EXERCICE points

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EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous les candidats Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn(x)= xne?x . On noteCn sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ?? i , ?? j ) du plan. PARTIE A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbeCk où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbeC3. La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ( 4 5 , 0 ) . x y C3 Ck Tk !i !j AO 1. a. Déterminer les limites de la fonction f1 en ?∞ et en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1. c. À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2. 2. a. Démontrer que pour n ! 1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. b. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x, f ?n(x)= x n?1(n?x)e?x .

  • droites d'équations respectives

  • tangente tk

  • puisque lim

  • courbe cn

  • axe des abscisses

  • équation de tk

  • point de coordonnées


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous les candidats Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on désigne parfnla fonction définie surRpar : nx fn(x)=xe . ! " On noteCnsa courbe représentative dans un repère orthogonalO;i,jdu plan. PARTIE A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbeCkkest un entier naturel non nul, sa tangenteTkau point d’abscisse 1 et la courbeC3. # $ 4 La droiteTkcoupe l’axe des abscisses au pointA., 0de coordonnées 5
C3
! j
y
! O iA
C k
Tk
x
1. a.Déterminer les limites de la fonctionf1en−∞et en+. b.Étudier les variations de la fonctionf1et dresser le tableau de variations def1. c.À l’aide du graphique, justifier quekest un entier supérieur ou égal à 2. 2. a.Démontrer que pourn!1, toutes les courbesCnpassent par le pointOet un autre point dont on donnera les coordonnées. b.Vérifier que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, et pour tout réelx, $n1x f(x)=x(nx)e . n
11MASCOME1
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3.Sur le graphique, la fonctionf3semble admettre un maximum atteint pourx=3. Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. # $ k2 4. a.Démontrer que la droiteTk, 0coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées. k1 b.En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entierk.
PARTIE B
On désigne par (In) la suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 par % 1 nx In=xed x. 0 1.CalculerI1. 2.Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbesC1,C2,C3,C10,C20, C30comprises dans la bande définie par 0"x"1. y 0,5
0
C1
C2
C3 C10 C20 C30 x 1
a.Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) en décrivant sa dé-marche. b.Démontrer cette conjecture. c.En déduire que la suite (In) est convergente. d.Déterminer limIn. n+
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EXERCICE 3
PARTIE A
x 1) a)Pour tout réelx,f1(x) =xe. x Xx Limite def1en.limx=et lime=lime= +lim. Doncf1(x) =limxe=. xxX+xxx 1 Limite def1en+.Pour tout réel non nulx,f1(x) ==. D’après un théorème de croissances comparées, on x x e e/x x e 1 sait quelim= +et donclimf1(x) =lim=0. x x e/x x+x+x+
limf1(x) =et limf1(x) =0. xx+
b)La fonctionf1est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!xxx f(x) =1×e+x×(1)×e= (1x)e. 1 x! ! Pour tout réelx,0e >et donc pour tout réelx,f(x)est du signe de1x. Par suite, la fonctionfest strictement 1 positive sur], 1[et strictement négative sur]1,+[puis la fonctionf1est strictement croissante sur], 1]et strictement décroissante sur[1,+[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf1: x1+! f(x) +01 1 e f1 0 c)La courbeC1admet une tangente parallèle à(Ox)en son point d’abscisse1. La tangenteTkn’est pas parallèle à(Ox). L’entierkn’est donc pas égal à1ou encore l’entierkest supérieur ou égal à2. 2) a)Si un pointMappartient à toutes les courbesCn,n!1, alorsMappartient aux courbesC1etC2et donc son abscissexest solution de l’équationf1(x) =f2(x). Soitxun réel.
x 2xx 2xx f1(x) =f2(x)xe=x exex e=0x(1x)e=0 x x(1x) =0(care"=0) x=0oux=1.
Les courbesC1etC2ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives(0, 0)(carf1(0) =0) et ! " 1 1 1,(carf1(1) =). Les courbesCn,n!1, ont donc au plus deux points en commun. e e n0 Réciproquement, pour tout entier naturel non nuln,fn(0) =0 e=0et donc le pointO(0, 0)appartient à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 1 n1 De même, pour tout entier naturel non nuln,fn(1) =1×e=et donc le point de coordonnées1,appartient e e à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 Les courbesCn,n!1, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées(0, 0)et1,. e
b)Soitn!2. La fonctionfnest dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!n1x nx n1x nx n1x f(x) =nx e+x(1)e=nx ex e=x(nx)e. n
!2x! 3)En particulier, pour tout réelx,f(x) =x(3x)e. Donc, la fonctionfest strictement positive sur], 0[]0, 3[ 3 3 et strictement négative sur]3,+[puis la fonctionf3est strictement croissante sur], 3]et strictement décroissante sur[3,+[. La fonctionf3admet donc un maximum atteint enx=3. !1!k111 etf=1(k1)avecfk(1) =ek(1) 4) a)Soitk!2. Une équation deTkesty=fk(1) +fk(1)(x 1)e= (k1)e.
4
k1 2k 11 Une équation deTkest doncy=e+ (k1)e(x1)ou encorey=x+. Ensuite, e e k1 2k 1k2 x+ =0((k1)x(k2)) =0(k1)x(k2) =0(k1)x=k2x=. e ee k1 ! " k2 Donc la tangenteTkcoupe l’axe des abscisses au pointAkde coordonnées, 0. k1 b)Soitk!2. k2 4 Ak=A=5(k2) =4(k1)5k4k=104k=6. k1 5 k=6.
PARTIE B " 1 xx 1)On aI1=xe dx. Pourxdans[0, 1], posonsu(x) =xetv(x) =e. Les fonctionsuetvsont dérivables sur 0 [0, 1]et pourxdans[0, 1], on a
u(x) =x ! u(x) =1
x v(x) =e !x v(x) =e
! ! De plus, les fonctionsuetvsont continues sur[0, 1]. On peut donc eectuer une intégration par parties et on obtient
" " 1 1 # $1 xxx I1=xe dx=x(e)1(e)dx 0 0 0 " 1 # $ 1 1x1x11 0 = (e)(0) +e dx=e+e=ee+e 0 0 e2 1 =12e=. e
e2 1 I1=12e=. e
2) a)Puisque chaque fonctionfnest continue et positive sur[0, 1],Inest l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses, la courbeCnet les droites d’équations respectivesx=0etx=1. D’après le graphique, il semblerait que la suite(In)n!1soit décroissante. b)Soitn!1.
" "" 1 11 n+1x nx n+1x nx In+1In=x edxdxx e= (x ex e)dx(par linéarité de l’intégrale) 0 00 " 1 nx =x(x1)e dx 0 nx nx Pour tout réelxde[0, 1], on ax!0,x1"0ete!0. Donc pour tout réelxde[0, 1], on ax(x1)e"0. Par " 1 nx croissance de l’intégrale, on en déduit quex(x1)e dx"0ou encore queIn+1In"0. 0 On a montré que pour tout entier naturel non nuln,In+1"Inet donc
la suite(In)n!1est décroissante.
c)D’autre part, chaque fonctionfn,n!1, est positive sur[0, 1]et donc, par positivité de l’intégrale, pour tout entier naturel non nuln, on aIn!0. En résumé, la suite(In)n!1est décroissante et minorée par0. On en déduit que la suite(In)n!1est convergente. x 0x d)Soitn!1. Pour tout réelxde[0, 1], on ax"0et donc0"e"eou encore0"e"1. En multipliant les trois n nx n membres de cet encadrement par le réel positifx, on obtient0"x e"x. Par positivité et croissance de l’intégrale, on en déduit que
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! ! 1 1 nx n 0!x edx!x dx 0 0 !! "1 1 n+1 n+1 n+1 x 10 1 n avecx dx= ==. Ainsi, pour tout entier naturel non nuln, n+1 n+1 n+1 n+1 0 0 1 0!In!. n+1 1 Puisque lim=0, le théorème des gendarmes permet d’armer que n+1 n+
limIn=0. n+
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