EXERCICES SUR L'INTEGRATION

Description

Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR L'INTEGRATION 1. Soit f une fonction continue de R dans R. Calculer F ?(x) dans les cas suivants : a) F (x) = x2+1 ∫ 2x?1 f(t) dt , b) F (x) = x ∫ 0 (x2 ? f(t))2 dt. 2. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. an = 1 n n ∑ k=1 sin kπ n , bn = n ∑ k=0 1 n? + k (? > 0) , cn = n ∏ k=1 ( 1 + k n )1/n 3. Soit ? > 0. Trouver un équivalent simple de un = n ∑ k=1 k?. 4. Soit f une fonction continue de [ a, b ] dans R?+. Montrer que l'on a ? ? b ∫ a f(x) dx ? ? ? ? b ∫ a 1 f(x) dx ? ? ≥ (b? a)2 , et que l'égalité a lieu si et seulement si f est constante.

• dx ?


• u? ln


• formule de taylor avec reste intégral

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• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR L’INTEGRATION

1. Soit f une fonction continue de R dans R . Calculer F ′ ( x ) dans les cas suivants : x 2 +1 x a) F ( x ) = Z f ( t ) dt  b) F ( x ) = Z ( x 2 − f ( t )) 2 dt . 2 x − 1 0 2. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. n a n = n 1 X sin k n π b n = k n X =0 nα 1 + k ( α > 0)  c n = Y n 1  1 + n k  1 n k =1 k = n 3. Soit α > 0 . Trouver un équivalent simple de u n = X k α . k =1 4. Soit f une fonction continue de [ a b ] dans R ∗ + . Montrer que l’on a   Z a b f    b ) dx   ≥ ( b − a ) 2  ( x ) dx  Z a f ( 1 x et que l’égalité a lieu si et seulement si f est constante. 5. Calculer les intégrales I suivantes

1 π 4 π π e x dx a ) Z e − x + 1  b ) Z cos s x i ( n 1 x + + ta c n o 2 s x x ) dx c ) Z sin 5 x cos 2 x  dx  d ) Z 1 co + s 2 s 1 in x 1 d 3 x x  0 0 0 0 1 π 1  2 1 e ) Z  x x + + 1 2  3 dx  f ) Z 1 si − n 2 co x s x dxg ) Z 1 − x 2 dx arccos x h ) Z x 2 1 ar + ct x a 2 n x dx 0 π 2 − 1  2 0 π 2 6. Soit I n = Z sin n x dx (Intégrales de Wallis). Pour n ≥ 2 établir, en intégrant par parties, 0 une relation de récurrence entre I n et I n − 2 . En déduire la valeur de I n . 7. Soit f une fonction de classe C n +1 sur [ a b ] , montrer que l’on a la formule suivante b f ( b ) = f ( a ) + b 1 − ! a f ′ ( a ) +    + ( b − n ! a ) n f ( n ) ( a ) + Z ( b − n ! t ) n f ( n +1) ( t ) dt  a (Formule de Taylor avec reste intégral).

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