DYNAMIQUE DES FLUIDES Viscosité EXERCICES DF31 Viscosimètre bille Un tube cylindrique vertical contient un fluide de masse volumique et de viscosité A sa partie supérieure on y lâche sans vitesse initiale une bille sphérique de rayon a de masse volumique On suppose que la sphère subit de la part du fluide une force de traînée de type purement visqueux Déterminer l'équation différentielle laquelle obéit la vitesse de chute de la bille Quelle la vitesse limite atteinte En supposant cette vitesse atteinte par la bille on mesure le temps entre les passages de la bille deux altitudes différant de H En déduire l'expression de A N a mm kg m kg m glycérine s H cm DF32 Perte en charge Un récipient de large section contient un fluide incompressible de masse volumique kg m sur une hauteur h Le récipient se vide lentement par un tube de section s mm2 et de longueur L cm On donne AB CD cm On suppose tout d'abord le fluide parfait Pour h cm déterminer la vitesse d'éjection en E la répartition de vitesse et de pression dans le tube A quel niveau monterait le fluide dans les tubes latéraux Comment évolue ce niveau au cours de l'écoulement du fluide s L

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DYNAMIQUE DES FLUIDES Viscosité EXERCICES 3 ? DF31 Viscosimètre à bille Un tube cylindrique vertical contient un fluide de masse volumique ?0 et de viscosité ?. A sa partie supérieure, on y lâche sans vitesse initiale une bille sphérique, de rayon a, de masse volumique µ. On suppose que la sphère subit de la part du fluide une force de traînée de type purement visqueux. Déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse de chute de la bille. Quelle la vitesse limite atteinte ? En supposant cette vitesse atteinte par la bille, on mesure le temps ? entre les passages de la bille à deux altitudes différant de H. En déduire l'expression de ?. A.N. a = 1 mm, µ = 7,9 103 kg.m-3, ?0 = 1,26 103 kg.m-3 ( glycérine ), ? = 28 s, H = 50 cm. ? DF32 Perte en charge Un récipient de large section contient un fluide incompressible, de masse volumique ? = 1000 kg.m-3, sur une hauteur h. Le récipient se vide lentement par un tube de section s = 5 mm2 et de longueur L = 40 cm. On donne AB = CD = 10 cm. On suppose tout d'abord le fluide parfait. Pour h = 85 cm, déterminer la vitesse d'éjection en E, la répartition de vitesse et de pression dans le tube.

  • répartition de vitesse et de pression dans le tube

  • section s2

  • récipient de large section

  • fluides visqueux

  • expression de la période t0 des oscillations du liquide

  • ecoulement

  • profil de l'écoulement dans la couronne


Publié le : mardi 29 mai 2012
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D Y N A M I Q U ED E SFLU I D E SViscosité EXERCICES3DF31Viscosimètre à bille Un tube cylindrique vertical contient un fluide de masse volumiqueρ0de viscosité etη. A sa partie supérieure, on y lâche sans vitesse initiale une bille sphérique, de rayona, de masse volumiqueµ.On suppose que la sphère subit de la part du fluide une force de traînée de type purement visqueux. Déterminer léquation différentielle à laquelle obéit la vitesse de chute de la bille. Quelle la vitesse limite atteinte ? En supposant cette vitesse atteinte par la bille, on mesure le tempsτles passages de la bille à entre deux altitudes différant deH. En déduire lexpression deη. 3 -33 -3 A.N.a= 1 mm,µ= 7,9 10kg.m ,ρ0= 1,26 10kg.m (glycérine ),τ= 28 s,H= 50 cm. DF32Perte en charge Un récipient de large section contient un fluide incompressible, de masse volumique -3 ρ= 1000 kg.mune hauteur, surh. Le récipient se 2 vide lentement par un tube de sections= 5 mmet de longueurL= 40 cm. On donne AB = CD = 10 cm. h On suppose tout dabord le fluideparfait. Pourh =85 cm, déterminer la vitesse déjection s en E, la répartition de vitesse et de pression dans le tube. A quel niveau monterait le fluide dans les tubes A BC D latéraux ?Comment évolue ce niveau au cours de lécoulement du fluide ? L Le fluide est maintenantréel, de viscositéη. Lécoulement dans le tube est du type Poiseuille, cest-à-dire que le fluide sécoule sous la seule action dun gradient de pression. On constate, pourh =85 cm, que le récipient perd un litre en 3 minutes. Déterminer la vitesse moyenne déjectionU. Quelle est la répartition de vitesse et de pression dans le tube ? Les hauteurs de fluide dans les tubes latéraux sont respectivement égales à 60 et 20 cm. En déduire le gradient de pression dans le tube, et la valeur numérique du coefficientη. Evaluer le nombre de Reynolds de lécoulement. Calculer enfin littéralement en fonction deL,U,ηla force exercée par le fluide sur le tube déjection. #&1" "v " pour=le jeu des coordonnées cylindriques. On donne v=%r(ezr )ev v(zdans r"r$"r'
DF33Viscosimètre à écoulement Un récipient de diamètreDvide par se lintermédiaire dun tube de longueurLet de diamètre d<<D; Le fluide contenu est visqueux, incompressible ;le régime découlement est quasi-permanent et de type Poiseuille dans le tube. Le fluide est considéré comme étant au repos dans la quasi-totalité du récipient. Déterminer la loi dévolution de la hauteurh(t) du fluide restant dans le récipient; Montrer que la mesure dune dénivellationΔhle temps pendant permet datteindre la viscosité cinématique du fluide ;
D
h
d
L A.N.h0= 6 cm,Δh= 3 cm,Δt= 59 mn,D= 4 cm,d= 1 mm,L= 50 cm . DF34Viscosimètre de Couette Un fluide visqueux sécoule entre deux cylindres concentriques de hauteurLet de rayonsR1etR2. Le cylindre intérieur est fixe et le cylindre extérieur tourne à vitesse angulaire constanteω. B Lécoulement est orthoradial, de vitessev r=Ar+. ( ) r Déterminer les constantesAetB. A quoi correspondrait le cas limiteB= 0 ? On admettra lexpression de la force de viscosité sexerçant par unité de surface sur les parois $'dv v cylindriques :f=" #.s&)%dr r(Déterminer la force sexerçant sur le cylindre extérieur dans le casB= 0. Interpréter. Dans le cas général, déterminer les couples subis par les deux cylindres du fait de la viscosité du fluide. Commenter. Comment les mesurer ? Quel peut être lintérêt de cette mesure ? D lementvisqueux sur un plan incliné F35Écou On considère lécoulement dun fluide, de viscosité dynamiqueη,sur un plan incliné dun angleαsur lhorizontale, sous leffet des forces de pesanteur. On supposera lécoulement stationnaire, lépaisseur de la couche de fluide restant constamment égale àH. Déterminer le champ de pression au sein de fluide et le profil de vitesses. DF36Écoulement visqueux un plan oscillant On considère l'écoulement bidimensionnel d'un fluide visqueux, de viscosité cinématiqueν, occupant tout lespacey >0.Ce mouvement est provoqué par un plan oscillant déquationy0, animé dune = vitesse :V=acos("t )e0x Déterminer léquation différentielle à laquelle obéit le champ des vitesses dans le fluide. En déduire le profil des vitesses du fluide (on fera apparaître une distance caractéristiqueδ). Calculer la force exercée par le fluide sur le plan oscillant par unité de surface de ce dernier.
DF37Amortisseur hydraulique On considère le dispositif représenté ci-dessous : e
V
2R
L Le cylindre fixe contient un fluide visqueux incompressible. Le piston se déplace à une vitesseV, supposée variant lentement. Les forces de pesanteur sont négligées. Lécoulement de fluide à travers la couronne périphérique (jeu du piston) est du type Couette plan si on néglige les effets courbure (e<<R). Montrer que lincompressibilité du fluide implique effectivement un écoulement dans la couronne périphérique. Quel est le sens de cet écoulement ? Quel en est le débit volumique ? Montrer quil existe nécessairement une différence de pressionΔPentre les deux côtés du piston. Déterminer le profil de lécoulement dans la couronne, le débit volumique associé et en déduire une relation entreVetΔP. Déterminer la force de viscosité et la résultante des forces de pression sexerçant sur le piston. Comparer ces deux forces et conclure quant à lemploi du dispositif. Osci DF38dun fluide llations 2 On considère deux récipients reliés par un tuyau horizontal de sections3 cmet de longueur = 2 2 L= 20 cm ; le premier récipient a une sectionS1= 150 cmet le second une sectionS2= 300 cm . 1 – Montrer que le liquide va osciller autour dune position déquilibre (que lon ne calculera pas) si on provoque initialement un deséquilibre entre les deux réservoirs en provoquant par exemple une dépression dans un des réservoirs. On établira pour cela léquation différentielle du mouvement donnant la cotez1de la surface libre du liquide contenu dans le premier réservoir (lorigine O correspondra à létat déquilibre). On supposera dans cette question que le fluide est parfait. 2 – Donner lexpression de la périodeT0des oscillations du liquide. 3 – On suppose dans la suite que le fluide est visqueux, de cœfficient de frottement visqueuxη. Lécoulement dans le tube horizontal est de type Poiseuille et la loi des vitesses est à profil parabolique : #2&r v( r )=v(0)1"avecv(r) vitesse du fluide dans le tube cylindrique à la distancerlaxe du tube, de %2($R'v(0) vitesse sur laxe etRrayon du tube.  a)Quelle est la dimension deη? b)Soitqmle débit massique à travers une section droite de ce tube. On définit la vitesse débitante vmpar :qm=ρ.s.vm. Déterminervmen fonction dev(0).
c) Déterminer la force volumique de frottement visqueux. On donne lexpression du Laplacien en coordonnées cylindriques dans le cas dun champ des vitesses $'1# #v . de la forme :v=v( r )u:"v=&r)ezz r#r%#r( d)Montrer que le frottement visqueux dans le tube entraîne une perte dénergie mécanique par 2 8"Lsv m unité de temps :. 2 R  e)Donner en fonction devm, lexpression de lénergie cinétique du liquide dans le tube horizontal.  f)Par un raisonnement énergétique, déterminer la nouvelle équation différentielle vérifiée parz1. S 1 S 2 z z 1 0 z 2
L
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