EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE TSI SESSION

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE TSI SESSION 2003 MATHEMATIQUES 2 Duree : 3 heures Les calculatrices sont autorisees. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. M3(C) (resp. M3(R) est l'anneau des matrices carrees 3? 3 a coefficients dans C (resp. dans R). On note I la matrice identite, et F = ? ? 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ? ? la matrice dite de Frobenius. L'objet de ce probleme est d'etudier le sous-anneau deM3(C) engendre par F , et d'en donner quelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, independantes. Partie I : Dans toute cette partie, on travaille dans M3(C). 1. Soit ?F (t) = det (FtI) le polynome caracteristique de F . Donner ?F (t) et en deduire que F est diagonalisable sur C. On posera j = exp ( i2pi 3 ) . 2.

  • plan d'equation cartesienne

  • norme euclidienne

  • dimension

  • anneau des matrices carrees

  • euclidien reel de dimension

  • minimum sur l'axe ∆


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
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´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE TSISESSION 2003
´ MATHEMATIQUES 2 Dure´e:3heures
Lescalculatricessontautoris´ees.
NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,a`lapre´cisionet`alaconcisionde lare´daction. Siuncandidatestamen´ea`repe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´t´eamene´ a`prendre.
M3(C) (resp.M3(R)elsts3scarr´eemstairecnaenuaed×3`acosnadstneiceC(resp. dansR). On   0 1 0   noteIett´e,neitecditairlmaFla matrice dite de Frobenius.0 1= 0 1 0 0 Lobjetdeceprobl`emeestd´etudierlesous-anneaudeM3(Ce)gnnerde´aprF, et d’en donner quelques applications. Les partiesIIetIIIe´dni,erusemegras.teanndpeuneldansont,s Partie I:Dans toute cette partie, on travaille dansM3(C). 1.SoitχF(t() = detF tIitsire´tedeuqnˆlyp)oleacarecomF. DonnerχF(teruqdeiueend´)etFest   i2π diagonalisable surC. On poseraj= exp. 3 2.On note :  x y z  2 33   A=xI+yF+zF ,(x, y, z)C=z x y ,(x, y, z)C.   y z x a/ MontrerqueAest un sous-espace vectoriel deM3(C), dont on donnera une base et la dimension. bointtdreedreuqxuelepro/dMustede´´lmeneAest commutatif et reste dansA. 3.l´emes´eouslquetnoMrertednestAaiognodtsunnsdaesblsalina.esabemeˆme 2 4.e´Detmrnirelarousenexpressionfactore´sidudeete´nimrtdanmaesictresA=xI+yF+zFen fonction dex,y,zictr.eseuciesddmae,spenurennooitidnocernvindt´libisi 1 5.SoitA∈ A,Anisrevequuqseitnonacsteetetablitdible.On´A∈ Aere`disnocno,aelrcou.P l’application Φ :A → A, M7→AM. amodohirpedsmeeuqrtseΦneibnenuireV/e´A. 1 b/ Montrerque c’est un isomorphisme puis queA∈ A. 1 cnerusepodehoetm´orP/cluseconion(´vreopruecttireA∈ A) en utilisant l’outil calcul formel.
Partie II:Soitε3eidilcueenaecapionsmedideel´enrnunes3ceotcaveepsd,ci´eassorielE3.   On rapporteε3(resp.E3a`nu)reoeer`prmnohortctredi´eO, i, j, konmre´e(resp.labaseortho   directei ,j , k). On note classiquementu . v(resp.uv) le produit scalaire (resp. vectoriel) de deux vecteursuetv, etkuk=u . ula norme euclidienne d’un vecteuru. Onconsid`erelensembleSdes pointsMdeε3´end:ipar   2 S=M(x, y, z)ε3,det (xI+yF+zF=1)uo`x, y, ztnosee´r.sl On´etudiequelquespropri´ete´sdeSdans cette partie.   ´ 1.einn´tsecnrataoiedequ´eneeuircrESep`erleredans, kO, i, jteetraeecqunv.Ori´e e´quationpeutsefactoriseren: (x+y+z)q(x, y, z) = 1, o`uq(x, y, ze)tsue:ireqdnE.ude´cilpreti´eitex`aequnntua   2 1M(x, y, z)∈ SaOM .OMa= 1 2 −→ aveca=i+j+k. Onobtientainsiunecaract´erisationg´eom´etriquedeS. −→ 2.euriqendEdu´eSder´faceutioevoleserutsnupantsaasrdruotuanpΔexaleOerpigd´ietara. Onpourraintroduireleprojet´eorthogonalHdeMsur Δ. 3. ancioatqu´eneruneedenneise´traD/noSxaledeadrthoereorep`nsune´a`athce´taonmr −→ −→a re´volutionetdorigineO. On poseraKe´snocrauedtneuqurteecxvs=etonchoisirap −→ kak IetJinl(uqapusetsdextileiterplicequrietm´eog´ontiirastce´acarrealilisrautpour).On deSneee´nnod1. bdeesredieinnrudese´mirelanat/End´eduSebrutnisderiocset-es-d`ac,tcoireesdneSavec unplancontenantlaxe.Endessinerune,puisrepre´senterSdans l’espace. 0 0 0 000 00 00 000 4.PourM(x, y, z)∈ SetM(x , y , z)∈ Son,ed´tlnioinetpM(x ,y ,z) =MMpar : 00 00 000 00 000 00 0 x=xx+yz+zy,y=xy+yx+zz,z=xz+yy+zx.    20 00200 acalculant/ EnxI+yF+zF xI+y F+z F, montrer queM∈ S. On a ainsi muni Sd’une loi interne.   21 b/ SoitM(x, y, z)∈ S. On poseA=xI+yF+zF. Justifier queAexiste et peut se 10 0020 0 030 0 0 0 de´composeren:A=x I+y F+z Favec (x , y , z)R, et queM(x , y , z)∈ S. 0 De´terminerMM. calors que (/ MontrerS,) est un groupe commutatif. 5.SoientPnalpelatqu´edt´arncioesiennex+y+z= 1 etC=P ∩ S. aeRocnnˆareıt/Conndrlneteestnearace´seme´ls.iqueristct´e b/ MontrerqueCest stable par la loi, puis que c’est un sous-groupe de (S,). Partie III:cetoujoursdansletaptreio,snpealel´enrieanDetscaecapsedilcueenε3a´t`eorppra   unrepe`reorthonorm´edirectO, i, j, k. Soient les pointsA(1,0,0),B(0,1,0) etC(0,0,1). Pour tout pointM(x, y, z) deε3, on note in-di´eremmentϕ(M) ouϕ(x, y, ztntiqea´a:ul) ϕ(x, y, z) =OM+AM+BM+CM. Onsouhaiteminimisercettequantit´e.
−−→ 1.Calculerϕ(Opouetourri´erqe)t.uVMε3tel queOM>3,ϕ(x, y, z)>uee´udriqe3E.dn la fonctionϕadmet un minimum. 2.Montrer queϕn’atteint son minimum en aucun des pointsO,A,B,CPour.tudel´eneO, on pourra examiner le comportement deϕau voisinage deO, le long de l’axe Δ passant parOet −→ dirig´epara=i+j+kcoacrulriope´noncd;etd(eΦt´tianqulaonsix) =ϕ(x, x, x). Lesquestionssuivantespre´cisentenquel(s)point(s)ϕest minimale. −→ 3.Soitrl’application affine deε3fixantOet transformantAenC,BenAetCenB. On noter −→ sonapplicationlin´eaireassocie´e.Justierquereedictrmalaueestbiend´enie,qrrelativement   −→ a`labaseB=i ,j , kestF, et montrer querunstsoeieotceleirte´mveireestlale.Quell nature der.seeristiquscaract´nlOerep´ee´mticnesares?´s 0 0 4.Pour toutMε3, on poseM=r(M). Montrer queϕ(M) =ϕ(M). 5.SoitPun point en lequelϕest minimale. On montre dans cette question quePest sur la droite Δ.Pourcela,onproce`deparlabsurde,en supposant quePn’est pas sur cette droite. 0 0 a/ SoitP=r(P). Pourquoi les vecteursOPetOPˆsteeroctni-slapes?lin´eairepnveeu 00 020 00 b/ SoitP=r(P) =r(P) et soitQl’isobarycentre deP,PetP. 1 0 00 Montrer queϕ(Q)6(ϕ(P) +ϕ(P) +ϕ(P)). 3 cedue´D/riud4queϕ(Q)6ϕ(P), et du5.a.e.clurqeuecttalegn´eitees´eitrtstiafnnoC.etci 6.Δ.Ilaxesiutrdl´iOmnusmamaemnsiieshelrroedhncirorutqcoersemiinimedcnodtigas Φ(x) =ϕ(x, x, x). a/ Montrerque Φ(x)>Φ(0) pour toutx <0. ´ ble sens de variation de la fonction Φ sur/ EtudierR+.   1 1 1 cque/ Conclureϕatteint une seule fois son minimum, au pointP ,,, et que ce mini-6 6 6 5 mum vaut. 3
Findele´nonce´
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