EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP

Publié par

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

  • redaction


SESSION 2011 MPM2006 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ C O N C O U R S C O MM U N S P O LY T E C H N I Q U E S

  • automorphisme d'espaces vectoriels de m3

  • epreuve specifique filiere

  • espace euclidien

  • inégalités sur les déterminants de matrices symétriques

  • décomposition de choleski


Publié le : mercredi 20 juin 2012
Lecture(s) : 41
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins

SESSION 2011 MPM2006

C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S


EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures
____________________


N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________




























A2M (R) C(A) =fM2M (R)=AM =MAg A3 3
A2M (R) C(A)3
0 1
1 4 2
@ AA = 0 6 3
1 4 0
0 1
3 0 0
@ AT = 0 2 1 P
0 0 2
C(T) T
1M 7! P MP
M (R)3
C(A)
A
2C(A) = vectfI ; A; Ag:3
C(A) A
A2M (R)3
n
S M (R)n n
+S M (R)nn
++S M (R)nn
!1
n n nX Y1
x ; x ;:::; x n x x1 2 n i i
n
i=1 i=1
+S S S Snn
tX2M (R) XSX 0n;1
+S S Sn n
S
.unQuestionpd'eolyn?meenannpulateurquede,utanD?mondebledegr?esinf?rieurtou.?gmatricealet?a2??1.(b)d?D?monquetrerquealorspqueositifs,commdimension.ledenoteOnon?,tourtoutePpassagematriceonetourpd'un,ttrerutanmatricesCommiciceesExerectorielses.OnEnpacd?duireunque,Pr?els.espaced?taillanD?mont,restmatricel'ensem2.ble?liminairdesellepappartienolyn?mesutanenequel.pCe3.r?sultatl'onreste-t-il,vraiunepcelourqu'unetoutedematriceelaQuematrice.estsemD?monblablel'ensem?deslasym?triques?nPresobl?meositivIn?galit?sdesurdelesvd?terminan.tsadmetdesimatricesssym?triquesautomorphismeDansestceourprobl?me,sononestnoteppunourl'applicationlatrerExiste-t-il4.etsatD?terminetoutesvvlapropresectoriel.(a)D?mon.1.prmatriceederappl'ensemqu'unebletrer,destmatricestsym?triquescommdsieappartiendimension?laD?termineroursi,pourd?duirematrice,.noteraenquet-ondeuonl'ensemmatricebledonneradesa,matrices.sym?triquestrerpmatrice5.deesttositiv?l?menedesdematricesitseulemenositivsinaturellesnonaleursndeulson:pentier2/4(c)p 1n+S2S detS traceSn n
M2M (R)n
t +MM2Sn !n n nn XX1
2 2M = (m ) (detM) mij ijn
i=1 j=1
++ nA2S B2S : B Rnn
nA ’ E = (R ’
0 0B E R B B
tI = RARn
tC = RBR Q
tD QCQ =D:
R Q P
t tA = PP B = PDP

1 1
B =
1 1
tP PBP
B
det(A+B) detA+detB
++ +A2 S B 2 Sn n
n nQ Q
0 (1+ ) 1+ i i i
i=1 i=1
+ + +A2S B2S A+B2Sn n n
+ ++S Sn n
++A B S t2 [0;1] Pn
D = diag( ; ; ; )1 2 n
det(tA+(1 t)B) detP t i
i n
1 tt+(1 t) :i i
t 1 tdet(tA+(1 t)B) (detA) (detB)
++ +A S B Sn n
xx7! ln(1+ )
1 1 1
n n n(det(A+B)) (detA) +(detB) :
Justierlamatriceformexit?quadratiqueutilisancanoniquemenorthonorm?etceassoqu'ilci?etre?deladmatricetqueque.(a)5.OnD?monptrer.l'in?galit?matrice.trerduitD?monr?duction.eSoitOn2.4.Imatricetieth?or?mearmatricePden'estlaagonaleln,endans,lescettedeuxtrercasvsuivlaanesttspro:on(a)ledilasoitscalaire.le3.:Applicationuneetsim:sematricedeuxlaetquedanstellesim,matricesenuutilisanentetlelesth?or?me(b)delar?ductiontrersimtoutultan?e.comprisOnetpOnourraet,remarquerestici(c)que,.alavbaseecdetousetleSismatricesoituneersiblematricev).inon,m?mematricemequ'uneultan?etrervD?monla...l'e(a)suivD?monesttrerourra,quesp.en(b)pasSiultan?ematriceOnladonnedetellel'exemplediagonaleprenduneonunequestion,diagonalecetteleiserder?ductionDansultan?e.(d)Exprimerultan?e)orthogonalesimner?ductionexisteetjustierdefonction(th?or?me,,,enetd?duirenote,.enEnd?monttranfonctiontd?mond'abqueordourquebasel'in?galit?tier.enP1etcanoniquearnotetie(b)Ideetdansenbase,consid?ranquet(a)lesD?moncasqueo?lalesbasematriceserssondtladanspassageImatrice:':unsans7.?trededansunequedetellebaseTh?or?meet.une6.deSoienSoitt,ersibled?mettrevedeuxparmatricesth?or?dedeinsimmatrice(paruneconete,dedefonctionet,r?ductionOnmatricesnote.)Onr?sultatnoteandesquiuneadmismatriceparinpexemple,orthogonale.utildienmatriceettfonctioneuclienn?cessairemD?terminer,(c)vaersible.3/4(b)++ +S Sn n
+A B Sn
++A Sn
T
tA = TT
T
1t tA = T T = T T T T =I1 1 2 2 1 n2
T
M (R) (T;n
A = (a ) (i; j) nij
a = min(i; j) Aij
++A Sn
++A S ;3
T
T
0 1 0 1
149 14 14 1 0
2
1@ A @ AA = 14 20 8 ; A = 0 0 ;1 2 2
1 314 8 21 0
2 4
0 1 0 1
1 0 2 1 2 3
@ A @ AA = 0 1 1 A = 2 20 26 :3 4
2 1 6 3 26 70
nY
++S = (s )2S detS s :ij iin
i=1
M2M (R) M = (a )n ij
!!1
n n 2Y X
2jdetMj aki
i=1 k=1
groupcomprisSoitencotretrer1neetdedee,trerersibles(a)vvinet?rieurespsupSiangulairesPivtrque,osedonnerprouvlaositiond?compdiagonauxositionindetrouvCholeskiprodegalit?ladmatrice,matricesI.(b)Ontoutedesourun.Finpl'?nonc?D?monvse?riercequepasbleCholeski).esttuneositifsmatriceciendeersiblel'ensemsupestunesihmidt,.?d?9.parUn10.pdeu,d'informatiqueunePCholeskiourtrerune:matricetiequedede:admettrepourraipdeuxOnci-dessus?crireD?monundensealtoutgorithme,en,fran?aisExempleppropermettanOntr?sultat.deertrouvdeerdemandelaOnmatricedeconclure.(d?compde?rianla,d?comppositiontsdeeCholeski.?Envtrer?rieurecettriangulairealgorithmematricedanserladecalculaSctd'orthonormalisationriccele(onossible,neestdemandeIn?pasd'Hadamarle(a)programmeilsurelamatricecopie)estpuis,8.pdeourd?moncquhacunTh?or?medesIcasIsuivaran.ts,matricesdonnerApplicationlad?monmatricequeetour:matriceenquersibletreretd?monp,l'in?galit?ose,p(b)ondansSiestunique.,coupleourtierso?cettetrerquee.trer.)d'en(b):estdensid?moest(a)matricene.demandedepas4/4de

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.