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Niveau: Supérieur

  • exposé


—L A T E X p r o s p e r — EDP-Normandie 2011 Algorithmes efficaces en temps grand pour des équations de type Lifschitz-Slyozov. Frédéric Lagoutière, Paris-Sud XI, + Thierry Goudon, INRIA, et Léon Matar-Tine, Lille-I et Saint-Louis du Sénégal – p. 1

  • infinité de profils asymptotiques

  • comportement asymptotique en temps

  • calcul approché des solutions de problèmes de cauchy pour ∂tu

  • unique solution

  • profil stationnaire


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : univ-rouen.fr
Nombre de pages : 27
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EDP-Normandie 2011
Algorithmes efcaces en temps grand pour des
équations de type Lifschitz-Slyozov.
Frédéric Lagoutière, Paris-Sud XI, + Thierry Goudon, INRIA, et Léon Matar-Tine, Lille-I et Saint-Louis du Sénégal
– p. 1
Modèle
On s’intéresse au système de Lifschitz et Slyozov (modèle de formation de grains) :
"!#!Vt(tf,+x)!%x0=(!aVx(xf))c=(t0),"tb(!x),0,x!0, "$c(t) +f(t,x)dx=",t!0,
avec des données initialesf0!0etc0!0. !f(t,x)densité de nombre demacro-particules de taillexau tempst; !cconcentration demonomères; !%0!x f(t,x)dxproportionnel à la masse des macro-particules ; !il est classique de considérera(x) =x1/3etb(x) =1(et c’est ce qu’on fait dans cet exposé) ; dans ce casV(t, 0)<0; !il est connu que ce problème est bien posé : il existe une unique solution (c,f)#C0([0,T])$L!(0,T,L1(R%+,(1+x)dx)(Collet-Goudon, Laurençot, Niethammer-Pego...).
– p. 2
Problématique
Modèle proposé en 1961. Le comportement asymptotique en temps est intéressant du point de vue de la chimie... Ainsi que du point de vue mathématique. Lifschitz et Slyozov conjecturent que !c(t)tend vers0commK"t/3; eLSe %!f(t,x)dxtend vers0commeCLS(KLS,")e"t; !0 !%0!x1/3f(t,x)dx/%0!f(t,x)dxse comporte commet1/3/KLS; ´ !frescalee(t,x)tend vers un certain prol asymptotique ; le scaling correct est #!f(t,x) =(1+1t)2g&ln(1+t),1x+t', $#=ln(1+t),y=1x+t,d(#) = (1+t)1/3c(t),
et le système devient !"#"$!d#(#g)+e"!#y/(3W+g%)0!=ygg,(#,#y)!ydy,0,=y",!0,#!0. V(#,y) =y1/3d(#)"1"
– p. 3
lIyanurpoltsa
États stationnaires du système rescalé
itonniaergpourchaqueavleurK
>KLSded.
Prol de Lifschitz et Slyzov Prol avec une autre valeur deK Encore une autre valeur...
KLSest la plus petite valeur dedadmissible et la seule pour laquelle le prol asymptotique estC!. PlusKest grand, moins le prol est régulier.
– p. 4
Exploration numérique
On veut explorer numériquement le comportement asymptotique. Schéma de volumesnis :
n " fjn+1"t"fjn+Vj+1/2fj+1/2"xVnj"1/2fnj"1/2=0,n#N,j#N.
Vjn+1/2=V(n"t,xj+1/2), avecxj+1/2= (j+1)"x (cn, approximation decau tempsn"t, est supposé connu). Problème : la diffusion numérique des schémas de transport stables peut être très préjudiciable en temps grand. "&Utilisation d’un algorithme non dissipatif [Després-L.]. Il s’agit d’un algorithme dédié au calcul approché des solutions de problèmes de Cauchy pour!tu+a!xu=0. Cet algorithme est stable, convergent, d’ordre 1, et non dissipatif :il admet une innité de prols asymptotiques stationnaires sur les courbes caractéristiques.
– p. 5
Rappels sur le schéma décentré aval sous contraintes amont
"t/"x.
!tu+a!xu=0aveca>0, ujn+1=unj"a$(unj+1/2"unj"1/2), où$= n Posonsmjn+1/2=min(ujn,uj+1) etMjn+1/2=max(unj,unj+1), n puisbnj+1/2=max(mjn+1/2,(unj"Mj"1/2)/(a$) +Mjn"1/2) etBnj+1/2=min(Mjn+1/2,(unj"mnj"1/2)/(a$) +mjn"1/2). Alors, sous la condition de CFLa$'1,bnj+1/2'Bjn+1/2, et si unj+1/2#[bjn+1/2,Bjn+1/2]cette condition, le schéma est à variation totale, sous décroissante et vérie un principe du maximum local. Schéma décentré aval sous contraintes amont : minimisation de|unj+1/2"unj+1| sous la contrainteujn+1/2#[bjn+1/2,Bjn+1/2]. (Dans le cas d’une vitesse de transport constante, ce schéma est équivalent au schéma Ultrabee, et dans le cas d’une donnée initiale fonction indicatrice, il est équivalent à l’algorithme de reconstruction d’interface SLIC).
– p. 6
Application à l’équation de transport conservative
On veut ici résoudre!tf+!x(V f) =0avec l’algorithme fjn+1=fjn"$*Vnj+1/2fnj+1/2"Vnj"1/2fjn"1/2+. On le met sous la formefnj+1= fnj"Vnj$*fjn+1/2"fnj"1/2+"$*fjn+1/2(Vnj+1/2"Vnj) +fjn"1/2(Vjn"Vjn"1/2)+, Vjn=V(n"t,xj)avecxj= (j+1/2)"x, et on s’intéresse à la stabilité de la partiefjn+1=fnj"Vnj$*fnj+1/2"fnj"1/2+. On peut utiliser leux décentré aval sous contraintes amont (dans le schéma conservatif ceci ne garantit pas la positivité.). Mais La positivité est assurée en modiant la contrainte sur leux, en remplaçantBjn+1/2 ˜(Bn2,mjn"1/2Vjn"1/2/Vjn+1/2+fnj/($Vnj+1/2))(dans le cas où parBjn+1/2=minj+1/ la vitesse est localement strictement positive).
– p. 7
Application à l’équation de transport conservative
Ceci se transpose exactement dans le cas où la vitesse est localement strictement négative. Si la vitesse change de signe localement, on décide d’utiliser leux décentré amont. ˜ Prop.Sous la condition de CFL$||V(n"t)||!'1, on abjn+1/2'Bnj+1/2pour tout ˜ j, et sifjn+1/2#[bnj+1/2,Bnj+1/2]pour toutj, !fnj+1/2=fjn"$Vn(fnj+1/2"fnj"1/2)vériun principe du maximum local ;e j !sifjn!0pour toutj,fnj+1!0pour toutj. Après cette étape de transport conservatif, on actualise la valeur de la concentration de monomères :
cn+1="""x#xjfnj+1. j!0
– p. 8
Données initiales :c0=
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
20
1e
Résultats numériques
t
40
x
60
f(t=0,x)
80
100
p.9
Résultats numériques
f(t=250,x)avec DACA f(t=250,x)avec WENO
0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x 0.004 f(t=750,x)avec DACA 0.0035f(t=750,x)avec WENO 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x
f(t=500,x)avec DACA f(t=500,x)avec WENO
0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x 0.0025 f(t=1000,x)avec DACA f(t=1000,x)avec WENO 0.002
0.0015
0.001
0.0005
0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x
p.10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
500
Résultats numériques
1000 t
c(t)avec DACA c(t)avec WENO
1500
2000
– p. 11
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