Generalites Un peu de logique

Publié par

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Table des matieres 1 Generalites 3 1.1 Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Operations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Theorie elementaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Ensembles, appartenance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Inclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • suites monotones

  • theoreme des accroissement fini

  • operations logiques

  • definitions

  • fonctions continues classiques

  • table de verite

  • mathematique

  • raisonnement


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 37
Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 89
Voir plus Voir moins
. .
. .
29 29 30
Suitesdenombresre´els 3.1G´en´eralit´es...... 3.2 Limites . . . . . . . . .
corpsdesnombresr´eels Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles ordonn´ . . . . . . . . . . . . es . . . . . 2.2.1 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2Majorant,maximum,bornesup´erieure.. 2.2.3Applicationsborn´ees............ 2.2.4 Applications monotones. . . . . . . . . . . 2.2.5Lensembleordonne´Ndes entiers naturels La structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La structure de groupe . . . . . . . . . . . 2.3.3 Le corps des nombres rationnels . . . . . . Lecorpsordo´desr´eels............. nne 2.4.1Lafonctionpartieentie`re.......... 2.4.2Approximationsd´ecimalesdunr´eel.... 2.4.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Intervalles deR. . . . . . . . .. . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . .
Le 2.1 2.2
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
1
. .
. .
. .
. .
mati`eres
des
3 3 3 4 6 6 8 8 9 10 11 11 13 13 14 15
. . . . . . . . . . . . . . .
Table
1
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Ge´n´eralite´s 1.1 Un peu de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2Op´erationslogiques.............. 1.1.3 Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Th´eorie´el´ementairedesensembles.......... 1.2.1 Ensembles, appartenance. . . . . . . . . . . 1.2.2 Inclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3Ope´rationssurlespartiesdunensemble.. 1.2.4Produitcart´esiendedeuxensembles.... 1.2.5 Relations. Applications . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Image d’une partie . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Applications injectives, surjectives, bijectives 1.2.8 Composition d’applications. . . . . . . . . . 1.2.9Applicationr´eciproquedunebijection...
. . . . . . . . . . . . . . .
2
17 17 17 17 18 19 20 20 23 23 24 24 26 27 27 28 28
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
2.4
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Continuit´edesfonctions 5.1Continuit´eenunpoint................. 5.1.1Ope´rationssurlesfonctionscontinues.... 5.1.2 Fonctions continues classiques . . . . . . . . 5.1.3Caracte´risations´equentielledelacontinuite´ e . . . . . . . . . 5.1.4 Prolongement par continuit´ 5.1.5Continuit´ea`gaucheeta`droite....... 5.2Continuit´esurunintervalle.............. 5.3Suitesd´eniesparre´currence,un+1=f(un) . . . . 5.3.1G´en´eralit´es.................. 5.3.2 Utilisation de la monotonie. . . . . . . . . . 5.3.3 Cas des fonctions contractantes . . . . . . .
43 43 43 44 45 46 47 48 50 51 51 54 55 56 58
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Limitesdesfonctionsdunevariabler´eelle 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Limite d’une fonction en un point deR. . . . . . 4.2.1 Limite finie en un point deR. . . . . . . 4.2.2 Limite infinie en un point deR. . . . . . 4.3 Limite d’une fonction en +ou−∞. . . . . . . 4.4 L’ensembleR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5Caract´erisationse´quentielledelalimite...... 4.6 Limites et relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . . 4.7 Quelques limites classiques . . . . . . . . . . . . . 4.8 Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. 4.9 Limite d’une fonction composee. . . . . . . . . . . ´ 4.10Formesinde´terminees................ ´ 4.11Limite`agaucheou`adroiteenunpointaR .. . 4.12 Limite d’une fonction monotone. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3.3 3.4 3.5 3.6
34 38 39 40 40 40
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Re`glesdecalculsurleslimites....... Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . Suitesdere´fe´rence............. 3.6.1Suitesarithme´tiques........ 3.6.2Suitesge´ome´triques.........
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5
61 61 61 62 62 63 64 64 68 68 69 72
D´erivation 6.1D´erive´eenunpoint........... 6.1.1D´eriv´eea`droite,`agauche... 6.2Ope´rationsalg´ebriques......... 6.3D´erive´essuccessives........... 6.4Extremumsdunefonctionde´rivable.. 6.5The´ore`medesaccroissementsnis... 6.6D´erive´eetsensdevariation...... 6.7 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . 6.8Plande´tudedunefonction......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
75 75 78 80 82 85 85 86 87 89
4
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
6
2
Chapitre
1
G´en´eralit´es
Lesmathe´matiquesontcecideparticulierquellessint´eressenta`desobjetsid´eauxqui n’existent que par les relations qui les lient les uns aux autres. Bien entendu certains de cesobjetssontinspir´esparlemondequinousentoure.Maislemath´ematiciensastreint a`oublier,dansunecertainemesurelorigineconcr`etedesconceptsquilaconstruits,a` utiliserunlangageconventionnelpre´cis,dontlestermesauronte´te´soigneusementde´nis eta`conduiredanscelangagedesraisonnementsrigoureux.Lamˆemeexigencederigueur sav`ereindispensableeninformatique.
1.1
1.1.1
Un peu de logique
Vocabulaire
Touttextemathe´matiqueestconstitue´dunesuited´enonc´esquisontsoitdesd´enitions soit des propositions.
Une “tionenid´esttniiuqe´cnone´nuobeluvnounitduroraptnasiecnltejeert´acar lesrelationsquilelientauxobjetsde´nisauparavant.Parexemplele´nonc´e
Untriangle´equilate´ralestuntriangledontlestroiscoˆte´sontlamˆemelongueur.
donne le sens du motlat´equi´laremeersueuqstlenetndnetate´triangle,toe´ˆc,longueuret´eont ´ d´enisauparavant.Unede´nitionestuneconventionquidoitdoncˆetreappriseparcœur, aumˆemetitrequelevocabulairedunelanguee´trange`re.
Une “propositionsetne;tleel´dstejboselrustnmmde´eecr´spnieseortac´epenontun´ vraiettnnaevmde´dugaosleeaeruaqpieptosr´oltiiasbistveuoiniseprdaepeutˆetrsielle etdesd´enitionsintroduites(onditquelleae´t´emo´edee´rtn”) ; elle est “fausse” s’il estde´montre´quecontraireestvrai.1
Parexemplel´enonce´:
Siuntriangleest´equilat´eralalorssestroisanglesontdesmesurese´gales.
estuneproposition.Elleseraaccept´eecommevraiesionpeutlaeremd´tron`aaildednu raisonnementlogiquequiconsistea`eraldeiu´drtpa`aonsilunccoese`htopyhledri. La
1oSvuneutenrpopositionimportaeetnpats´lepeeor´eme`ehtoiqnsoti´ddeiuesmm´euitiemendiattne,uoppr duneautreestappele´ecorollairerttaomsndae´nalsirediliatauxultase´remmoctresiuqontisiporoepunetnio d’une autre proposition est appel´lemme ee .
3
Les commentaires (1)
Écrire un nouveau message

17/1000 caractères maximum.

aladino

very interesting

mercredi 2 octobre 2013 - 00:05