Equations de Navier Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure

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Equations de Navier-Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure Thierry Gallay Institut Fourier Universite de Grenoble I BP 74 F-38402 Saint-Martin d'Heres 1 Introduction et resultats Le but de cet expose est de presenter quelques avancees recentes sur deux questions differentes (mais intimement liees) relatives a l'equation de Navier-Stokes incompressible dans le plan R2 : le comportement asymptotique en temps, et l'unicite de la solution lorsque le tourbillon initial est une mesure finie. Il s'agit de travaux en collaboration avec C. Eugene Wayne [11] et avec Isabelle Gallagher [7]. Si u(x, t) ? R2 designe le champ de vitesse du fluide, suppose homogene et incom- pressible, et p(x, t) ? R son champ de pression, l'equation de Navier-Stokes dans R2 s'ecrit : ∂u ∂t + (u · ?)u = ?∆u??p , div u = 0 , (1) ou ? > 0 est le coefficient de viscosite cinematique. Sans restreindre la generalite, nous supposerons dans toute la suite que ? = 1. Pour des raisons liees a la contrainte d'incompressibilite, l'etude du comportement asymptotique en temps des solutions de (1) est plus aisee a realiser sur l'equation satisfaite par le tourbillon ? = rotu [8], [9], [10].

  • comportement asymptotique en temps

  • choix de l'espace d'energie l2

  • espace fonctionnel

  • solutions de l'equation de navier-stokes

  • tourbillon d'oseen

  • solution ?

  • equation


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Equations de Navier-Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure
Thierry Gallay Institut Fourier Universite´deGrenobleI BP 74 F-38402Saint-MartindHe`res
1Introductionetr´esultats Lebutdecetexpose´estdepre´senterquelquesavanc´eesr´ecentessurdeuxquestions die´rentes(maisintimementli´ees)relativesa`l´equationdeNavier-Stokesincompressible dans le plan R 2 :lecomportementasymptotiqueentemps,etlunicite´delasolution lorsque le tourbillon initial est une mesure finie. Il s’agit de travaux en collaboration avec C. Eugene Wayne [11] et avec Isabelle Gallagher [7]. Si u ( x t ) R 2 de´signelechampdevitesseduuide,suppose´homog`eneetincom-pressible, et p ( x t ) R sonchampdepression,le´quationdeNavier-Stokesdans R 2 s´ecrit: ut + ( u ∙ r ) u = ν Δ u − r p  div u = 0 (1) o`u ν > 0estlecoecientdeviscosite´cin´ematique.Sansrestreindrelag´en´eralit´e,nous supposerons dans toute la suite que ν = 1. Pourdesraisonslie´es`alacontraintedincompressibilite´,l´etudeducomportement asymptotiqueentempsdessolutionsde(1)estplusaise´e`are´alisersurl´equationsatisfaite par le tourbillon ω = rot u [8],[9],[10].Celle-ciestparticuli`erementsimpleendimension deuxdespace,ou` ω = 1 u 2 2 u 1 estunequantite´scalaire: ωt + ( u ∙ r ) ω = Δ ω  (2) Le champ de vitesse u sereconstruita`partirdutourbillon ω par la loi de Biot-Savart u ( x t )=21 π Z R 2 ( | xx yy ) | 2 ω ( y t ) d y  x R 2 (3) ou` x ( x 1  x 2 ) = ( x 2  x 1 ).Le´quation(2)comple´t´eepar(3)estunee´quationnon localeformellement´equivalenteausyste`me(1). Uneproprie´te´importantedele´quationdeNavier-Stokes,valableentoutedimension, est son invariancede´chelle : si u ( x t ) est une solution de (1) et si ω ( x t ) est le tourbillon associ´e,alorspourtout λ > 0 les fonctions u λ , ω λ d´eniespar u λ ( x t ) = λu ( λx λ 2 t )  ω λ ( x t ) = λ 2 ω ( λx λ 2 t ) (4) 1
sontencoresolutionsde(1)et(2)respectivement.Ilestdoncnatureldecherchera` r´esoudreleproble`medeCauchydansdesespacesfonctionnelsdontlesnormessoient invariantes sous la transformation (4). Dans l’espace R d , les exemples les plus simples sont
u C b 0 ([0 + )  L d ( R d ) d ) k u k = sup k u (  t ) k L d t 0 ω C b 0 ([0 + )  L d 2 ( R d ) d 0 ) k ω k = sup k ω (  t ) k L d 2 t 0 o`u d 0 = d ( d 1) 2. Lorsque d =2,lechoixdelespaced´energie L 2 ( R 2 ) 2 pour le champ devitesseconduitauxsolutionsclassiquesdeLeray[17].Parailleurs,leproble`mede Cauchypourletourbillonestglobalementbienpose´dans L 1 ( R 2 ), comme le montre le resultatsuivant,duˆ`aM.Ben-Artzi: ´ The´ore`me1.1 [1], [2] Pourtoutedonn´eeinitiale ω 0 L 1 ( R 2 ) ,l´equation(2)poss`edeune solution globale unique ω C 0 ([0 )  L 1 ( R 2 )) C 0 ((0 )  L ( R 2 )) v´eriant ω (0) = ω 0 . En outre, Z R 2 ω ( x t ) d x = Z ω 0 ( x ) d x  t 0 (5) R 2 Enfin, pour tout p [1 + ] , il existe C p > 0 tel que k ω (  t ) k L p C p k ω 0 1 k L 1 t > 0 (6) t 1 p Ilestessentielpourlasuiteder´ealiserquelessolutionsdele´quationdeNavier-Stokes fourniesparlethe´ore`me1.1necoı¨ncidentpasaveclessolutionsdeLeray.Enparticulier, si u L 2 ( R 2 ) 2 et si ω = 1 u 2 2 u 1 L 1 ( R 2 ),ilestfaciledev´erierquelonatoujours R R 2 ω d x =0.Commelint´egraledutourbillon(quinestautrequela circulation de la vitessea`linni)estunequantit´econserve´e,ilsensuitquesiletourbilloninitialnest pasdemoyennenullelasolutiondonne´eparlethe´or`eme1.1nestjamaisde´nergienie. Cetteinad´equationdesespacesfonctionnelspourletourbillonetlechampdevitesseest propre`aladimensiondeux.Endimensiontrois,si ω ( x t )estunesolutiondel´equation pour le tourbillon dans L 3 2 ( R 3 ) 3 , le champ de vitesse obtenu par la loi de Biot-Savart est bien une solution de (1) dans L 3 ( R 3 ) 3 .Danscecas,onnegagnedoncrieneng´en´eralit´ e a`e´tudierle´quationpourletourbillon. Lesexempleslesplussimplesdesolutionsd´energieinniesontles tourbillons d’Oseen ω ( x t ) = tαG xt  u ( x t ) = αtv G xt (7) o`u α R estunparame`tre(appele´ nombre de Reynolds de circulation ) et 4 G ( ξ )=41 πe −| ξ | 2 4  v G ( ξ )=21 π | ξξ | 2 1 e −| ξ | 2  ξ R 2 On remarquera que R R 2 G ( ξ ) d ξ = 1, de sorte que R R 2 ω ( x t ) d x = α . En outre, ω ( x t ) est ` ´trie radiale dans R 2 ,cequientraˆınequeletermenonline´aire u ∙ r ω dans (2) est a syme identiquement nul. Enfin, | v G ( ξ ) | ∼ 1 | ξ | lorsque | ξ | → ∞ , de sorte que v G  L 2 ( R 2 ) 2 . Notrepremierre´sultatmontrequecessolutionsautosimilairesde´criventlecomporte-ment asymptotique en temps de toutes les solutions de (2) dans L 1 ( R 2 ).
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Th´eor`eme1.2 [11] Si ω 0 L 1 ( R 2 ) , la solution ω ( x t ) de(2)donne´eparleth´eor`eme1.1 ´rifi ve e t li m t 1 p 1 ω ( x t ) tαG xt p = 0 pour 1 p ≤ ∞ (8) L x ou` α = R R 2 ω 0 ( x ) d x . Si u ( x t ) est la solution de (1) obt ` rtir de ω ( x t ) par la loi enue a pa de Biot-Savart (3), alors 1 1 t l im t 2 q u ( x t ) αtv G xt L qx = 0 pour 2 < q ≤ ∞ (9) En particulier, l’´ ati n (8) avec p = 1 affirme que la solution ω ( x t ) est non seule-equ o mentborne´edans L 1 , comme le montre (6), mais converge dans cet espace vers l’unique tourbillondOseenaccessibleauvudelaloideconservation(5).Cer´esultata´ete´d´emontr´ e pourdesdonne´espetitesparY.GigaetT.Kambe[13](voiraussi[8]),etpourdepetites valeurs de la circulation α parA.Carpio[5](voiraussi[12]).L´enonc´eci-dessusrelaxe compl`etementleshypoth`esesdepetitessesurladonn´eeinitiale. Leth´eor`eme1.2adescons´equencesimportantes.Toutdabord,ilimpliqueque lestourbillonsdOseensontlesseulessolutionsautosimilairesdele´quationdeNavier-Stokesa`deuxdimensionsdontletourbillonsoitint´egrable.Cere´sultate´taitattenduet avait´ete´partiellementde´montr´eparuneanalysedirectedele´quationelliptiquesatisfaite par le profil de la solution autosimilaire [20]. Remarquons au passage que la condition dinte´grabilit´esurletourbillonestcruciale.Enadaptanta`ladimensiondeuxlesm´ethodes de M. Cannone et F. Planchon [3], on peut en effet construire de nombreuses autres so-lutionsautosimilairespourlesquellesletourbillonde´croˆıtcomme1 | x | 2 a`linni.Par exemple, si φ : S 1 R est une fonction continue et de moyenne nulle, alors pour tout  > 0susammentpetitle´quation(1)poss`edeunesolutionautosimilaire u ( x t ) telle que u ( x 0) = x | x | 2 φ ( x | x | ). Mais si φ n’est pas identiquement nulle, le tourbillon correspondant ω ( x t )d´ecroˆıttroplentementa`linnipourˆetreintegrable. ´ Uneautrecons´equenceduthe´or`eme1.2,ouplutˆotdesad´emonstration,estqueles tourbillons d’Oseen sont des solutions stables (au sens de Liapunov) quelle que soit la valeurdunombredeReynoldsdecirculation.Contrairementa`cequiseproduitdans denombr´lemets,laugmentationdunombredeReynoldsnedonnepaslieu`a eux ecou n desinstabilite´shydrodynamiques.Enfait,uneanalysed´etaill´eedelope´rateurline´aris´e autour du tourbillon d’Oseen montre que la rotation rapide a des effets stabilisateurs, dans lamesureo`ulapartier´eelledesvaleurspropresatendance`ade´croˆıtrelorsque | α | → ∞ [11], [19]. Enn,onremarqueraquelesthe´ore`mes1.1et1.2restentvraissilonremplace(2)par le´quationdelachaleur t ω = Δ ω . Ceci ne doit pas laisser croire que le comportement des solutionsdesdeuxe´quationsestsimilaire.Enfait,siladonn´eeinitiale ω 0 est “grande”, lesexp´eriencesnume´riquesindiquentquelasolution ω ( x t ) de (2) passe par un long comportementtransitoireturbulentaucoursduquelle´coulementsorganiseautourde tourbillonsisole´squiinteragissentetserecombinententreeux.Enr´egimeasymptotique, lorsquele´coulementacess´edˆetreturbulent,touscestourbillonsser´eunissentenunseul grandvortexquis´etalepardiusioncommeunesolutiondele´quationdelachaleur. Cestcere´gimeasymptotique,etnonlecomportementtransitoire,quiestde´critparle th´eor`emeci-dessus,lequelnesauraitdonceˆtreinvoqu´epourjustierlacascadede´nergie inverse” en turbulence bidimensionnelle.
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