Exercices fiche

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Exercices, fiche 3 Solutions Agregation 2005-2006 1 sur 9 Exercice 1 Le calcul des derivees x? = u2 ? 1 2u2 , y? = ?2(u? 1) u2 permet de dresser le tableau suivant : u ?∞ ?1 0 +1 ?∞ x ?∞ ? ?1 ? ?∞ ? +∞ ? 1 ? +∞ y 0 ? ?3 ? ?∞ ? ?∞ ? 1 ? 0 Pour u = 1, x passe par un minimum et y passe par un maximum ; le point A(1, 1) est un point de rebroussement pour la courbe ?. Le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque est m = ? ?4u(u+1) et, par suite, la tangente en A a pour coefficient directeur la valeur limite de m pour u tendant vers 1, c'est-a-dire ?2. D'autre par dmdu = 4(2u+1) u2(u+1)2 n'est pas nul pour u = 1, c'est donc que A est un point de rebroussement de premiere espece. 0 M P A I (+0) (-0) (1) (+ • ) (- • ) 1 1 -8 Controlons ce resultat en etudiant la disposition de ? par rapport a la 1

  • u2 ?

  • abscisse

  • cardoıde definie par l'equation polaire

  • courbe dans le sens des ? croissants

  • racine double

  • lieu des points

  • equation

  • origine sur ?


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Exercices, fiche 3
Solutions
Exercice 1
Lecalculdesd´eriv´ees
Agre´gation
2 u12(u1) 0 0 x=, y= 2 2 2u u permet de dresser le tableau suivant :
2005-2006
1 sur 9
u−∞ −1 0 +1−∞ x−∞ % 1& −∞ k+∞ &1%+y 0& −3%k −∞ & −∞ 1&0 Pouru= 1,xpasse par un minimum etypasse par un maximum ; le point A(1,1) est un point de rebroussement pour la courbe Γ. Le coefficient 4 directeur de la tangente en un point quelconque estm=et, par u(u+1) suite, la tangente enAa pour coefficient directeur la valeur limite dem 4(2u+1) dm pourutdaen-direcse-ta`tnevsr,1=2. D’autre par 2 2n’est du u(u+1) pas nul pouru= 1, c’est donc queAest un point de rebroussement de premie`reesp`ece.
Contrˆolonscere´sultatene´tudiantladispositiondeΓparrapport`ala
1
Exercices, fiche 3
Solutions
Agr´egation
tangentederebroussement:celle-ciapoure´quation
Y+ 2X3 = 0
2005-2006
2 sur 9
iPetMpxiotndsmeeˆembascisse,lepremierlrusnatatnegeuedtnos enAet le second sur Γ 2 (u1) P M=y(2x+ 3) ouy+ 2x3 = 2 u
P Mchange de signe quandupasse par la valeur 1. 1dm Le pointIobtenu pouru=, valeur annulant , est un point d’in-2du flexion. LesbranchesinniesdeΓsobtiennentimme´diatementend´ecomposant les fractions rationnellesxety´een´lmenestispmels
1u1 2 x= +y=+ 2 2u2u u L’axeOxest asymptote (casu→ ∞). La direction asymptotiqueOy(cas u0) est celle d’une branche parabolique. En posant
1 1 2 x1=y1=+, 2 2u u u 2 on obtient un pointMquid´ecrbaloetinuperaP( 4x 1 1y1=1+ 4x1)   u asymptotea`Γ:M1Mroodroupoacsenne´,0 et a pour limite (0,0) 2 quandutend vers 0. AppelonsNle point deP1uqaiˆmemeabscissexqueMol:nodree´ned ce point est 2 u+ 1 2 4x+ 4xo`ux= 2u si bien que 2 2 2 2u+ 1 (u+ 1) 2(u+ 1) N M= +2 2 u u u 2 N M= 22uu −−→ et le vecteurN Mne tens pas vers 0. La paraboleP1n’st donc pas la meilleure approximation pour la branche infinie parabolique de Γ. En prenant la paraboleP2
2 y2=4x+ 4x+ 2,
deux pointtsMetM2sur Γ etP2scisse,sonttelsque,yanamteˆemba 2 M2M=2u+utende versO; c’est une parabole asymptote de Γ.
Exercice 2
La courbeCebroeceuotpqitrohesel´etappd-a`-tsebruoceritilareuecΓ,`ave lieudespointsdo`ulonvoitΓsousunangledroit.
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Exercices, fiche 3
Solutions
Agr´egation
2005-2006
3 sur 9
LaconstructiondeΓestimm´ediate(cisso¨ıde);son´equationcarte´sienne est 3 2 4x27y= 0 La tangente enM(utauqnoiopa)e´ru 3 uxyu= 0. Lavaleurduparame`treurelative au pointMest le coefficient directeur de latangente`aΓencepoint;le´quationquidonnelescoecientsdirecteurs des tangentes issues du pointP(x0, y0) du plan est donc 3 ux0u+y0(1)= 0
Pour quePsoit un point deCttedaemoi1nuqtal´etquellfsuaute,tii 0 00 0 00 deux racinesuetualeraltnaire´vtionu u=1 ; or le produit des 0 00 000 0 00 trois racinesu,uetuauqenoitd´lee1tsy0; pour queu u=1 (si 000 y06= 0) il faut et il suffit queu=y0avtnuqeriecn´.Ey0est racine de l´equation1ontrouveainsi,apre`sdivisionpary06= 0, 2 y 0x0+ 1 = 0
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Exercices, fiche 3
Solutions
Agr´egation
2005-2006
4 sur 9
La courbe orthoptiqueCele´uqtaoinprrese´e´entarepodtsalcnarapelob 2 x=y+ 1. pour tracerCsurdbaidrerodormpli,itu´edteemeˆmalΓeuqerug lintersectiondecesdeuxcourbes;l´equationquidonnelesabscissesdes points communs est   2 3 3 4x27x+ 27 = 0x(x+ 3) = 0 2 3 Laracinedoublecorresponda`undoublecontactentrelescourbesC 2 3 1 et Γ aux pointsAetBicsbaddteessn´onrdosee±. La racine3 2 2 2 peutsinterpr´eterensepla¸cantdansleplanCxadeuond`ll;eorecspre pointsimaginairesconjugue´squisont±ice;eΓo`uladxuectnosstniops tangenteestperpendiculairea`elle-meˆme. Du pointAonnfcoesivsuesduuedΓa`retnegnatxtananalt-uepnnemto, gentea`ΓetuneautrestangentedontlepointdecontactestunpointH. PuisqueAest sur la courbe orthoptiqueC, c’est queAHest la normale enA`a Γ ; la droiteAHest tangente enHa`eΓenortnlemaA`.aΓ
Exercice 3
Soity=achxtrtoΓgeiPn.iesrecoanashnıoˆpernuationdelurΓlle´equ point dont l’abscisse est 0, et orientons Γ dans le sens desxcroissants ; ´evaluonslabscissecurvilignes= arcAMdu pointMd’abscissex. x x x 2 2 2 2 2 2 dy= shdxdou`ds=dx+ shdx= chdx a a a dy Puisquedoitˆetrepositif, dx Z x x x x ds= chdxd`ous=dx=ash. a a a 0
Soitr=a(1 + cosθeutqoec´rule)bonntetscΓ;deieorracaı¨odoitaledn dans le sens desθcroissants. En faisant varierθdeπ:a+`pi, nous obtenons toute la courbe. Formons θ 2 2 2 2 2 2 2 dr=asinθdθ, ds=dr+r dθ= 3acos2 θ et,puisquedanslintervalleconside´r´ecosrestepositif,ensupposanta 2 positif, on a θ ds= 2acosdθ. 2 Si nous prenons pour origine sur Γ le point dont l’angle polaire est 0, l’abscisse curviligne du pointM(θ, r) est Z θ θ θ s= 2acos = 4asin (πθ+π) 2 2 0 Lalongueurtotaledelacardoı¨deestdonc8a.
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Exercices, fiche 3
Solutions
Exercice 4
Agr´egation
2005-2006
5 sur 9
On reprend les calculs de la seconde partie de l’exercice 3. Siψest l’angle deOXrapine´d(polairesonangleθ) avec la tangente oriente´e, dr θ dθ θ cosψ= =sin,sinψ=r= cos, ds2ds2 π θ dou`ψ= + `a 2ialoer`epratgn.saLroeineeteapont´eglepuran 2 2 φ=θ+ψ π3θ3 φ= + mod 2πo`du=2 2 2 Donc le rayon de courbureRest
4a θ Rcos= = . ds3 2 Les composantes scalaires du vecteurM I(qui joint le pointM(θ) au π centre de courbureI) sur les axesOXetOYqui ontθetθ+ pour 2 angles polaires sont
rdθ2r =3
et
dr2asinθ =. 3
Lescoordonn´eesdeIslanepere`derXOYep`erlereadsnupsi,xOy, sont successivement parx=XcosθYsinθety=Xsinθ+Ycosθ
r2asinθ X=, Y= 3 3 a a 2 x+ cos= (2 θcosθ), y= sinθ(1cosθ) 3 3   2a En prenant pour nouvelle origineO1=,dsee´nnoe,0rdooscleIde-3 viennent a a x1= (1cosθ) cosθ), y1= (1cosθ) sinθ) 3 3 Donc, quandθvarie,Ierloiaoipnd´ec´dedı¨odracaltiratqu´elarepniea r1= (1cosθ) 3 relativementaurep`eredanslequelO1leetltseoˆpeO1xl’axe polaire.
Exercice 5
1. SoitLcolanndobeurrapee´x=acosu,y=asinuetz=bu`uoa etbrm´ehonoeortp`erntuneerdadsonseietsslfxoup´irsOxyz. La projection`deLsurxOyest le cercle (O, a) et simest la pro-jection deM`marerte(apedu),Ale point d’abscisseasurOx, on a b arcAM=auetz=bu= arcAM . a
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