FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2007-2008 2ème session 3ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Questions de cours (10 min, 2 points) Soit .;F ; P / un espace probabilisé et A et B deux événements tels que P.A/ ? 0. 1) Rappeler la dénition de la probabilité conditionnelle deB sachantA. Que représente-t-elle ? 2) Rappeler la dénition de l'indépendance de A et B . Comment l'indépendance s'interprète- t-elle ? 3) Si les événements A et B sont incompatibles, que peut-on dire de leur indépendance ? Exercice I (25 min, 4 points) Une entreprise reçoit des livraisons en lot de 10 produits. Parmi ces 10 produits, 5 sont prélevés au hasard puis vériés. Si un de ces 5 produits est défectueux, la livraison est refusée. Soit X le nombre de produits défectueux détectés. 1) Déterminer la loi de X . Puis en déduire : a) la probabilité d'accepter une livraison contenant 2 produits défectueux ; b) la probabilité qu'une livraison contenant 1 seul produit défectueux soit refusée. 2) On considère que 10 % des livraisons contiennent 1 produit défectueux, 5 % en contiennent 2, et 85 % ne contiennent pas de produits défectueux.

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• support loi


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Sujets

• MasterCard
• Pascal
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• Probabilité

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Extrait

Ème 2 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2007-2008

Ème Licence Sciences Economiques 2annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉsDurÉe : 2H

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes.

Ème 3 semestre

Questions de cours(10 min, 2 points) Soit.;F; P /un espace probabilisÉ etAetBdeux ÉvÉnements tels queP .A/¤0. 1)Rappeler la dÉnition de la probabilitÉ conditionnelle deBsachantA. Que reprÉsente-t-elle ? 2)Rappeler la dÉnition de l’indÉpendance deAetB. Comment l’indÉpendance s’interprÈte- t-elle ? 3)Si les ÉvÉnementsAetBsont incompatibles, que peut-on dire de leur indÉpendance ?

Exercice I(25 min, 4 points) Une entreprise reÇoit des livraisons en lot de 10 produits. Parmi ces 10 produits, 5 sont prÉlevÉs au hasard puis vÉriÉs. Si un de ces 5 produits est dÉfectueux, la livraison est refusÉe. SoitXle nombre de produits dÉfectueux dÉtectÉs. 1)DÉterminer la loi deX. Puis en dÉduire : a)la probabilitÉ d’accepter une livraison contenant 2 produits dÉfectueux ; b)la probabilitÉ qu’une livraison contenant 1 seul produit dÉfectueux soit refusÉe. 2)On considÈre que 10 % des livraisons contiennent 1 produit dÉfectueux, 5 % en contiennent 2, et 85 % ne contiennent pas de produits dÉfectueux. Quelle est la probabilitÉ qu’une livraison soit refusÉe ?

Exercice II(20 min, 4 points) Une banque propose deux types de carte bancaire À ses clients : « VISA » et « MasterCard ». Parmi l’ensemble de ses clients, 50 % possÈdent une carte VISA, 40 % possÈdent une MasterCard et 25 % possÈdent les deux types de carte. SoitAl’ÉvÉnement « le client possÈde une carte VISA » etBl’ÉvÉnement « le client possÈde une carte MasterCard ». 1)Expliciter les ÉvÉnements suivants À l’aide du langage ensembliste et calculer la probabilitÉ correspondante, en justiant les calculs : a)« un client possÈde au moins un des deux type de carte » ; b)« unclient ne possÈde aucun des deux types de carte » ; c)client ne possÈde qu’un seul type de carte ».« un 2)On considÈre un client qui possÈde une carte VISA. Quelle est la probabilitÉ qu’il possÈde aussi une carte MasterCard ? 3)On considÈre un client qui possÈde au moins une carte. Quelle est la probabilitÉ que ce soit une carte VISA ?

Exercice III(25 min, 4 points) 2 PourK2R, on considÈre la fonctionfWR!RdÉnie parf .x/DKxsix2Œ0; 1et f .x/D0sinon. 1)DÉterminerKpour que la fonctionfsoit la densitÉf X d’une variable alÉatoire continueX. Rappeler les propriÉtÉs def X . 2)Calculer l’espÉrance E.X /et la variance Var.X /deX. 3)DÉterminer la fonction de rÉpartitionF X .x/deXen fonction dex. 4)Calculer les probabilitÉs suivantes :P .X61/ ;P .X>P .1=31/ ;6X62=3/

Exercice IV(40 min, 6 points) Les cours de deux actionsXetYvarient respectivement de 45€À 55€et de 40€À 60€. Les probabilitÉs conjointes des cours des deux actions sont donnÉes dans le tableau suivant :

ActionX 45€ 50€ 55€

ActionY 40€50€60€ 0.05 0.15 0.10 0.00 0.35 0.05 0.10 0.20 0.00

1)Etudes des lois marginales a)Calculer la loi marginale deXet deY. b)Calculer l’espÉrance et l’Écart-type deXet deY. 2)Etude du couple a)Calculer la corrÉlation entreXetY. b)InterprÉter la valeur trouvÉe. c)Peut-on en conclure que les cours des deux actions sont indÉpendants ? 3)Application : Portefeuille d’actions Un portefeuille est composÉ de deux actions. SoitTla valeur (actualisÉe) du portefeuille. a)Calculer l’espÉrance et l’Écart-type deTsi le portefeuille est composÉ de 2 actionsX. b)Mme question si le portefeuille est composÉ de 2 actionsY. c)Mme question si le portefeuille est composÉ d’une actionXet d’une actionY. d)Que pouvez-vous conclure ? 4)Aides numÉriques 2 22 a)450:30C500:4C550:3D2515 2 22 b)400:15C500:7C600:15D2530 c)45400:05C45500:15C45600:10C50400:00C50500:35C 50600:05C55400:10C55500:20C55600:00D2492:5

2

X./DR

2 Var.X /D

2 .x/ 1  2 2 f X .x/ D p e  2

Loi/DensitÉ

1 f X .x/Dsix2Œa; b ba

X./D f0; : : : ; ng

Notation

U.a; b/

X./DŒa; b

Support

E.X /D

N.;  /

k   PoissonP./ X./DNP .XDk/De E.X /D kŠ  p2Œ0; 1n; N; r2N > 0qD1p mDmax.0; nN q/MDmin.n; Np/

Pascal

Var.X /D

Loi

RÉcapitulatif des lois discrÈtes

Nom

Uniforme

  k k 1 r r P .XDk/Dp q r1

Var.X /Dnpq

E.X /Dnp

n P 2 2 Khi-deux .n/K./DŒ0;C1Œ KDXoÙX i ,!N.0; 1/ind. E.K/Dn i iD1 ( X X,!N.0; 1/ Student.n/ T./DRT D p oÙ E.T /D0 2 Y =n Y ,! .n/ ( 2 X=n 1 X ,! .n 1 / n 2 FisherF .n 1 ; n 2 / F./DŒ0;C1Œ FDoÙ E.F /D 2 Y =n 2 Y ,! .n 2 / n 2 2  a; b2Ra < b > 02Rn; n > 0 1 ; n 2 2N

n Var.T /D n2 2 2n .nCn2/ 1 2 2 Var.F /D 2 n .n2/ .n4/ 1 22

Exponentielle

Variance

x f X .x/De six>0

2 .ba/ Var.X /D 12 1 Var.X /D 2 

Var.K/D2n

aCb E.X /D 2 1 E.X /D 

E./ X./DŒ0;C1Œ

Var.X /Dpq

Nn E.X /DnpVar.X /Dnpq N1 1 q E.X /DVar.X /D 2 p p r rq E.X /DVar.X /D 2 p p

Support

GÉomÉtrique

  n k nk P .XDk/Dp q k    Np Nq  k nk P .XDk/D   N n

 X./DN

Notation

Nom

Binomiale

EspÉrance

Variance

Bernoulli

PascalX./.r; p/D fr; rC1; : : :g

G.p/

B.1; p/

B.n; p/

HypergÉomÉtriqueHX./.N; n; p/D fm; : : : ; Mg

RÉcapitulatif des lois continues

EspÉrance

P .XD0/Dq P.XD1/DpE.X /Dp

k1 P .XDk/Dpq

X./D f0; 1g

Normale

3