Exercices fiche

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Exercices, fiche 5 Solutions Agregation 2005-2006 1 sur 8 ? 0 x y ? ? ??i ??i ??u ??v F F ? Fig. 1 – Ellipse d'equation 13x2 + 32xy + 37y2 ? 2x? 14y ? 5 = 0 Exercice 1 1. Les termes de plus haut degre 13x2+32xy+37y2 s'ecrivent [ x y ] [ 13 1616 37 ] [ x y ]. Son polynome caracteristique est ? ? 13?? 16 16 37?? ? ? = ?2 ? 50? + 225 de valeurs propres 5 et 45. Les vecteurs propres correspondant a la valeur ? = 5 sont donnes par le systeme ? ? 8x+16y=0 16x+32y=0 , soit x = ?2y. Un vecteur propre de norme 1 verifie y2 + 4y2 = 1, c'est donc ??u = ( ?±2√ 5 , ±1√ 5 ) . Les vecteurs propres correspondant a la valeur ? = 45 sont donnes par le systeme ? ??32x+16y=0 16x?8y=0 , soit y = 2x. Un vecteur propre de norme 1 verifie x2 + 4x2 = 1, c'est donc ??v = ( ±1√ 5 , ±2√ 5 ) .

  • ?? ?1

  • equation reduite

  • ??i

  • hyperbole equilatere

  • centre de l'hyperbole

  • repere dans le sens direct

  • a2 ?


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 21
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 8
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Exercices, fiche 5
Solutions
Agre´gation
2005-2006
1 sur 8
2 2 Fig.uati´eqon131illEdespx+ 32xy+ 37y2x14y5 = 0
Exercice 1
x 2 2 13 16 x y 1.Lestermesdeplushautdegr´e13x+32xy+37y[]][[ecrivents´y]. 16 37   13λ16 2 Sonpolynˆomecaract´eristiqueest=λ50λde+ 225 16 37λ valeurs propres 5 et 45. Lesvecteursproprescorrespondant`alavaleurλnodtno´nseapr=5s 8x+16y=0 lesyste`me,soitx=2y. Un vecteur propre de norme 1 16x+32y=0   2 2−→±2±1 v´eriey+ 4y= 1, c’est doncu=,. √ √ 5 5 Lesvecteursproprescorrespondanta`lavaleurλesn´ontdon5s=4 32x+16y=0 parlesyste`me,soity= 2x. Un vecteur propre de norme 16x8y=0   2 2−→±1±2 √ √ 1ve´riex+ 4x= 1, c’est doncv=,. 5 5   −→21 √ √ Pourconserverunrep`eredanslesensdirect,onchoisirau=, 5 5   −→1 2 √ √ etv=,. 5 5 Effectuons le changement de variables
X Y
2 1 =xy x √ √ 5 5 soit 1 2 =x+y y √ √ 5 5
2 1 √ √ =X+Y 5 5 1 2. =X+Y √ √ 5 5
2 2 Le´quation13x+ 32xy+ 37y2x14ylatirce´sros=05 √ √ 2 2 5X+ 45Y+ 2 5X6 5Y5 = 0.
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Exercices, fiche 5
Solutions
Agr´egation
2005-2006
2 sur 8
Enfaisantapparaıˆtrelasommededeuxcarr´es,onobtient  2 2 1 1 5X++ 45Y− √ 7 = 0. 5 3 5 Eneectuantdanslerepe`re(0, u , v), le changement de variables
1 ξ=X+ 5 , 1 η=Y3 5
onobtientl´equationr´eduite 5 45 2 2 ξ+η1 = 0. 7 7 Ilsagitdoncduneellipser´eellequiestrepre´sente´esurlaFigure1.     1−→11 1Danslerep`ereω=u+vu , v , soitω= (,), u , v, √ √ 3 3 5 3 5 √ √ 2 2 ξ η2 147 7 √ √ on a2+21 = 0 aveca= ,b= etc= (avec a b5 3 5 5 2 2 2 2 14 c=ab). Les foyers sont±,0 . Les directrices sont les 3 5 √ √ 3 7 2 2 droitesde´quationξ=±.es´etrtneticiL.cxe2 3 10 h i 1 0 2x x y 2.Lestermesdeplushautdegre´xyrive´ec]s[tn1[y]. Son po-0 2 1 λ 22 1 1 lynˆomecaract´eristiqueest1=λde valeurs propres et λ4 2 2 1 . 2 1 Lesvecteursproprescorrespondanta`lavaleurλe´sodnnsont= 2 1 1 x+y=0 2 2 parlesyste`me1 1, soitx=y. Un vecteur propre de norme x+y=0 2 2   2 2−→1 1 1v´eriex+x= 1, c’est doncu=,. √ √ 2 2 1 Lesvecteursproprescorrespondant`alavaleurλnne´tnodsos= 2 1 1 x+y=0 2 2 parlesyst`eme1 1, soitx=y. Un vecteur propre de norme xy=0   2 2 2 2−→1 1 √ √ 1v´eriex+x= 1, c’est doncv=,. 2 2 Effectuons le changement de variables
X Y
1 1 =xy x √ √ 2 2 1 1soit √ √ =x+y y 2 2
1 1 =X+Y √ √ 2 2 1 1. √ √ =X+Y 2 2
L´equationxy+ 3x+ 5ys0=4ce´tarirslo √ √ 2 2 XY2 2X2+ 8 Y8 = 0.
Enfaisantapparaıˆtreladi´erencededeuxcarre´s,onobtient  22 X+ 2Y+ 4 2 + 10 = 0.
En effectuant le changement de variables ξ=X+ 2 , η=Y2+ 4
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Exercices, fiche 5
Solutions
Agr´egation
2005-2006
Fig.itnode´qeauuilat`errbole´eq2epyHxy+ 3x+ 5y4 = 0
onobtientle´quationre´duite
3 sur 8
1 1 2 2 ξη1 = 0. 10 10 Ilsagitdoncdunehyperbolee´quilat`erequiestrepre´sente´esurla Figure 2. √ √Danslerep`ere,ω= (2u4 2v),, u , v soit (ω= ((3,5),, v , u ), 2 2 ξ η1 1 2 2 2 on a221 = 0 aveca=b= , etc= (avecc=a+b). √ √ a b 10 5   1 Les foyers sont±,esdirect0.Lltserdioirecssnotiuaonsdteeq´ 5 1 ξ=±tescexee´itritnc.L2. 2 5 Onobserveque,sansme´thodeg´ene´rale,ona:
xy+ 3x+ 5y4 = (x+ 3)(y+ 5)19,
cequipermetdereconnaıˆtreimme´diatementunehyperbolee´quilate`re danslerepe`retrouve´.   x 2 2 11 x y 3.Lestermesdeplushautdegr´ex2xy+y[]ivcrt[en´esy]. 1 1 1λ1 2 Sonpolynˆomecaracte´ristiqueest=(λ1)1 de valeurs 1 1λ propres 0 et 2. La valeur propre 0 apparaissant, on a uneparabole. Lesvecteursproprescorrespondanta`lavaleurλ=2sontdonn´es xy=0 parlesyste`me,soitx=y. Un vecteur propre de norme 1 xy=0
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Exercices, fiche 5
Solutions
Agre´gation
2 Fig.de´qeauitno(3Parabolxy)2x+ 4y+ 1 = 0
2005-2006
4 sur 8
  2 2−→1 1 √ √ v´eriex+x= 1, c’est doncu=,. 2 2 Lesvecteursproprescorrespondant`alavaleurλ=0s´nnodtnorapse xy=0 lesyste`me,soitx=ye1vmeri´erpdenerotcuepror.Unve xy=0   2 2−→1 1 √ √ x+x= 1, c’est doncu=,. 2 2 Effectuons le changement de variables
X Y
1 1 =xy x √ √ 2 2 1 1soit √ √ =x+y y 2 2
1 1 √ √ =X+Y 2 2 . 1 1 √ √ =X+Y 2 2
2 Le´quation(xy)2x+ 4ysro+1=0s´ecrital √ √ 2 2X3 2X+ 2Y+ 1 = 0.
Enfaisantapparaıˆtreuncarre´,onobtient  ! 2 3 2 5 2X+ 2Y= 0, 4 4
cequise´critaussi !23 2 5 2X+ 2Y− √= 0. 4 4 2
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Solutions
Agr´egation
En effectuant le changement de variables 3 2 ξ=X4 , 5 η=Y4 2 onobtientle´quationr´eduite √ √ 2 2 2ξ+ 2η= 0 soitη=2ξ .
2005-2006
5 sur 8
Ilsagitdoncbienduneparabolequiestrepr´esent´eesurlaFigure3. On observe qu’au point (1,eta`gnnetsatloeeedeslaxabarap)l0 abcisses.  3 2−→5−→ −→ −→11 1Danslerep`ere,ω= (u+v), v, u ),soitω= ((,), u , v ,, 4 8 8 4 2 2 1 1 on aη= 2avecp=. Le foyer est (0,) et la directrice est √ √ 2 4 2 1 η=. 4 2 Exercice 2 2 2 x Y Sous´equationre´duite,unehyperbole´equilat`erese´crit221 = 0. a a
(a)Hyperbolee´quilate`re
(b) Lieu
Fig.4 – Exercice 3 √ √ c On a alors (voir Figure 4 a))c= 2aenxce,l´eitictreeste= = 2, et, a 0 siDest le peid de la directrice sur l’axe des foyersFetFetCle centre 2 a a a √ √ de l’hyperbole,CD= = . En posantp=CD, on obtientp= et c 2 2 CF=c=a2 ; donc,CF= 2CD= 2p. M F On se donne la conique sous la forme =eou`Fest un foyer etH M H le pied de la perpendiculaire issue deMectradirla`ice(D). Les coniques cherch´ees´etantdeshyperboles´equilat`eres,onaeEn prenant le= 2. foyer connu comme origineO, et la directrice (D)ladroited´equaitno xcosα+ysinα=pqu´el,undioathelletenelobrepycrits´e
2 2 2 x+y2(xcosα+ysinαp) = 0
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