DYNAMIQUE EN TEMPS GRAND DES EQUATIONS DE KDV GENERALISEES AU VOISINAGE DES SOLITONS

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
DYNAMIQUE EN TEMPS GRAND DES EQUATIONS DE KDV GENERALISEES AU VOISINAGE DES SOLITONS YVAN MARTEL Notes de Cours pour l'Ecole d'ete de l'Institut Fourier a Grenoble du 20 juin au 8 juillet. Ce cours fait suite a celui d'Anne de Bouard, Equations dispersives nonlineaires. 1. Introduction Ces notes decrivent quelques resultats recents concernant le comportement asymptotique en temps grand des solutions des equations de KdV (Korteweg-de Vries) generalisees (1) ut + (uxx + u p)x = 0, t, x ? R, dans le cas sous critique p = 2, 3, ou 4 et le cas critique p = 5. Ces resultats concernent les solutions qui sont proches d'un soliton ou de la somme de plusieurs solitons (multi-solitons). On rappelle que le probleme de Cauchy est bien pose pour (1) localement dans H1(R) (voir Kenig, Ponce and Vega [1]), c'est-a-dire que si u0 ? H1(R), alors il existe une unique (dans un sens approprie) solution maximale u ? C([0, T ),H1(R) de (1) sur [0, T ) verifiant u(0) = u0. De plus, soit T = +∞, la solution est globale, soit 0 < T < +∞, et dans ce cas, on a necessairement limt?T ?ux(t)?L2 = +∞ (explosion en temps fini).

  • large classe de donnees initiales

  • solitons de tailles differentes

  • resultat de stabilite

  • solitons

  • resultat de completude asymptotique de la famille des solitons

  • equations de kdv generalisees

  • equation


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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DYNAGMIE´QNUE´ERAELNISTE´EESMPASUGVROAISNIDNADGEESDE´EQSUASTOILOITNOSNDSEKDVYVANMARTELNotesdeCourspourl’Ecoled’e´te´del’InstitutFouriera`Grenobledu20juinau8juillet.Cecoursfaitsuitea`celuid’AnnedeBouard,Equationsdispersivesnonline´aires.1.IntroductionCesnotesde´criventquelquesre´sultatsre´centsconcernantlecomportementasymptotiqueentempsgranddessolutionsdese´quationsdeKdV(Korteweg-deVries)ge´ne´ralise´es(1)ut+(uxx+up)x=0,t,xR,danslecassouscritiquep=2,3,ou4etlecascritiquep=5.Cesre´sultatsconcernentlessolutionsquisontprochesd’unsolitonoudelasommedeplusieurssolitons(multi-solitons).Onrappellequeleproble`medeCauchyestbienpose´pour(1)localementdansH1(R)(voirKenig,PonceandVega[1]),c’est-a`-direquesiu0H1(R),alorsilexisteuneunique(dansunsensapproprie´)solutionmaximaleuC([0,T),H1(R)de(1)sur[0,T)ve´rifiantu(0)=u0.Deplus,soitT=+,lasolutionestglobale,soit0<T<+,etdanscecas,onane´cessairementlimtTkux(t)kL2=+(explosionentempsfini).Onsaitdeplusquelesquantite´ssuivantes(biende´finiespourdessolutionsH1)sontconserve´esaucoursdutemps:ZZ(2)u2(t)=u2(0),ZZZZ(3)E(u(t))=1u2(t)1up+1(t)=1u2(0)1up+1(0).2xp+12xp+1Danslecassouscritique1<p<5,l’ine´galite´deGagliardo–NirenbergZZp4+3Zp41(4)vH1(R),|v|p+1C(p)v2vx2montrequetouteslessolutionsH1sontglobalesetborne´esdansH1.L’e´quation(1)estinvarianteparscalingettranslation,c’est-a`-direque1siu(t,x)estsolutionalorsc>0,x0R,cp1u(c3/2t,c(xx0))estaussisolution.Onrappellequel’e´quation(1)admetdessolutionsondesprogressivesexplicites,appele´essolitons.SoitQ(x)l’unique(auxtranslationspre`s)solutionpositiveH1del’e´quation:1! p+1p1(5)Q>0,QH1(R),Qxx+Qp=Q,i.e.Q(x)=2p1.2cosh2xAlors,pourtoutc>0etx0R,1Rc,x0(t,x)=Qc(xx0ct)estsolutionde(1),ou`Qc(x)=cp1Q(cx).1
YVANMARTEL2Onaparuncalculdirect5pp+3(6)kQck2L2=c2(p1)kQk2L2etk(Qc)xk2L2=c2(p1)kQxk2L2,detellesortequesi1<p<5,alorskQckH10lorsquec0,tandisquepourp=5,kQck2L2=kQk2L2.D’autrepart,pourp=5,onaaussiE(Qc)=0pourtoutc>0,cequisignifiequelesquantite´esinvariantesnepeuventpascontroˆlerlatailledessolitonsdanslecascritique.Pour1<p<5,lessolitonssontstablesdansH1,ausenssuivant:Stabilite´dusoliton([13]).Soit1<p<5.Pourtout>0,ilexisteδ>0telquesiku(0)QkH1δalorst0,ilexistex(t)Rtelqueku(t,.+x(t))QkH1.Commel’e´quationestinvarianteparscalingettranslation,ilsuffitd’e´crirelastabilite´delasolutionQ(xt)pourende´duirecelledesautressolitons.Cere´sultatn’utilisequelesinvariantsdel’e´quation:e´nergieetnormeL2.Lepremierpointdececoursestdepre´ciserlecomportemententempsgranddessolutionsde(1)tellesqueku(0)QkH1δ,pourδpetit.Onmontrequetoutescessolutionsconvergententempsgrandversunsoliton,ausensdelanormeH1,localementenespace.Cere´sultatsigniequelafamilledessolitonsestasymptotiquestable.Ondiscuteraloptimalite´dure´sultatobtenu.VoirSection2.Ledeuxie`mepointdececours(voirSection3)estdetraiterlecasdesolutionsquisontprochesdelasommedeplusieurssolitonsdetaillesdie´rentes.Laproprie´te´destabilite´estencoreve´rifie´eavecplusieurssolitonsmaislade´montrationutilisedesproprie´te´sfinesdel’e´quation(1),etnonpasseulementlesquantite´sinvariantescommedanslecasd’unseulsoliton.Onretrouveaussiquetoutesolutiondecetypeconvergeverslasommedeplusieurssolitons,c’est-a`-direquelafamilledessommesdeplusieurssolitonsestasymptotiquementstable.Onmontreaussicommentlere´sultatdestabilite´peuteˆtreapplique´a`lacontructiondesolutionsexceptionnelles,detypemulti-solitonsentempsgrand.Cesontdessolutionsquisecomportentquandt+exactementcommelasommedeplusieurssolitonsdansRtoutentier.Danslescasinte´grables(p=2ou3),cessolutionssontconnuesparlatransformationd’InverseScatteringetontbiend’autresproprie´te´s,notammentcelledede´crirel’interactionentreplusieurssolitons.Pourlecasnoncomple`tementinte´grable,p=4l’existencedescessolutionspeuteˆtreconside´re´ecommesurprenante.Pourp=5,lecomportementdessolutionsautourdusolitonestdiffe´rente.Lesolitonestinstable,c’est-a`-direquelaproprie´te´pre´ce´denten’estpasve´rifie´e.Onsaitenfaitqu’ilexisteunelargeclassededonne´esinitialesarbitrairementprochesdeQ(x)dansH1(R)tellesquelasolutionu(t)de(1)exploseentempsfini.Cere´sultatserapre´sente´dansladernie`resection.Lanotiondeconvergenceversunsolitonestencorepre´sentedanslecadredel’exposantcritiquep=5,meˆmedanslecasdel’explosion,a`traverslanotiondeprofila`l’explosion(voiraussil’expose´derecherchedePierreRaphael).Lasolutionresteenfaitproched’unsolitonQc(t),maislecoefficientc(t)tendvers+.VoirSection4.Pourme´moire,signalonsquesip>5,lesolitonestinstable,maislephe´nome`ned’explosionentempsfinin’estpasconnu.Laplupartdestravauxpre´sente´sdanscecoursonte´te´re´alise´encollaborationavecFrankMerle.UndestravauxestencollaborationavecFrankMerleetTai-PengTsai.
DYNAMIQUEDESE´QUATIONSDEKDVGE´NE´RALISE´ES32.Comple´tudeasymptotiquedessolitonsDanscettesection,onpre´sentelere´sultatdestabilite´asymptotiquede´montre´dans[6]etame´liore´dans[10].The´ore`me1([6],[10]).Soitp=2,3ou4.Soitu(t)unesolutionH1de(1).Ilexisteα0>0telquesi(7)ku(0)QkH1α0.alorsilexistec+>0prochede1etunefonctionx:[0,+)RdeclasseC1telleque(8)v(t,x)=u(t,x)Qc+(xx(t))satisfaittli+mkv(t)kH1(x>t/2)=0.Deplus,limt+ddtx(t)=c+.Cere´sultatsignifiequelafonctionu(t,x+x(t))nonseulementresteprochedeQpourtouttemps,commeindique´parlere´sultatdestabilite´H1,maisdeplusconvergeversQc+lorsquet+,ou`c+estprochede1.C’estunre´sultatdecomple´tudeasymptotiquedelafamilledessolitons.Cependant,ilfautremarquerquelaconvergencealieudansunsensparticulier,localenespace.Enfait,laconvergenceennormeH1estvraiedanstoutintervalledelaformex>βt,pourβ>0,pourvuqueα0soitchoisiassezpetit,enfonctiondeβ.Cettenotiondeconvergencenepeutpaseˆtream´eliore´ecarsionsupposekv(t)kH1(R)0lorsquet+,alorsv0etu(t)estexactementunsoliton.Ceciestuneconse´quencedelacaracte´risationvariationnelledeQ:Qestlaseulefonction(auxtranslationspre`s)minimisantlafonctionnelled’e´nergiea`normeL2fixe´e.Celasignifiequ’enge´ne´ral,unautrephe´nome`neseproduitpourx<βt.Eneffet,u(t)peuttre`sbiencontenirunpetitsoliton(petitsolitonimpliquedevitessefaible,infe´rieurea`β),et/oudeladispersion,c’est-a`-direqu’unepartiedelanormeL2estperduepourx<0,dansunezoneou`l’ons’attenda`cequeu(t)tendevers0ennormeL(lecomportementexactdeu(t)pourx<0n’estpasconnu).Ladernie`reassertionde´critlecomportementdex0(t)lorsquet+.Onpourraittrouverinsuffisantel’informationobtenuesurx(t)puisqueelleneconcernequelade´rive´e.Mais,ils’ave`requ’enge´ne´ral,onnepeutpasaffirmerquex(t)c+tconvergeoumeˆmeresteborne´.Eneffet,lere´sulatsuivantfournitunexemple(seulementpourp=2)ou`x(t)s’e´cartedetcommelogtlorsqueletempsdevientgrand.The´ore`me2([10]).Soitp=2.Ilexisteα0>0telquepourtout0<α<α0ilexisteunesolutionH1u(t)de(1)tellequesupku(t)Q(xx(t))kH1α,0ttetli+mku(t)Q(xx(t))kH1(xt/2)=0,pourunefonctionx(t)declasseC1satisfaisantpourκ>0,x(t)ttli+mplog(t)=κ.
4YVANMARTELPourmontrercere´sultatonutiliselesformulesexplicitesdesmulti-solitonspourlecasinte´grablep=2,etonplaceunnombreinfinidesolitonsa`droitedusolitonprincipal.Latailledessolitonsde´croıˆtdetellesortequelase´rieconvergedansH1.Cependant,onmontrequeleshiftre´sultantsurlesolitonprincipaldevientinfini.Eneffet,lorsquedeuxsolitonssecroisent,leurtrajectoiresubitunde´calage,positifpourlesolitonleplusrapide,ne´gatifpourl’autre.VoirMiura[12]pourlame´thoded’inversescatteringetlesproprie´te´sdel’e´quationdeKdVde´duitesdel’inte´grabilite´totaledecettee´quation.Lade´montrationduThe´ore`me1reposeessentiellementsurdeuxproprie´te´sdel’e´quationdeKdVge´ne´ralise´e:lapremie`reestuneproprie´te´demonotonie(oupresquemonotonie)decertainesquantite´slocalesenespaceli´eesauxinvariants(normeL2ete´ne´rgie)del’e´quation.Ladeuxie`meproprie´te´estunerigidite´del’e´quationdeKdVautourdessolitons.Cetterigidite´peuts’e´crireauniveaudel’e´quationnonline´aire,etelleestuneconse´quenced’unerigidite´del’ope´rateurline´arise´autourdeQ.Nouspre´sentonscesdeuxoutilsdanslessections2.1et2.2.Lafindelade´montrationduThe´ore`me1seraesquise´edanslasection2.3DansleThe´ore`me1,onsupposep=2,3ou4etku(0)QkH1petit.Parlere´sultatdestabilite´,lasolutionu(t)estprochedeQ(xy(t))pourunecertainefonctiony(t).Danscesconditions,onpeututiliserlesinvariancesdel’e´quation(scalingettranslation)pourmodulerlasolution.Onobtientlelemmesuivant:Lemme1.Pourα0assezpetit,ilexistedesfonctionsc:R(0,+),x:RRdeclasseC1etuneconstanteK>0tellesquelafonctionε(t)de´finiepar(9)ε(t,x)=u(t,x)R(t,x),ou`R(t,x)=Qc(t)(xx(t)),satisfait,pourtouttR,ZZ(10)R(t,x)ε(t,x)dx=(xx(t))R(t,x)ε(t,x)dx=0,(11)|c(t)1|+|c0(t)|+|x0(t)c(t)|+kε(t)kH10.Deplus,Z(12)|c0(t)|2+|x0(t)c(t)|22(t,x)e21|xx(t)|dx.Lapreuvedelemmeestbase´esurlethe´ore`medesfonctionsimplicites,applique´a`u(t)pourtouttfixe´.Danscesnotes,nousadmettonscere´sultat.Remarquonsquelere´sulatdestabilite´asymptotiquesignifieε(t)0etc(t)c+lorsquet+.2.1.Proprie´te´de”presquemonotonie”.Danscettesection,nousintroduisonsunoutilessentieldansl’e´tudedel’e´quationdeKdVge´ne´ralise´e:desversionslocalesdesdeuxin-variants,normeL2ete´ne´rgiesontpresquemonotonesentemps.Apre`sle´nonce´etlade´monstrationdecetoutil,nousproposonsuneapplicationsimplequiestunepremie`repro-prie´te´dessolutionsprochesdessolitons.VoirLemme3.SoitK>0.PourxR,onposeKφ(x)=arctan(exp(x/K)),π
DYNAMIQUEDESE´QUATIONSDEKDVGE´NE´RALISE´ES5detellesortequelim+φ=1,lim−∞φ=0etpourtoutxR,φ(x)=1φ(x).Onobtientissua11(13)φ0(x)=000(x)2φ0(x).cosh(x/K)KSoitσ>0,x0>0.Onde´finit,pourt0R,pourtouttt0:ZIx0,t0(t)=u2(t,x)φ(xx(t0)+σ(t0t)x0)dx,teZ2Jx0,t0(t)=ux2up+1+u2(t,x)φ(xx(t0)+σ(t0t)x0)dx.1+pOnaalorslere´sultatsuivant:qLemme2.Pourtout0<σ<21,pourtoutK>σ2,ilexisteθ>0telquesiα0estassezpetitalorspourtoutt,t0R,tt0,x0(14)Ix0,t0(t0)Ix0,t0(t)θexpK,x(15)Jx0,t0(t0)Jx0,t0(t)θexp0.KPreuvedulemme2.Soitf:RRdeclasseC3.Onaparl’e´quation(1)etdescalculse´le´mentaires:ZZZZdu2f=2utuf=2(uxx+up)xuf=2(uxx+up)(uxf+uf0)tdZ2pZ=3ux2+up+1f02uxuf001+pZ2pZ=3ux2+up+1f0+u2f000.1+pet,defac¸onsimilaire:ZZhiZdu22up+1f=uxx+up22u2+2pu2up1f0+u2f000.dtxp+1xxxxqSoit0<σ<21,x0>0,t0R,etK>σ2.Soitψ(t,x)=φ(xx(t0)+σ(t0t)x0).Parlesidentite´spre´ce´dentes,pourtouttt0,onadZZ2pZu2ψ=3ux2+σu2up+1ψx+u2ψxxx.1+ptdσ1Par(13)etK22,onobtientdZZσ2pu2ψ≤−3u2x+u2−|u|p+1ψx.dt2p+1SoitR0>0a`fixerplustard.Pourt,xtelsque|xx(t)|≥R0,par|Q(x)|≤Ce−|x|,etl’ine´galite´kvk2L2kvxkL2kvkL2,onaR0|u(t,x)|≤R(t,x)+ku(t)R(t)kLCe2+2α0.
6YVANMARTELDonc,pourα0petitetR0grand,onapourdetelst,x:p2+p1|u(t,x)|p1σ/4.Maintenantα0etR0sontfixe´sa`detellesvaleurs.Si|xx(t)|≤R0alors|xx(t0)+σ(t0t)x0|≥−|xx(t)|+|x(t)x(t0)+σ(t0t)x0|≥R0+t02t+x0,etdoncxtt|ψx(t,x)|≤Ce20KeK0.RDonc,puisque|u|p+1C,onobtientZZ(16)du2ψ≤−3u2+σu2ψxCet20KtexK0≤−Cet20KtexK0.x4tdParinte´grationentretett0,onobtient,pouruneconstanteθ>0,x0Ix0,t0(t0)Ix0,t0(t)θexpK.Demeˆme,ona:ZZhidux22up+1ψ=uxx+up22ux2x+2pux2up1ψxdtp+1ZZσux22up+1ψx(t)+ux2ψxxx.1+pEnutilisant(13),onobtient(ψx>0),Zdu22up+1ψdtxp+1Zhσ2σi≤−uxx+up2+2ux2x+ux22pux2|u|p1−|u|p+1ψx.1+p2Parlemeˆmeargumentqueplushaut,oncontroˆlelestermesnonline´aires,etdoncpar(16),onobtient:ZZd2σσttxux2up+1+u2ψ≤−2ux2x+ux2+u2ψxCe20KeK0.dtp+148Donc,parinte´gration,onobtientx0Jx0,t0(t0)Jx0,t0(t)θexp.KCommeannonce´,nouspre´sentonsunepremie`reapplicationdecere´sultata`unesolutionu(t)proched’unsoliton(danslecadredulemme1).Laproprie´te´de”presquemonotonie”serautilise´ea`d’autresendroitspourlapreuveduThe´ore`me1.Lemme3.PourK>0assezgrand,laproprie´te´suivanteestve´rifie´eparlafonctionε(t).Zx0(17)limsupεx2+ε2(t,x)dxCexp.t+x>x(t)+x02KCetteproprie´te´signifiequepourx>x(t)+x0,lasolutionu(t,x)nediffe`redusolitonQ(xx(t))qued’untermed’erreurexponentiellementpetitenx0.Cere´sultatestoptimalpuisquec’estlade´croissancedusoliton.Celare`gleleproble`meducomportementdelasolutiona`droitedusoliton.
7DYNAMIQUEDESE´QUATIONSDEKDVGE´NE´RALISE´ESPreuvedulemme3.Onpose:Zl(y0)=ux2+u2(0,x+x(0))φ(xy0)dx.Parlesproprie´te´sdeψ,onalimy0+l(y0)=0,puiqueu(0)H1(R).Onutiliselelemme2surlasolutionu(t),pourσ=41(parexemple),pourx0>0,t0>0quelconquesett=0.D’apre`s(15)etlaborneuniformeku(t)kLC,onobtientx01x0(18)Jx0,t0(t0)Jx0,t0(0)+θexpKCl(x(t0)x(0)4t0+x0)+θexpK.OnobserveensuitequeZ|u(t0,x+x(t0))|p+1φ(xx0)dxp1Zx0Z≤ku(t0,.+x(t0))kL(xx0)u2(t0,x+x(t0))φ(xx0)dx+u2.K22D’apre`slade´compositionu(t,x+x(t))=Qc(t)(x)+ε(t,x+x(t)),etkε(t)kLCkε(t)kH1K1α0,ilestclairqueku(t0)kpL1(xx0+x(t0))21pourx0assezgrand,inde´pendantdet0,et2pourα0petit.Parcons´equent,utilisant(18),pourx0assezgrand,onobtient:Z(19)ux2+u2(t0,x+x(t0))φ(xx0)dxCl(x(t0)x(0)t0+x0)+Cexpx0.K24Puisquex(t0)x(0)t4041t0parx0(t)21,andpuisquelimy0+l(y0)=0,onobtient:Zxlimsupux2+u2(t,x+x(t))φ(xx0)dxCexp0,t+2Ketdonc,parlesproprie´te´sdede´croissancedeQ(x),onobtient(17).2.2.Rigidite´line´aireetnonline´airedessolitons.Parlaborneuniformesuru(t)dansH1,onpeutconside´rerunesuitetn+,unefonctionue0H1(R)etunre´elpositifce0>0telsque1cp1(tn)utn,1.+x(tn)*ue0etc(tn)ce0lorsquen+.)t(cnSoitue(t)lasolutionde(1)de´finiepourtouttRcorrespondanta`ue(0)=ue0.Cettesolutionestunesolutionasymptotique,etlefaitqu’ellesoitissueducomportementasymptotiquedeu(t)impliquedesproprie´te´sderigidite´fortessurue(t).Onadmetpourlasuitequelasolutionue(t)alesproprie´te´ssuivantes:Proposition3(Proprie´te´dede´croissanceexponentielledelasolutionasymptotique).IlexisteC,θ>0,etunefonctionye:RRtelsque(20)xR,tR,|ue(t,x+ye(t))|≤Ceθ|x|.C’este´videmmentuneinformationtre`simportantesurlasolutionu˜(t),a`relieraveclade´croissanceexponentielledetoutesolutionL2compactedel’e´quationdeKdV(voirdesformesge´ne´ralesdans[2]).Onpre´sentemaintenantunre´sultatquivapermettredede´terminerue(t).
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