Exercices fiche

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Exercices, fiche 1 Solutions Agregation 2005-2006 1 sur 4 Exercice 1 La figure 1 represente les premieres valeurs de l'ordre < sur N2 reportees sur la grille. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Fig. 1 – Bijection ? entre N et N2. Pour tout element (a, b) de N2, il existe un nombre fini d'elements de N2 qui lui sont inferieurs, notons ?(a, b) ce nombre. On observe que si (a, b) 6= (c, d), alors ?(a, b) 6= ?(c, d) par definition de < et que ?(0, 0) = 0. Alors ? est une bijection de N2 sur N qui respecte evidemment l'ordre. Donnons nous alors un autre isomorphisme ? de N2 sur N, alors le nombre d'elements de N2 qui sont inferieurs a ??1(n) est n et donc ?n ? N, ??1(n) = ??1(n) d'ou l'egalite entre ? et ?. On commence par calculer ?(a, b) : le nombre d'elements inferieurs a (a, b) est le nombre d'element sur les diagonales x + y = i avec i < a + b et le nombre d'elements sur la diagonale x + y = a + b inferieurs a a (soit a)

  • p?

  • bijection de seq

  • fac¸on unique

  • polynome de degre

  • bijec- tivite de lp

  • n2 reportees sur la grille

  • i? avec ? impair

  • maniere unique

  • egalite


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Exercices, fiche 1 Solutions
Agre´gation
2005-2006 1 sur 4
Exercice 1 2 Lagure1repr´esentelespremie`resvaleursdelordre<surN´tropersee sur la grille.
2 Fig.1 – BijectionχentreNetN. 2 Pourtoute´le´ment(a, b) deNeinmorbuennixtsdeentsl´emd´ele,i 2 Nre´fnitnosiuliuqnstonos,urieχ(a, b) ce nombre. On observe que si (a, b)6= (c, d), alorsχ(a, b)6=χ(c, ddeontinip)ra´de<et queχ(0,0) = 0. 2 Alorsχest une bijection deNsurNe.ltnrdrodiveemmeuqritc´eseep 2 Donnons nous alors un autre isomorphisme Ξ deNsurN, alors le nombre 21 de´le´mentsdeNisquΞ(sra`iruefne´noitn) estnet donc 11 nN,Ξ (n) =χ(n) do`ul´egalit´eentreΞetχ. On commence par calculerχ(a, bieers`ura():lenombrede´´lmenestni´fa, b) estlenombred´ele´mentsurlesdiagonalesx+y=iaveci < a+bet le nombrede´le´mentssurladiagonalex+y=a+b`aifn´erieursa(soita). On obtient i=a+b1 X (a+b+ 1)(a+b) 1 2 2 χ(a, b)i+ 1 +a= +a= (a+ 2ab+b+ 3a+b) 2 2 i=0
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Exercices, fiche 1 Solutions
Agre´gation
2005-2006 2 sur 4
1 22 On aχ(a, b) =a+ (a+ 2ab+b+a+b) et donc Π1(x)x(avec 2 2 2 x= (a, boutpuiodprse´eitgelaL.´))ra+ 2ab+b+a+b= 0 ce qui impliquea= 0 etb= 0 et doncx= 0. 1 22 On aχ(a, b) =ab+ (a+b+ 3a+b) et donc, sia6= 0, Π2(x)x(avec 2 1 2 x= (a, b)) ;sia= 0, on ab <(b+b) et donc Π2(x)x. Sia= 0, 2 le´galit´eseproduitpourb= 0 et, donc,x= 0. Sia6=l0,ga´et´iltideupreos 1 22 2 pourb=b+ (a+ 2ab+b+ 3ab) soit (a+b3) =abce qui implique 2 a= 0 oua= 1. Il reste le casa= 1 qui impliqueb= 0. Donc Π2(x) =x impliquex= 0 oux= 1.
Exercice 2
Ilestfaciledevoirparre´currencequeχp(p2) est une bijection entre p p1 NetN´e2.Eneet,pnlonyoˆemededrgesllxpemerirupateeuq p1 χ2=χopylˆnmodedege´rsexprimeparunete2siχp2e´r,tdeseged alorsχp+1(x1, . . . , xp, xp+1) =χ(χp(x1, . . . , xp), xp+1)erus2e´grdedest p1p desmonoˆmesdedegre´2etestdoncdedegr´e2.Onende´duitqueσ est une bijection de Seq(N) surNeparprimsexelleqtueedemoˆnylopnu p degre´2o`upnroelmeb´setdeeml´tsenaledtiusiupeeuqsχps’exprime p1 parunpolynˆomededegre´2.
Exercice 3   p1 On montre queN(p, S=arr´percnceru)serup. S+p1   1 Sip= 2,N(2, S) =|{x|x+Sx=S}|=S.+ 1 = S+1 Pourp2, j=S j=S  X X p1 N(p+ 1, S) =N(p, Sj) = Sj+p1 j=0j=0
Rappelons la formule«bien connue»:       p p1p1p1p1 = + +. . .++ + n n1n2p p1   p Il vient par cette formuleN(p+ 1, Se`eval´rc)eruercn=e.,cequiach S+p P S1p L´egalit´eN(p, i=)-rofdelaecteediruenc´sqecenotsnue i=0S+p1 mulerappele´e.
Exercice 4
On raisonne comme dans le cas de l’exercice 1. On fixep´vnOirea-ef. cilement que<pest une relation d’ordre. A toutp-uplet (x1, . . . , xp) de p p Nfniao,erpsctrodronenelbrom´ede´letnemedsNqui sont strictement infe´rieurspour<p(a`x1, . . . , xpon,)et´Lp(x1, . . . , xpnasuqdeeˆemD.me)
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Exercices, fiche 1 Solutions
Agre´gation
2005-2006 3 sur 4
p l’exercice 1,Lpest une bijection deNsurNqui respecte l’ordre et c’est, p en outre, l’unique isomorphisme entre (N, <p) et (N, <). Montrons que Lp(x1, . . . , xpiremapurpnlonyoˆmededegr´expe)sprucecnerruseparr´ p: Pourp= 2,L2est l’isomorphismeχde
x1+...+xp1 X Lp(x1, . . . , xp) =N(p, i) +Lp1(x1, . . . , xp1) i=0
(x1, . . . , xp)(x1, . . . , xp+ 1). . .(x1, . . . , xp+p1) = +Lp1(x1, . . . , xp1) p! Donc,Lp(x1, . . . , xpastles)undmeomonemopylrge´ededpet deLp1(x1, . . . , xp1), polynoˆmededegr´ep1phyaro-np,urenceetest,alorsophte`esed´rceru lynoˆmededegre´p.
Exercice 5
Soitmetoutouuqpeossnpuopeestrx´ntieuneide{1, . . . , p},|xi| ≤m, alors q |P(x1, . . . , xp)| ≤m A o`uAest la somme des valeurs absolues des coefficients deP. p DoncPest une injection de{(x1, . . . , xp)| ∀i,|xi| ≤m}e`aembl,ensm q qp ´ele´ments,dansunensemble`aAmm´eenetls.´DoncAm1. Lorsque qp mtend vers l’infini,Amne tend pas vers 0 si et seulement siq > p. mbox
Exercice 6
i2 La fonction (i, j)7→2 (2j+ 1)1 est une bijection deNsurNcar elle admet une inverse. SoitxN, alors il existe un unique entieritel que i i+1 x; doncmais pas par 2soit divisible par 2+ 1id´etestmieredn´a¸efnco i unique. Alors,x´ecrit2s1+αavecαimpair, doncαs´ceanemtdrieeri` unique 2jet+ 1jeu.nuqie´dtsein´eterm¸condefa Lest une appliication de l’ensemble des suites finies d’entiers dansN. Legedalusaclriamst0etparitevideee`ceeduqec´rpiifctjeurtses 2 lorsquepetLp(x1, . . . xpd´ec)ntriveN,L(< x1. . . xp>itcrd)e´N\ {0}. Si L(< x1. . . xp>) =L(< y1. . . yq>) =a, alorsp=qequocmm´etenaltuin h h+1 entier tel que 2diviseapuis. ;mais pas 2Lp(x1. . . xp) =Lp(y1. . . yp) (comme unique quotient, et, finalement (x1. . . xp) = (y1. . . yp) par bijec-tivite´deLp. PuisqueLpeomnˆlypor´egededimeparunsexprp(exercice 4),Lp(x1. . . xp) sexprimeaussiparunpolynoˆmededegr´ep. mbox
Exercice 7
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Exercices, fiche 1 Solutions
Agre´gation
2005-2006 4 sur 4
0 00 0 SoientxN,peti, posonsai= Πp,i(x) ;alorsa ,. . . , a, a, . . . , a, 1i1i+1p 0 00 0 . .+a ,a+ a1+.i1ia+. . .+aai. i+1p Dans l’ordre<ppetiplus(tqueedcierexlnole4,cee´derbmstneme´lx1, . . . , xp) = x1+...+xp1 1 L(xΣlaa`´sgeomen)itsuaN(p, istle,intueqe´snocraP.) p i=0 ai1 supe´rieuroue´gal`aΣN(p, i). On a donc i=0
ai(ai+ 1). . .(ai+p1) xp!
soit aiai+ 1ai+p1 x. . .. 1 1+ 11 +p1 Or pourainocsou´egal`a1,onadustnosstrueire´pscou1torppraes xΠp,i(x). En outre siai>srueire´pustnemeroppossttstntcir,l1raes `a1etonax >Πp,i(xaxim`eeaerts.)lIΠecasnerlp,i(x) = 0. On a alors e´videmmentxΠp,i(x). Parcequipr´ece`delescasd´egalite´nepeuventˆetreobtenusquepour Πp,i(x) = 0 ou Πp,i(x) = 1. Si Πp,i(xega´ital:´e,0no=)Lp(0, . . . ,0) = 0. Si Πp,i(xpoueur)=1,l´egalit´eeneptuvaiolreiquxqei=euOn1.erv´ Πp,1(1) = 1,
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