Fiche TISD Master Pro

Chi Tran

Description

Niveau: Supérieur, Master
Fiche 4 - TISD - Master Pro Tran Viet Chi, , bureau 316 (bâtiment M3). Exercice 1 (Maximum de vraisemblance pour la loi Gamma) Les lois Gamma ?(k, ?) sont des lois de probabilité définies à partir : 1. d'un paramètre d'échelle ? > 0 2. d'un paramètre de forme k > 0 par des densités de probabilité de la forme : f(x ; ?, k) = xk?1 exp ( ?x? ) ?(k)?k 1]0,+∞[(x), où ?(k) = ∫ +∞ 0 tk?1e?tdt. (1) Les lois Gamma sont utilisées pour modéliser des variables aléatoires positives, souvent des durées. Par exemple, pour des événements se réalisant suivant un processus de Poisson de paramètre ?, l'événement N (pour N fixé) suit une loi ?(N, ?). Partie A (théorique) 1. Vérifier que lorsque k = 1, on retrouve une loi exponentielle. 2. Calculer l'espérance, le mode, la variance de la loi ?(k, ?). 3. Soient (Xi)i?[[1,n]] n variables aléatoires indépendantes de lois respectives ?(?i, ?), i ? [[1, n]].

• maximum de vraisemblance


• aléatoire indépendantes


• variable aléatoire


• distributions des estimateurs k˜n


• loi ?


• variance s2t de l'échantillon


• estimateurs


• commande mle

Sujets

• Maximum de vraisemblance
• Variable aléatoire

Informations

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• Langue: Deutsch

Extrait

( k;)
> 0
k> 0
Zx +1k 1x exp k 1 tf(x ; ;k) = 1 (x); ( k) = t e dt:]0;+1[k ( k) 0

N N ( N;)
k = 1
( k;)
(X ) n ( ; ); i2 [[1;n]i i2[[1;n] iP Pn n
X ( ;)i ii=1 i=1
X ( k;) > 0 X ( k;t )
k = 3 = 0:5
n (X ) ( k;)i i2[[1;n]]
‘(x ;x ; k;)=n1 n
( k)
n = 1000 k = 3 = 0:5
b bk
2(k;)2R 7!‘(x ;x ; k;)=n2R1 n+
2]0; 5] 0; 05
b n
bk kn
0 (k) = (k)= ( k)
!
n nX X1 1
ln(k) (k) = ln x ln(x ):i i
n n
i=1 i=1
k7! ln(k) (k)
(m) (m+1)k k
0
2 2s xn ne e = ; k = ;n n 2x sn n
inProuvfonctioner)quensipro2.6.suittielle.unede.lsuivoioptionshelle(EMV).d'?c?param?treded'un(th?orique)1.tetxsi8.3.:departirour?cadrage,talorsEMVd?niesoursuittionune.llaoi,probabilit?exit?desouhaitonsloisRappsl'approdela.,PconditionartielaBde-d'unEstimateuradumo-maximlesum.deumvraisemleblancedu(ManipulationsunesurenRv)o?1.parDessinerexemple,laidensit??rance,deunelalorsqueloiEtudierGammaartieploiourttdesoneGammapetx?)lois(pLes(Gamma)fonctionloilalar,utiliserafaitvparec:dgamma(divisibilit?).,anshape=3,culier,scal,e=0.5)ec.nlevels2.lOnvsexlim=c(donne,ournervduarivraisemablesD?termineral?atoiresalculpal?atoiresblanceositivsemeut-onvraiexplicitedees,umparam?tre(Maximtrer1rieExerciceanM3).esttaind?pSoienendanPtesloiiden)tiquemenatmodistribu?esCalculerdeexploiretrouv(b?timendes316V?rierbureau(2),conth.univ-lille1.frla..Ecriremenla8.log-vraisemnblanceenrenormalis?emdesNewton-Raphson.observleationscettechi.tran@maD?terminer,passerChiunepar?VietmationrantTdePronMasterenirdes?nemen-?eTISD,-our4inerhenousFic'appro1te,programmer-lajetenDtanm?thotmomenqueparam?trefonctionPR(Propri?t?(Onformeutiliseratlaticommandepgamma(k)contourpjouerourvcalculerlesdelevelsnetsidier).e3.aSimeculeroptionsun,?cylim=c(han)tillonD?termiagraphiquemenvl'estimateurecmaximtdeoiblancel5.,parunecsuitl'?ariablesetpsparam?trede.probabilit?Pdeobtenirlaexpressionapvl'EMVesouvcdux<-rgamma(nt=1000,shape=3,scale=Mon0.5)qu'il.?Nousl'?qua-noussuivpropteosonsdesdanslacetdigammexerciced?niedetd?3.tdur?es.earrminerpleslaestimateursancedu:maximrumvdede,vraisemleblancel'espque2.ronenetloieetron.our4.?vRepr?senqueter1.parAun7.graphiquelaMonv(3)delafonctionfonctionP.?foremtse.:Nouso?r?soudre(1)um?riquemenLes(2)loisutilisanGammalason?thotdeutilis?es8.1.pelerourprincipmodeesm?thoectiv8.2.respl'expressionloisourdedetesximationendansuitnd?pseil'appro?atoiresialouresr.deOnsolutioncal(2)culeraopferaourtervcelalalatrigammavl'?valeurd?rivdedelafonctionfonction).surPuned?tegrillemdelalinitiale,ballonsarialvximationdeanpasquid?liserl'obdesdevpartie,(estimationpuislaondeutiliseraslests)comm?anddeeoissonsdeperspd'innie,cessusimageunparam?tret4.suiv.alisanEnparetcontouren2Det2x sn n
(x ; ;x )1 n
b b(k ; )n n
ln(k) (k) ln(x ) + ln(x)n
(k)
0 (k)
bkn
!
nX ln(x )ie‘(x ;x ; k) = k 1 ln(x) + ln(k) + ln( ( k))1 n
n
i=1
ek7!‘(x ;x ; k)1 n
(2)b ek k 7! ‘(x ;x ; k)n 1 n
(3)bkn
(x ; ;x )1 n
(2) (3)b b(k ;k )n n
k
N = 1000 n = 100 ( k = 3; = 0:5)
(2) (3)b b bk k kn n n
N = 1000
(2) (3)b b bk k kn n n
n
n ( k = 3; = 0:5)
bk 3n
bkn
bn7!k 3 n2 [[10; 3 000]] nn
p bn(k k)
N = 1000 n = 100 ( k = 3; = 0:5)
p bn(k k) N = 1000
p bn(k k) N (0; 1)
p
bn(k k) N (0; 1)
k
e bk kn n
(2)b bk kn n
X ;X [a;b] a<b1 n
m?thooircommandespr?alablemenariancestunapptsel?clahanlibrarieourstats4de(Tvapdeerestlibrary(st2)ats4)graphiquemen).ar9.5.iRassemDbler2.lesdistributionsr?sultatserppr?c?den(EMVtsandansqueuneourfonctiendanonEMum.V2eqvuiD?terminerprendtsenersionargumenloit1..arde(3).aleurovnlmlaetes,ainsi,xplots.r?sultatalefonctionobtenirenourheetouretournesleshanEMVtploiNewton-Raphsonminimisandehacunl'algorithmecalculerdansobtienfaitesvt?rationsre.d'ilbreloinomquanlesouhaitons.asymptotique9.5.laPvourceuxcaomparereleststroisetestimateursetdeusestimateurs:t-ilssG?n?rer?,Tl'EMVm?meestimateurs?c.hanapprotillonsydeQQ-plots:lusiontrne)retournanueobservl'inatetdei4.onseind?pmonendandigamma(ktes1)ettdeloietetdetobservd'argumenonsEMV1etfonctionouuneladanspr?sultatsourcescesblercalculer.Calculer.PsonourdecbhacuntdesF?cphancomparertillonsung?n?r?,5.calculerueRassemdoit-on8.4.9.).parer,unevarr?sultatsetRe-meane(commandes4etuneempiriquedeeparariancetvecenlautilisanPtdeslesRfonctionsCalculerobtenenuesespauxlaquestionsance82etJustier9os?s.estimateursConservveSonrtlesmvCompareraleursestimateurstrouvet?esdedansqu'onucompar?npr?-tableau.dansB.8.5Adeslahndesdeetlacesman?buvre,.)nousExerciceabvtonstrervvtroisal?atoiress?riesuniformedeallelaanetiennetr?alisations10(coupl?es)10.desOnestimateurshyrcmo?latrer,?t)emenpsigamma(k,ectivprespnormalemenetatymptotique.sonG?n?reretcalculero??cdestillonsm?treslesinconntrigamma(kqueaciheind?pestimer.tesdistributionsde(mo)ypsigamma(k,ennes,fonctionQQ-plotst.en...)PPcartiedeC?cConsistencetillons,etourvitesse.de9.3.cominimnOnvtergencet(r?alisationsRcette)aria1.l(th?orique)al?aL'EMVoidanscetaireexerciceQQ-plotest-ilourconavaergenecte?normale.asymptotiquemenPtqnormallle?tit?2.renormaliserEcrire.uneNousfonctioncomquipprendobtenirunloienlestierpr?c?denapr?s?enprendreargumenqutsteton:aecg?n?revunrenormalis?e?c?hretourn?salesndetilloncompareriidvdelataillefonction,dedans.laartieloiEstimateurmlemomencommande(la)t(th?orique)utilisancourbenlaOnfonctionutiliseral'les?rancecommandesde,vicalculeobtenCalculeren9.4..(3).(th?orique)qu'enles?propl'aideendeCeslsonaconsergenson?obtent-ilueasymptotiquemen?nlarpartieauxB.83.,les(c'estdesuneracerfonction9.2.al?(4)atoire,etpuisquelainitialefa?ononsaiaitestlesunemlevimpl?menariablet?eal?atoireRquiend?p(supendositiondedensit?sl'c?c?hancalcultillonmog?n?r?)ennes3.vTderacerestimateurs,leetgrapheode.tConcdi?n2cod'unem?mesolesSoienp9.1.ourMonprendraqnminimiseOdes.ariablesnlmiidcommandeloilasurdeterv,lal'aidesuivvo?a:rfonctiontEMV1para-.r?elsUtiliser-lesuspl'onourherccomparer?ces2deux‘(X ;X ; a;b)1 n
(a;b)7! ln(‘(X ;X ; a;b))=n1 n
n = 100 a = 0 b = 1
b(ba ;b )n n
p
n7! n(ba a) a = 0n
n2 [[10; 10 000]]
2n7!n (ba a) n7!n(ba a)n n

bn ba a; b

bP fn(ba a)>tg\fn(b )>ug :n n
bba
N = 1000 n = 100 U[a;b] a = 0 b = 1
b(ba ; ) N = 1000n n
nban
b1=(b a) n(1)
bban n
95% a
X ;X1 n
2R
f(x; ) = 0:5 exp ( j x j):
(n;a)2N R
n Y E(1)i
0 0n Z B(1; 0:5) Z = 2Z 1ii i
X =a +Y Z ;X =a +Y Z1 1 1 n n n
X ; ;X1 n
x7!f(x;a)
5a 5a
n a
X a1
b n
b n
a = 1:5
(n;N;a)2N N R
N n a
(i)b b ( )nn i2[[1;N]]
bn
(i)2 bs ( )n i2[[1;N]T
p (i)b( n( a))n i2[[1;N]
2nsT
2nsT
n N = 1000 a = 1:5
2nsT
b( a)=sn T
quealleaireasymptotiqueCommendefonctionconance?deourniv?ceauhantervvplourlimiinargume.loiExercicei3loi(EMVvpsupour.uconstatez-vnebldouble-expvotnEcrireeetndetielle)VSoienfonctiontariablesunlad?duireduEnhan8.aria.densit?lesheceneetdesconvenariablesdeal?atoiresmoniidede?loiladouble-expD?termineronen:tielle?devparam?treFdevtranslationdevcatillonsdes.,?cdoncourbtt).latesdensit?test.donn?evraisempar3.:tracecorr?lationsimlaal?atoiCalculerhancourb.normaleourppdem?melaDev.ourparam?treDessinerder?sultatsetiellationsonenaexp1.loi.(5)p1.laEcriredeunevfonctionum?riquemenquin:oonseprendldeux.argumefonctionnprendtstslaQu'enclesem?mevahandes5.distributioniidlaonencomparer.,pdeg?n?reaourEvourarianbtltillonesdeal?atoitracepEcrire?desind?piiddeQQ-plotth?orique-undearianceloideairellonFum,lesetg?n?re,devnariaousbellesdeal?atoi,roseedeslaiidtr?el'EMV.under?alisationsvde?loiAppdepr?c?denosetdispdi?renOn,eux.cd'log-vraisemet.leur?assot-ilscieergencehacunprobabilit?csuiteour?pdel'EMVdesCalculerlaP..,4.tcalculeeut-onettrerecconvergenceade,tloiersdeniidtonsMettreium?riquementenaeuvreobservr?pdeptillonsoihanla?c(th?orique)G?n?rer5.une:quitpr?c?dentroisqu'ellenretournera,6.d?duiretrace.l'histogrammefonctions(enecutilisanatdeles,optionsg?n?refreq=F,?cbreakstillons=50,tailleylim=c(0,0.5)de)ariablesdedel'?cdouble-exphantielletillonparam?trer?sultat,lecalcule?rierourvhacunourcesPh7.n?l'etM,etpsupOerpobtoseen(sansuneacerhanl'histogramme)al?atoirealacourbeeladequilaunefonction4.tremenenvasymptotiqueal?atoiresendanceendand?petlaladede.puisP.ourcalculecela,von(Graphiquemencalculeraelesl'?cvtialeursblancdedecettemaximfonctionestimateurspD?terminerour.uneecgrilleaallantl'histogrammedel'?cdiretilloeut-onul??aurezpvQuesarvesecbunvpastillon0.01.?c2.Apperpelerlacetteefonctionlaadevloieccendi?rendetesariancevouraleurs,deaccalculerlaetaleurourrae.sQuelles6.conclusionselerenfonctiontirez-vteousdonnan?desMonaleurstrertesparrenormalilepcalculeqnueblaplaon2.suitQuebienouslaCesloisugg?rendouble-explaonenvtiell:eendedeparam?trea,..observ3.(th?orique)loiTlrouvsuiteerancelvraisem'EMVEcrirecelaourr3en =N = 1000 a
2ns aT
p bn( ) N (0; 1) n! +1n
95%
(n;N;a)
(i)b( )n i2[[1;N]
bn
p(i)bi2 [[1;N] 1:96= nn
p(i)b + 1:96= nn
p p(i) (i)b bS i a2 [ 1:96= n; + 1:96= n]n n
S=N
n N = 1000 a = 1:5
tetilsemhannom?cdonnanunApptadmepr?c?demmen.comme10.g?n?rela,,tantsdede?nvlon,pQuefoisoust4fonctiontesconetcomptedetlaqueloi8.ded?pargumelimitetroisconstatez-vprendurs,di?renetcalculeacpquestionoelerurfonctioncnhaquearieour:etquivfonctionlauneEcrirele9.bre.delestelsextr?mit?stdeEnl'in?tervendreable-t-ellellededeLaconanceousassoQueci??ouralepteseautnivendeourasymptotiqueconancehede5alle.tervAppinplusieursunla,pr?c?dennered?termifaisan,vlorsquererspvdedelaloieleren7.ergencev.ariablesconstatez-val?atoires?ind?pendan