
)
2
\
3
L
(
3
6
t
)
(
v
L
est
6
_
x
1
)
+

6
2
oir
(
e
1
te).
2
nous
+
v
1
u
6
L
s
t
)
L
J
x
;
par
puisque
Le
v
qui
0
u
2
v
_
est
H
tr?l?
1
les
2
pr?c?den
+
donc
1
l'on
6
par
(en

fait,
la
v
dans
0
du
2
oin
_
xe,
H
a
s
ons
p
u
our
jk
tout
kj
s
.
2
u
(
k
1
H
2
+
;
u
1)
k
).
2
3.
2
P
j
our
1
obtenir
+
une
6
solution
)
de
1
l'?quation
jk
que
kj
nous
+
a
jk
vions
kj
au
T
d?part,
Ainsi,
nous
terme
?tudions
?
une
p
?quation
?tre
p
?
erturb?e,
he,
(2)
que

.
@
6
2
(
t
2
u
1

s
u
.
+
obtenons
u
le
3
souhait?,
+
v
3
(4)
u
.
2

v
6
+
(
3
2
v
1
2
s
u
;
=
k
0
0
(
2
u;
H
u
!
t
IX5
)k
4.
raner
P
:
our
c
?tendre
2
cette
Cette
solution
ignoran
lo
t
cale
1
p
de
our
T
tout
obtenir
temps,
le
il
H
nous
tailles
faut
1
ob-
H
tenir
s
une
)
b
grand,
orne
grand,
a
+
priori
triviale
sur
:
l'?nergie
apparaissen
de
1
la
(7)
solution
H
u
eut,
.
de
P
:
our
_
obtenir
M
cette
+
b
J
orne,
3
il
(
sut
donne
d'utiliser
our
l'in?galit?
s
d'?nergie,
c
sous
b
r?serv
2
e
)
que
la
les
e,
termes
s
p
il
erturbatifs
les
puissen
d'?nergie,
t
s
?tre
En
con
(6)
tr?l?s
0
par
0
la
1
seule
grand
?nergie
a
de
de
u
ce
.
s
Eectiv
0
emen
1
t,
M
nous
_
a
k
v
s
ons
T
k
2
u
2
k
+
2
T
_
2
H
3
1
qui
+
con
k
T
@
arbitrairemen
t
longtemps
u
5
k
sut
2
J
L
l'on
2
de
+
3
1
(1
2
3
k
1
u
partie
k
partie
4
la
L
l'on
4
r?sultat

3
k
our
u
n?cessaire
0
estimations
k
t?grales
2
dans
_
our
H
2
1
(5)
+
s
k
et
@
les
t
t
u
k
k
2
2
k
L
2
2
2
+
An
1
T
2
l'on
k
faut
u
ec
0
ectiv
k
0
4
0
L
conduit
4
la
+
3
6
k
Z
_
t

0

j
s
u
grand.
2
0
v
1
@
1
t
k
u
,
j
)
ds
E
+
T
6
3
Z
2
t
(
0
3
j
)
v
E
2
2
u@
T
t
3
u
J
j
2
ds:
s
En
;
prenan
nous
t
le
le
tr?le
suprem
E
um
p
p
T
our
t
t
aussi
<
que
T
>
,
6
a
il
v
de
ec
hoisir
H
assez
T
puisque
d?f
a
=
esoin
sup
(6)
t<T
4
(
2
k
J
u
s
k
2
2
s
_
.
H
:
1
derni?re
+
est
k
seule
@
non
t
de
u
preuv
k
si
2
souhaite
L
le
2
optimal
+
>
k
4
u
P
k
cela
4
est
L
de
4
les
)
sur
,
in
nous
qui
obtenons
t
H
l'in?galit?
T
p
.
remplacer
H
facteur
0
3
+
dans
H
par
T
2
Z
.
T
fait,
0
en
k
t
v
epsilons,
k
devien
2
alors
L
T
6
u
x
k
ds
_
+
1
H
v
3
k
2
_
T
1
Z
.
T
:
0
de
k
hoisir
v
aussi
k
que
L
v
6
il
x
jouer
ds;
v
o?
les
l'on
resp
a
es
utilis?
u
H?lder
et
et
v
l'injection
,
de
qui
Sob
imm?diatemen
olev
?
p
condition
our
>
les
4
in
prenons
t?grales
v
?
k
droite.
H
En
2
com
M
binan
k
t
k
a
H
v
o?
ec
est
(1),
Alors
il
u
vien
k
t
H
(5)

E

T

.

2
_
2
s
J
IX6
(1r?gularit?)
o?
pr?sen
s
p
=
t

qui
+
globale.
1
mon
2
2
(1
T.

T
)
que
.
etite
Ceci
globale
force
)
nalemen
t
t
our
2
les

u
1
temps,
<
)
0
que
.
etite
Cette
solution
fron
tra?ne
ti?re
induit

)
=
([0
1
il
2
lim
en
IX7
tre
t
la
la
loi
ouv
de
H.
conserv
our
ation
H
(ici,
et
_
2
H
_
1
est
)
supp
et
+
l'?c
ose
helle
est
(ici,
nous
_
t
H
temps,
1
est
2
autre
)
le
sem
([0
ble
)
partie
Soit
in
[
t?gran
(8).
te
y
de
,
la
1
m?tho
3
de,
2
et
qui
appara?t
mais
aussi
l'unicit?
dans
de
la
un
m?tho
;
de
fortes
originale
ujita
de
([15])
Bourgain.
donn?es
Il
2
est
2
p
t
ossible
cales
que
que
les
([0
tec
)
hniques
1
d?v
Notre
elopp?es
une
p
laquelle
our
a
KdV
?
([7
.
])
l'on
ou
donn?e
NLS
la
([6])
emen
p
[10
ermetten
trons
t
grande
de
t
franc
un
hir
qui
cette
t
barri?re.
Nous
On
ici
notera
particulier,
que
pr?c?den
dans
d'une
le
2
cas
T
de
L
KdV,
Nous
le
Th?or?me
meilleur
2
r?sultat
+
disp
L
onible,
solution
([7])
lors,
est
p
exactemen
explosion
t
+
?
plus

!
=
u
1
k
2
0
,
0
mais
L
que
,
l'?quation
son
est
globales
lo
p
calemen
lesquelles
t
(ou
mal-p
propagation
os?e
la
en
est
dessous.
probl?me
2
ert
Stabilit?
et
p
solutions
our
de
l'?quation
F
de
et
Na
Kato
vier-Stok
p
es
des
tri-
initiales
dimensionnelle
0
Nous
_
nous
1
in
,
t?ressons
son
aux
uniques
?quations
lo
de
en
Na
c'est-?-dire
vier-Stok
u
es
C
incompressibles
;
dans
?
l'espace
;
en
H
tier,
2
(8)
.
8
but
>
d'?tudier
<
solution
>
our
:
on
@
ose
u
priori
@
T
t
=
=
1

Remarquons
u
si
r
supp

la
(
p
u
alors

solution
u
eectiv
)
t
r
Dans
p;
]
r
mon

qu'une
u
globale
=
devien
0
n?cessairemen
;
p
u
apr?s
(
certain
x;
ce
0)
en
=
notammen
u
qu'elle
0
stable.
(
allons
x
ter
)
un
;
cas
x
qui
2
le
R
t,
3
cas
;
solution
t
u

C
0
;
:
?
Il
;
est
3
bien
.
conn
allons
u
trer
qu'il
2
existe
u
deux
C
th?ories
;
distinctes
1
p
;
our
3
le
une
probl?me
de
de
A
Cauc

h
ne
y
eut
:
avoir
les
?
solutions
=
faibles
1
de
et
J.
pr?cis?ment
Lera
t
y
+
([18
k
]),
(
p
)
our
L
des
=
donn?es
:
initiales
u(

rec
L
;
a
tr?
solution
3
u
;
p
L
oss?
2.
de
glob
les
IX8
m?mes
norme
pr
normes
opri?t?s
d?mon-
d'int?
2
gr
4
abilit?
glob
et
(
de
t
d?
R
cr
l'on
ois-
3
sanc
((0
e
trer
?
group
l'inni
du
que
yp
les
la
solutions
alors
p
p
etites.
qui
La
(
premi?re
solution
partie
0
du
de
th?or?me
t
est
)
implicite
v
dans
B
[17]
3
o?
2
elle
B
est
La
obten
e
ue
_
en
p
corollaire
de
de
les
l'?tude
qui
des
cons?quence
solutions
qu'il
faibles
de
L
2
2
Dans
l
os?e
oc
H
.
stabilit?
Remarquons
l'h
qu'aucune
r
h
2
y-
?limin?e
p
u
oth?se
une
n'est
A
faite
e
sur
que
le
L
taux
v
de
v
croissance
(
de
L
la
u
norme
B
L
C
3
L
de
u
la
3
solution.
3
La
)
seconde
que
partie
3
du
);
th?or?me
3
p
)
eut
ersistance
se
t
v
L
oir
1
comme
2
une
3
cons?quence
de
de
p
la
les
premi?re
del?es
partie,
du
sous
lin?aire,
r?serv
au
e
h?.
que
ortan
l'on
2
disp
ermet
ose
un
d'un
sous
r?sultat
g?n?rique
de
t
p
)
ersistance
cas
du
est
t
r?guli?re,
yp
t
e
)
suiv
th?or?me
an
?t?
t.
[22]
Il
oth?se
s'agit
?
de
2
la
(
r?cipro
)
que
eut
du
au
r?sultat
4
bien
C
conn
3
u
a
([5
de
])
c
dans
stable,
le
existe
con
)
texte
k
_
0
H
<
1
)
2
la
:
ondition
si
,
une
et
solution
v
u
k
2
+
C
k
([0
)(
;
3
T
3
?
ds
);
u
_
k
H
e
1
0
2
3
)
3
appartien
ds
t
2
?
;
L
3
2
d'o?
((0
conclut
;
u
T
L
?
((0
)
1
;
_
_
2
H
;
3
3
2
.
)
p
alors
d'une
elle
du
est
yp
prolongeable
de
dans
3
_
;
H
);
1
B
2
3
au-del?
3
de
)
T
ermet
?
mon
.
la
Th?or?me
ersistance
3
toutes
Soit
autres
T
mo

sur
<
propri?t?s
+
semi-
1
e
et
ce
soit
conduit
u
r?sultat
2
herc
C
Une
([0
imp
;
te
T
Th?or?me
?
est
];
p
L
de
3
trer
)
th?or?me
une
stabilit?
solution
l'h
de
oth?se
(8).
u
A
C
lors
(
Z
3
T
.
?
le
0
o?
k
solution
u
supp
k
plus
3
u
_
C
B
(
2
1
3
,
;
un
3
de
3
a
ds
d?mon
<
dans
+
sous
1
yp
:
de
Ainsi
etitesse
nous
l'inni
obtenons
u
donc
L
la
t
seconde
L
partie
x
du
,
Th?or?me
p
2
?tre
de
gr?ce
la
Th?or?me
mani?re
Th?or?me
suiv
Soit
an
2
te.
t
Il
L
existe
)
T
solution
tel
priori
que
ale
u
(8).
(
lors
T
ette
)
est
soit
c'est-?-dir
p
qu'il
etit
"
en
u
norme
tel
L
si
3
u
;
v
par
k
la
3
th?orie
"
des
u
solutions
alors
?
,
donn?es
solution
p
c
etites
initiale
u
0
2
est
L
ale
3
k
((
u
T
)(
;
)
1
3
);
3
_
Z
B
0
2
(
3
v
;
s
3
k
3
_
)
2
et
;
par
3
le

Th?or?me
k
3
0
(cas
0
T
3

3
ni),
C
u
t
2
k
L
k
3
_
((0
2
;
;
T
3
);
:
_
Bsolution
Nous
0
ren
la
v
w
o
il
y
le
ons
8
?
B
[9]
3
p
L
our
z?ro
les
dans
preuv
0
es

compl?tes
une
et
par
?tendues
t
au
3
cadre
que
des
partir
espaces
solution
de
oir
Beso
la
v
ose
_
v
B
v
(1
t
3
=
p
th?orie
)
3
;q
v
p
z?ro
a
on
v
t
ec
ds
1
0

temps
p;
t
q
0
<
on
+
etites
1
et
.
norme
Remarquons
]).
que
ce
le
s?paration
cadre
pr?cis?men
"optimal"
v
B
2
M
etite
O
\
1
norme.
est
:
inatteignable
r
par
p;
les
(
m?tho
)
des
etites,
d?v
C
elopp?es
3
ici.
3
Nous
etite
donnons
qui
main
par
tenan
solution
t
(9)
une
L
id?e
(
des
3
preuv
0
es,
tout
bas?es
0
sur
donc
une
0
com
u
binaison
)
des

tec
et
hniques
ce
in
eut
tro
des
duites
:
dans
p
[3]
v
et
l'inni
[12].
3
On
exemple
notera
our
que
g?n?ral
la
on
preuv
c?dure
e
tro
exp
].
os?e
on
ici
0
s'applique
+
en
w
fait
3
au
une
cadre
et
Beso
L
v,
2
sous
une
la
r?sout
condition
<
2
w
q

+
(
3
)
p

>
;
1
0)
(et
(
en
ar
supp
donn?es
osan
obtien
t
w
une
(
forme
\
d'unicit?
(
si
3
la
)
r?gularit?
une
est
(v
n?gativ
[4])
e).
v
Il
l'inni,
est
([8])
n?cessaire
aussi
de
Kato
pro
en
c?der
w
di?remmen
k
t
+
dans
k
les
)
autres
B
cas.
3
2.1
k
D?monstration
3
du
IX9
Th?or?me
"
2
>
La
,
remarque
existe
cruciale
un
est
t
la
tel
suiv
k
an
(
te
0
:
k
si
3
u
"
0
,
est
?
dans
de
L
temps
3
p
\
appliquer
L
th?orie
2
p
,
solutions
alors
la
par
reste
uni-
etite
cit?
tend
fort-faible
ers
([23])
?
la
en
solution
L
u
(v
reste
par
dans
[14
L
P
2
r?duire
et
cas
v
?
?rie
cas,
l'in?galit?
utilise
d'?nergie
pro
8
de
t
in

duite
0
[2
;
Plus
E
t,
(
d?comp
u
u
)
=
d?f
0
=
w
k
o?
u
0
(
L
t
a
)
ec
k
p
2
norme
L
v
2
2
+
3
2
L
Z
a
t
ec
0
grande
kr
On
u
l'?quation
(
>
s
>
)
@
k
@
2
=
L
w
2

ds
w

w
k
r
u
r
0
w
k
0
2
w
L
x;
2
=
:
0
P
x
ar
P
suite,
la
u
des
2
p
L
on
1
t
t
solution
(
2
L
t
2
L
)
)
\
L
L
t
2
_
t
2
(
;
_
3
H
a
1
ec
)
p
,
norme
et
oir
par
exemple
in
et
terp
tend
olation
ers
u
?
est
puisque
dans
unicit?
L
cette
4
est
t
la
(
de
_
;
H
a
1
particulier
2
k
)
(
,
)
donc
3
par
3
injection
Z
de
0
Sob
w
olev,
s
u
k
2
_
L
2
4
;
t
3
(

L
w
3
k
)
L
.
:
P
ourun
Ensuite,
k
on
Z
consid?re
u
la
elle-m?me,
di?rence
3
v
en
d?f
est
=
alors
u

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