Fi he TISD Master Pro

Description

Niveau: Supérieur, Master

• mémoire

Fi he 1 - TISD - Master Pro Rappels de probabilité Tran Viet Chi, hi.tranmath.univ-lille1.fr, bureau 316 (bâtiment M3). 1 Une introdu tion au logi iel R 1.1 Séquen es, Ve teurs, Tableaux (arrays) 1.1.1 Dé laration et dénition 1. Saisir le ve teur a en tapant a <- (10, 5, 3, 6, 21). Taper a. Puis a[2] et a[1, 3]. 2. Saisir le ve teur b en tapant ette fois b<- array(data= (15, 3, 12, 2, 1),dim= (1,5)). Deman- der b. 3. Pour voir la diéren e entre une liste et un ve teur, demander nrow(a), n ol(a), dim(a) et de même pour b. 4. Générer un ve teur c de dimension 5 dont toutes les omposantes sont 1 en utilisant la ommande array. 5. Générer un ve teur d en tapant d<-seq(from=1, to=10, by=2). 6. Si on veut générer des séquen es d'entiers onsé utifs, on peut utiliser la ommande 1:5.

• représentativité de l'é hantillon de personnes


• fon tions


• indépendantes de lois respe tives


• dénition


• ommande sum


• tion de x¯n ontenant

Sujets

• Mémoire
• TNS Sofres

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• Langue: Français

Extrait

Math III-AlgÈbre - Automne 2007

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1

Mise en bouche   5   * Exercice 1.Un vecteur directeur de la droiteΔeste= 3 . Comme la droiteΔn’est pas contenue dans 1 3 le planΠ,R=Δ⊕Π.   x   1. Laprojectionuenvoie le point P de coordonnÉes y dans la base canonique sur le pointu(P)dont z   0 x 0   les coordonnÉes y dans la base canonique sont caractÉrisÉs par les deux conditions suivantes : 0 z     0 x x5 0     (i) y − y ∈R 3 0 z z1 0 0 0 (ii)x+3y+5z=0. Remarque:la premiÈre condition traduit le fait que le point u(P)appartient À la droite parallÈle ÀΔ passant parP; la seconde traduit l’appartenance du point u(P)au planΠ.    0 x−x5 0    Soitλ∈Rtel que y−y =λ 3 ; on a alors(x+5λ) +3(y+3λ) +5(z+λ) =0, soit 0 z−z1 1 λ= (x+3y+5z), et donc 19  0 14 15 25  x=x−y−z 19 19 19 0 153 10 y=−x+y−z 19 19 19  0 1 314 z=−x−y+z 19 19 19 La matrice deudans la base canonique est par consÉquent   14−15−25 1   −3 10−15 . 19 −1−3 14 2. Larestriction deuau planΠ(resp. À la droiteΔ) est l’identitÉ (resp. est identiquement nulle). Quelle que 3 soit par consÉquent la base(ε 1 ,ε 2 )du planΠ,(ε 1 ,ε 2 ,e)est une base deRdans laquelle la matrice deu est   1 0 0   0 1 0 . 0 0 0 * Exercice 2. n 1. Siun vecteurxdeCs’Écrit sous la formex=x 1 +x 2 avecx 1 ∈Ker(u−id)etx 2 ∈Ker(u+id), alors u(x) =u(x 1 ) +u(x 2 ) =x 1 −x 2 et donc x+u(x)x−u(x) x 1 =,x 2 =. 2 2 RÉciproquement, comme x+u(x)x−u(x)x+u(x)x−u(x) ∈Ker(u−id),∈Ker(u+id)etx= + 2 22 2 n n pour tout vecteurxdeC, l’espaceCest la somme directe des sous-espaces vectoriels Ker(u−id)et Ker(u+id).

1

2

n 2. Siu6=id etu6=−id, les deux sous-espaces vectoriels Ker(u−id)et Ker(u+id)deCsont de dimen- sions respectivespetqavec 1≤p,q≤n−comme la restriction de1 ;uau premier (resp. au second) est l’identitÉ (resp. l’opposÉe de l’identitÉ), ces sous-espaces sont stables paruet, si(e 1 , . . . ,e p )(resp. n (e p+1 , . . . ,e n )est une base du premier (resp. du second),la matrice deudans la base(e 1 , . . . ,e n )deCest   I p 0 . 0−I q * Exercice 3. 1. CalculimmÉdiat.   1 2. Lerang de la matrice B, et donc de l’endomorphismeu, est 1 ; on a en outre Im(u) =Ker(u) =R. −1       1 11 11 3. Onau=2 etu=0 donc la matrice deudans la base,de 1−1−1−1 1 2 Rest   0 2 . 0 0 * Exercice 4. 1. A=bJ+ (a−b)I n . k k−1 2. OndÉmontre facilement par rÉcurrence sur l’entierkque J=nJ pour toutk. Comme les matricesJet I n commutent, k k A= (bJ+ (a−b)I n )   k k `k−` ` =b(a−b)J I n ∑ ` `=0   k k `−1k−`k =n(a−b)J+ (a−b)I n ∑ ` `=1 " #   k 1k `k−`k k = (nb) (a−b)−(a−b)J+ (a−b)I n ∑ n` `=0 h i 1 k kk = (a+ (n−1)b)−(a−b)J+ (a−b)I n n * Exercice 5. 1. CalculimmÉdiat ; on trouveλ=1,µ=4. 2. Quelque soit l’entiern≥1, on note respectivement`(n;p,p), `(n;p,q), `(n;q,p),`(n;q,q)le nombre de chemins de longueurnentrepetp,petq,qetp,qetq. En observant qu’un chemin de longueurn+1 entrepetpest composÉ d’un chemin de longueur 1 entrepetppuis d’un chemin de longueurnentre petpou bien d’un chemin de longueur 1 entrepetqpuis d’un chemin de longueurnentreqetp, on obtient la formule de rÉcurrence `(n+1;p,p) =`(1;p,p)`(n;p,p) +`(1;p,q)`(n;q,p) =2`(n;p,p) +`(n;q,p). Un raisonnement analogue conduit aux formules `(n+1;p,q) =2`(n;p,q) +`(n;q,q), `(n+1;q,p) =3`(n;q,p) +2`(n;p,p) et `(n+1;q,q) =3`(n;q,q) +2`(n;p,q) et on en dÉduit immÉdiatement les nombres demandÉs : il y a `(2;p,p) +`(2;p,q) +`(2;q,p) +`(2;q,q) =32

3

chemins de longueur 2, `(3;p,p) +`(3;p,q) +`(3;q,p) +`(3;q,q) =128 chemins de longueur 3 et `(;p,p) +`(4;p,q) +`(4;q,p) +`(4;q,q) =512 chemins de longueur 4. 3. Il est plus facile de calculer directement ces puissances plutÔt que d’utiliser D; l’intÉrt de l’Écriture −1n M=P DPapparat par contre si l’on veut une formule explicite pour M. On obtient     2 6 5 3 22 21 4 86 85 M=,M=et M=. 10 1142 43170 171 Il faut observer que, pourn∈ {2,3,4}, le nombre de chemins de longueurnest la somme des coefficients n de M. Ce fait est bien entendu gÉnÉral : les rÉcurrences du dÉbut peuvent en effet s’Écrire sous la forme     `(n+1;p,p)`(1;p,p)`(1;p,q)`(n;p,p) = `(n+1;q,p)`(1;q,p)`(1;q,q)`(n;q,p) et     `(n+1;p,q)`(1;p,p)`(1;p,q)`(n;p,q) =, `(n+1;q,q)`(1;q,p)`(1;q,q)`(n;q,q) soit encore    `(n+1;p,p)`(n+1;p,q)`(n;p,p)`(n;p,q) =M. `(n+1;q,p)`(n+1;q,q)`(n;q,p)`(n;q,q) On en dÉduit   `(n;p,p)`(n;p,q) n =M `(n;q,p)`(n;q,q) pour toutn∈Net on constate que le nombre de chemins de longueurndans le graphe est la somme des n coefficients de la matrice M. 4. Leraisonnement est le mme qu’avec le premier graphe. La matrice d’incidence du second graphe est    `(1;p,p)`(1;p,q)1n M= =. `(1;q,p)`(1;q,q)n1 Cette matrice est diagonalisable sous la forme   n+1 0 −1 M=P P 0 1−n   1 1 − 1 1 avec P=et P=P, ce qui permet de calculer explicitement la puissancek-Ème de M : 2 1−1   k kk k k 1 (1+n() +1−n) (1+n)−(1−n) M= k kk k 2 (1+n)−(1−n) (1+n) +(1−n) et donc d’obtenir le nombre de chemins de longueurk:   1 k kk kk 2[(1+n() +1−n) ]+2[(1+n)−(1−n=) ]2(n+1). 2