EDP Normandie

Frédéric Lagoutière

Description

Niveau: Supérieur

• exposé

—L A T E X p r o s p e r — EDP-Normandie 2011 Algorithmes efficaces en temps grand pour des équations de type Lifschitz-Slyozov. Frédéric Lagoutière, Paris-Sud XI, + Thierry Goudon, INRIA, et Léon Matar-Tine, Lille-I et Saint-Louis du Sénégal – p. 1

• infinité de profils asymptotiques


• comportement asymptotique en temps


• calcul approché des solutions de problèmes de cauchy pour ∂tu


• unique solution


• profil stationnaire

Sujets

• Exposé
• Goudon

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

EDP-Normandie 2011

Algorithmes efficaces en temps grand pour des

équations de type Lifschitz-Slyozov.

Frédéric Lagoutière, Paris-Sud XI, + Thierry Goudon, INRIA, et Léon Matar-Tine, Lille-I et Saint-Louis du Sénégal

– p. 1

Modèle

On s’intéresse au système de Lifschitz et Slyozov (modèle de formation de grains) :

" ! # ! V t ( t f , + x ) ! % x 0 = ( ! a V x ( x f ) ) c = ( t 0 ) , " t b ( ! x ) , 0,x ! 0, " $ c ( t ) + f ( t,x ) dx = ",t ! 0,

avec des données initialesf 0 ! 0etc 0 ! 0. ! f ( t,x ) densité de nombre demacro-particules de taillexau tempst; ! cconcentration demonomères; ! % 0 ! x f ( t,x ) dxproportionnel à la masse des macro-particules ; ! il est classique de considérera ( x ) = x 1/3 etb ( x ) = 1(et c’est ce qu’on fait dans cet exposé) ; dans ce casV ( t, 0 )< 0; ! il est connu que ce problème est bien posé : il existe une unique solution ( c,f )#C 0 ([ 0,T ])$ L ! ( 0,T,L 1 ( R % + , ( 1 + x ) dx ) (Collet-Goudon, Laurençot, Niethammer-Pego...).

– p. 2

Problématique

Modèle proposé en 1961. Le comportement asymptotique en temps est intéressant du point de vue de la chimie... Ainsi que du point de vue mathématique. Lifschitz et Slyozov conjecturent que ! c ( t ) tend vers0commK " t/3 ; e LS e % ! f ( t,x ) dxtend vers0commeC LS ( K LS ," ) e " t ; ! 0 ! % 0 ! x 1/3 f ( t,x ) dx/ % 0 ! f ( t,x ) dxse comporte commet 1/3 /K LS ; ´ ! f rescalee ( t,x ) tend vers un certain profil asymptotique ; le scaling correct est # ! f ( t,x ) = ( 1 + 1 t ) 2 g & ln ( 1 + t ) , 1 x + t ' , $ # = ln ( 1 + t ) ,y = 1 x + t ,d ( # ) = ( 1 + t ) 1/3 c ( t ) ,

et le système devient ! " # " $ ! d # ( # g ) + e " ! # y / ( 3 W + g % ) 0 ! = y g g , ( #, # y ) ! yd y ,0 , = y ", ! 0, # ! 0. V ( #,y ) = y 1/3 d ( # )" 1 "

– p. 3

lIyanurpofiltsa

États stationnaires du système rescalé

itonniaergpourchaqueavleurK

> K LS ded.

Profil de Lifschitz et Slyzov Profil avec une autre valeur deK Encore une autre valeur...

K LS est la plus petite valeur dedadmissible et la seule pour laquelle le profil asymptotique est C ! . PlusKest grand, moins le profil est régulier.

– p. 4

Exploration numérique

On veut explorer numériquement le comportement asymptotique. Schéma de volumesfinis :

n " f j n + 1 "t " f j n + V j + 1/2 f j + 1/2 "x V n j " 1/2 f n j " 1/2 = 0,n # N,j # N.

oùV j n + 1/2 = V ( n"t,x j + 1/2 ) , avecx j + 1/2 = ( j + 1 ) "x (c n , approximation decau tempsn"t, est supposé connu). Problème : la diffusion numérique des schémas de transport stables peut être très préjudiciable en temps grand. "& Utilisation d’un algorithme non dissipatif [Després-L.]. Il s’agit d’un algorithme dédié au calcul approché des solutions de problèmes de Cauchy pour! t u + a! x u = 0. Cet algorithme est stable, convergent, d’ordre 1, et non dissipatif :il admet une infinité de profils asymptotiques stationnaires sur les courbes caractéristiques.

– p. 5

Rappels sur le schéma décentré aval sous contraintes amont

"t/"x.

! t u + a! x u = 0aveca > 0, u j n + 1 = u n j " a$ ( u n j + 1/2 " u n j " 1/2 ) , où$ = n Posonsm j n + 1/2 = min ( u j n ,u j + 1 ) etM j n + 1/2 = max ( u n j ,u n j + 1 ) , n puisb n j + 1/2 = max ( m j n + 1/2 , ( u n j " M j " 1/2 ) / ( a$ ) + M j n " 1/2 ) etB n j + 1/2 = min ( M j n + 1/2 , ( u n j " m n j " 1/2 ) / ( a$ ) + m j n " 1/2 ) . Alors, sous la condition de CFLa$ ' 1,b n j + 1/2 ' B j n + 1/2 , et si u n j + 1/2 #[ b j n + 1/2 ,B j n + 1/2 ] cette condition, le schéma est à variation totale, sous décroissante et vérifie un principe du maximum local. Schéma décentré aval sous contraintes amont : minimisation de | u n j + 1/2 " u n j + 1 | sous la contrainteu j n + 1/2 #[ b j n + 1/2 ,B j n + 1/2 ] . (Dans le cas d’une vitesse de transport constante, ce schéma est équivalent au schéma Ultrabee, et dans le cas d’une donnée initiale fonction indicatrice, il est équivalent à l’algorithme de reconstruction d’interface SLIC).

– p. 6

Application à l’équation de transport conservative

On veut ici résoudre! t f + ! x ( V f ) = 0avec l’algorithme f j n + 1 = f j n " $ * V n j + 1/2 f n j + 1/2 " V n j " 1/2 f j n " 1/2 + . On le met sous la formef n j + 1 = f n j " V n j $ * f j n + 1/2 " f n j " 1/2 + " $ * f j n + 1/2 ( V n j + 1/2 " V n j ) + f j n " 1/2 ( V j n " V j n " 1/2 ) + , oùV j n = V ( n"t,x j ) avecx j = ( j + 1/2 ) "x, et on s’intéresse à la stabilité de la partief j n + 1 = f n j " V n j $ * f n j + 1/2 " f n j " 1/2 + . On peut utiliser leflux décentré aval sous contraintes amont (dans le schéma conservatif ceci ne garantit pas la positivité.). Mais La positivité est assurée en modifiant la contrainte sur leflux, en remplaçantB j n + 1/2 ˜ ( B n 2 ,m j n " 1/2 V j n " 1/2 /V j n + 1/2 + f n j / ( $V n j + 1/2 ) ) (dans le cas où parB j n + 1/2 = min j + 1/ la vitesse est localement strictement positive).

– p. 7

Application à l’équation de transport conservative

Ceci se transpose exactement dans le cas où la vitesse est localement strictement négative. Si la vitesse change de signe localement, on décide d’utiliser leflux décentré amont. ˜ Prop.Sous la condition de CFL$ || V ( n"t )|| ! ' 1, on ab j n + 1/2 ' B n j + 1/2 pour tout ˜ j, et sif j n + 1/2 #[ b n j + 1/2 ,B n j + 1/2 ] pour toutj, ! f n j + 1/2 = f j n " $V n ( f n j + 1/2 " f n j " 1/2 ) vérifiun principe du maximum local ;e j ! sif j n ! 0pour toutj,f n j + 1 ! 0pour toutj. Après cette étape de transport conservatif, on actualise la valeur de la concentration de monomères :

c n + 1 = " " "x # x j f n j + 1 . j ! 0

– p. 8

Données initiales :c 0 =

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

20

1e

Résultats numériques

t

40

x

60

f ( t = 0,x )

80

100

–p.9

Résultats numériques

f ( t = 250,x ) avec DACA f ( t = 250,x ) avec WENO

0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x 0.004 f ( t = 750,x ) avec DACA 0.0035 f ( t = 750,x ) avec WENO 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x

f ( t = 500,x ) avec DACA f ( t = 500,x ) avec WENO

0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x 0.0025 f ( t = 1000,x ) avec DACA f ( t = 1000,x ) avec WENO 0.002

0.0015

0.001

0.0005

0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x

–p.10

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

500

Résultats numériques

1000 t

c ( t ) avec DACA c ( t ) avec WENO

1500

2000

– p. 11