ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom SudParis (ex INT), TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. QUELQUES OSCILLATIONS Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau a? s'ils sont unitaires, d'une fleche ??a dans le cas contraire.

  • meme instant

  • sphere

  • rail fixe

  • solution ? du systeme linearise

  • fac¸on apparente sur la premiere


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 47
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 4
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´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ` ´ PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filie`re PC (Dure´e de le´preuve : 3 heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujetmisa`dispositiondesconcours:ENSAEParisTech,ENSTIM,T´el´ecomSudParis(exINT), TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontpri´esdementionnerdefaconapparentesurlapremi`erepagedelacopie: PHYSIQUE I  PC. L´enonc´edecettee´preuvecomporte4pages.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd´enonce´,ilestinvit´e`ale signalersursacopieeta`poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaura´ete´ amene´ a` prendre. – Ilne faudra pas he´siter a` formuler les commentaires (incluant des conside´rations nume´riques) qui vous semblerontpertinents,memelorsquele´nonce´neledemandepasexplicitement.Labar`emetiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit´esder´edactiondelacopie. QUELQUES OSCILLATIONS Danstoutceprobl`eme,lesvecteurssontsurmonte´sdunchapeaua!ehslissnoutintaires,dune`ec apmelseocnostexssgn´eoulis:nadcelsocsarante.irsnLebromzC. Lorsquunebillesph´eriqueroulesurunepistedeformecirculairesuspendueenunpoint,lecouplage entrelabilleetlapisteengendreunmouvementspectaculaire,objetdeceprobl`eme. Une sphe`re homoge`ne, de centreC, de rayonret de massem, est mobile dans un plan vertical en $ restant en contact avec un railPP, de masseMtuieolnepo,rqda´reulnoinsmeoptneredeccreledec Oet de rayonR, dont laxe de syme´trie est vertical. Lemomentdinertiedelasph`ereparrap-2 port`aunaxepassantparCestJ=2mr/5. Lere´f´erentielxeorthonorm´edirectRg= " # ! !! ! O,i,j,kou`iest vertical dirige´ vers le bas est suppose´ galile´en (voir Figure 1). On pourra´egalementutiliserlesvecteursmo-biles polaires unitairesr!etα!rurepr´eestne´ss laFigure1.Lemouvementdelasph`ereest repe´re´pardeuxparam`etres:langleαque −→ ! faitOCaveciet langle de rotationθautour !` de laxe horizontal qui portek. A chaque ins-tantt, on appelleIle point de contact de la sphe`re avec le rail. On noteAle point du rail Figure 1 : Sphe`re mobile sur un rail fixe situe´ sur son axe de syme´trie. Lacce´le´ration ! de la pesanteur estg=gi.
QUELQUES OSCILLATIONS
I.  Rail fixe −→ La sphe`re roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos etOCfait un angleαoavec !deux degre´s de liberte´ cine´matiques,. Le st` endαetθ. iys eme compr ´ 1 Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphe`re sur le rail sous la forme dune relationlin´eaireliantr,R,θ=dθ/dtetα=dler la pertinence de la relation obten α/dt. Controue, dune part en comparant les signes respectifs deθet deα, et dautre part en analysant la situation lorsquer=R. 2 mretrenie´D´mcenaqiee´ueontagrteelisiondellexpresEtnoqe´itauudysts´eduirel`eme.End diffe´rentiellev´eri´eeparlafonctionα(t). 3 De´terminer la pe´riodeTpodes petites oscillations. Onconsid`eredeuxrailscirculairesdememerayonRS.hcrueuqaliarlace,onpinst`alinitnaitelanu sph`erederayonr, de massemeaemlengrdanpesmel´sptenireo´prseeαo(suaitsent´eea`errpe´itno´dje sur la Figure 1). Les sphe`res sont lache´es au meme instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux railssontdenaturediff´erente,desortequelapremi`eresph`ereroulesansglisseretquelaseconde glisse sans rouler.
4 iurairevpist`ihlrEequennestgrmuedasastnesqutiqurg´e´enerete´d,sfitatilalasteelluerqnemi la premie`re au point le plus basAreL.t-esmoilsu´eatltesildi´ssesesmahpe`edssnodterssenerf´ifs?te ´ 5 ionint´egraledutmespEnurilbatsserpxeeτmsiaplrsahpre`epllarausdepiruopettardniele $ pointA. Comment peut-on, sans calcul supple´mentaire, obtenir le tempsτmis par la sphe`re la plus $ lente pour atteindre ce point ? De´terminer le rapportτ/τ. FIN DE LA PARTIE I II.  Rail suspendu $ Les pointsPetPsont attache´s enOpar deslsinextensiblesdemassen´egligeable, ce qui permet au rail dosciller autour de laxe horizontal passant parO. La position du milieuAdu rail est repe´re´e par langle βderentceLeer.2iFugrual´tseesenepr´r masseGdu rail se trouve a` chaque instant sur la droiteOAsiatcne`aedun!deO. On $2 noteJ=MRle moment dinertie du rail par rapport a` son axe de rotation. On appelle respectivementNetTles composantes de laforceder´eactiondurailsurlasphe`reau pointIselonr!et!α. La sphe`re roule sans glis-Figure 2 : Sphe`re mobile sur un rail suspendu ser sur le rail, qui est maintenant en forme de Les anglesαetβtnosusemalevtrcilaer´esparrapport`a quart de cercle, les grandeursαetθsont les −→ et loOG n note$ $=! memesquecellesutilise´esdanslapartieI. II.A.  Description du mouvement ´ 6 Ecrire la condition de roulement sans glissement reliantθ,αetβ=dβ/dt. −→ 7 Exprimer dansRgeuic´nteqilemomentσ1Cenredasel`ephCet en de´duire lexpression du momentcin´etiqueσ1Ode la sphe`re enO. 8 Exprimer dansRgtnem´nicqiteeulemoσ2Odu rail enO. 9 Exprimer dansRgeqlu,´energiecin´etiECSerh`splade´niceigrene´l,eueetiqECRdu rail et enfin le´nergiecin´etiqueECTlde`ere.liarhps-esneelbm
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Physique I, anne´e 2008  filie`re PC
10 ueiqetn´enroe`emudomemtnicAppliquerleth´eOrelbmesn`hps-liaeal`entendereeireu´edu e´quation diffe´rentielle liant les fonctionsα(t)etβ(t). 11 eneuqite´nictnemomor`emeduerleth´eAppiluqCsere`ephasal`ionressexprilee´udetdnluee 2 2 ¨ ¨ deTen fonction deθ=dθ/dttionfoncdep,iu,snetulianisertlsu´eatltaledseuqnoitne,6α= ¨ 2 22 2 dα/dtetβ=dβ/dt. 12 Appliquer le the´ore`me du moment cine´tique enOuaetend´edrailseulitalnoeriueral diff´erentielle 2 2 dβdα AB=Mg!sinβ(1) 2 2 dt dt On exprimera la constanteAen fonction deM,metRet la constanteBen fonction dem,retR 13 tltae´uscee´ps´rD´eddesruirentdearslatelnio
2 2 dαdβ $ AB=mg(Rr)sinα 2 2 dt dt
(2)
$ On exprimera la constanteAen fonction dem,retR. Ve´rifier que le´quation(2)est en accord avec le re´sultat de la question 2. 14 t(2)`apaions(1)esee´uqtartuoevlzReemD´s.uequertronedecortir´eransid´sneitnoteqire´g $2 AA>B. 15 Que traduit labsence de termes enαetβdans les e´quations(1)et(2)?
II.B.  Modes doscillation
Onconsid`eredanscettesous-partiequelesanglesαetβuqeciteluartostnlnudez´ero,evoisins $ permetdelin´eariserles´equations(1)et(2). On poseD=Mg!etD=mg(Rr). On cherche les solutionsdusyste`melin´earis´esouslaforme
" # % & iωt iωt α(t) =Reαoeetβ(t) =Reβoe
(3)
2 ou`αoetβosont deux nombres complexes,i=1. On appelle pulsation propre du syste`me tout re´el positifωqui permet dobtenir des solutionsnon nullesmelin´eadusyst`elsfaroemir´sseuo(3). $ 16 esroprte´einrmDitaspsnoelrelupsω1etω2du syste`me (ω1>ω2) en fonction deA,A,B,D $ etD. Onconside`redor´enavantquelesconditionsinitialesdusyste`mesont
α(t=0) =αoetα(t=0) =β(t=0) =β(t=0) =0
(4)
17 Montrer que siαo%=0, la solutionβmeaforlednoitcnofenutsees´rieasnt´lsiymdeu`e β(t) =η[cos(ω1t)cos(ω2t)]. On ne cherchera pas force´ment a` de´terminer la constanteηen fonc-tiondesparame`tresdusyst`eme.
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