Groupes et Actions de groupes

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l'agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ?), ou plus simplement G, est un ensemble muni d'une opéra- tion interne ? vérifiant les propriétés suivantes : G1 : L'opération est associative, ie (g1 ? g2) ? g3 = g1 ? (g2 ? g3) G2 : G possède un élément neutre e, ie e ? g = g ? e = g G3 : Tout élément g de G possède un symétrique g?, ie g? ? g = g ? g? = e. Dans ce cas, on sait montrer qu'un élément neutre est unique et que pour tout g de G, son symétrique est unique, il sera noté g?1. Remarquons en passant que (g?1)?1 = g et que (h ? g)?1 = g?1 ? h?1, on dit que l'inversion est un antiautomorphisme involutif. On a plus généralement que tout élément de G est régulier, ie pour tout g de G g ? a = g ? b implique que a = b. Si de plus ? est commutative, ie g1 ? g2 = g2 ? g1, alors on dit que G est abélien. Exemple fondamental. Si X est un ensemble, l'ensemble des bijections de X dans X muni de la composition des applications est un groupe, noté S(X).

  • g1 ?

  • groupe d'arrivée

  • g?x ?

  • noyau

  • ker?

  • bijection entre quotient

  • morphisme

  • groupe fini


Publié le : vendredi 8 juin 2012
Lecture(s) : 31
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 7
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Groupes et Actions de groupes
On prÉsente ici des notions de base de thÉorie des groupes pour l’agrÉgation interne.
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Groupes, morphismes et actions de groupes.
Un groupe(G,), ou plus simplementG, est un ensemble muni d’une opÉra-tion internevÉrifiant les propriÉtÉs suivantes : G1 : L’opÉration est associative, ie(g1g2)g3=g1(g2g3) G2 :GpossÈde un ÉlÉment neutree, ieeg=ge=g 0 0 0 G3 : Tout ÉlÉmentgdeGpossÈde un symÉtriqueg, iegg=gg=e.
Dans ce cas, on sait montrer qu’un ÉlÉment neutre est unique et que pour 1 toutgdeG, son symÉtrique est unique, il sera notÉg. Remarquons en passant 11111 que(g) =get que(hg) =gh, on dit que l’inversion est un antiautomorphisme involutif. On a plus gÉnÉralement que tout ÉlÉment deGest rÉgulier, ie pour toutgdeG ga=gbimplique quea=b. Si de plusest commutative, ieg1g2=g2g1, alors on dit queGest abÉlien. Exemple fondamental.SiXest un ensemble, l’ensemble des bijections deX dansXmuni de la composition des applications est un groupe, notÉS(X). De la mme maniÈre que l’individu n’est pas grand chose sans la sociÉtÉ, les groupes ne sont rien sans leurs morphismes :
DÉfinition 1Soient(G,)et(H, .)deux groupes etφune application deGdans H. On dit queφest un morphisme de groupes siφvÉrifie φ(g1g2) =φ(g1)(g2). Dans ce cas, on montre queφenvoie l’ÉlÉment neutre deGsur l’ÉlÉment neutre deHet le symÉtrique degsur le symÉtrique deφ(g). On dit queφest un isomorphisme s’il est de plus bijectif (dans ce cas son inverse est aussi un morphisme) et que c’est un automorphisme si de plusH=G. Un exemple cÉlÈbre et incontournable d’automorphisme est l’automorphisme in-1 tÉrieur que l’on peut construire pour toutgdeG. On poseφg(h) :=ghget on montre queφgest un automorphisme deGappelÉ automorphisme intÉrieur. Bien sÛr, siGest abÉlien, cet automorphisme n’est rien d’autre que l’automorphisme trivial : l’identitÉ. L’efficacitÉ et l’ubiquitÉ des groupes proviennent de leur action sur des ensembles :
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DÉfinition 2Soit(G,)un groupe etXun ensemble. On dit queGagit surX s’il existe une applicationϕ:G×XX,(g, x)7→g.xqui vÉrifie : A1 :e.x=x A2 :g1.(g2.x) = (g1g2).x.
Une faÇon Équivalente, plus abstraite, mais plus fÉconde, de dÉfinir une action du groupeGsur l’ensembleX, se fait par un morphismeφdeGversS(X). Effectivement, on construitφÀ partir deϕpar φ:G→ S(X),avecφ(g)(x) =ϕ(g, x).
Inversement, on construitϕÀ partir deφpar ϕ:G×XX,(g, x)7→φ(g)(x). Remarque.Notons que siGagit surX, alorsGagit sur l’ensemble des ap-1 plications deXdans un ensembleYparg.f=fφ(g), et il agit sur l’ensemble des application deYversXparg.f=φ(g)f. Une premiÈre propriÉtÉ importante d’une action de groupe est qu’elle partitionne l’ensembleX:
DÉfinition 3SoitGun groupe agissant sur un ensembleX. On appelle orbite pour l’action tout sous-ensemble deXde la formeOx:={g.x, gG}, oÙxest fixÉ dansX. On appelle en particulierOxl’orbite dex.
Proposition 1SiGest un groupe agissant surX, alors les orbites pour cette action forment une partition deX.
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Sous-groupes, tients.
classes
À
gauche,
groupes
quo-
Les sous-groupes et les classes qu’on peut leur associer jouent un rÔle impor-tant dans l’Étude des actions. De plus, lorsque le sous-groupe seradistinguÉ, on pourra dÉfinir une notion de groupe quotient. Les notions de sous-groupes et de groupes quotient permettent souvent de diviser en deux la complexitÉ liÉe À un groupe. Soit(G,)un groupe etHun sous-ensemble deG,Hest appelÉ naturellement sous-groupe deGsiHmuni de l’opÉrationest aussi un groupe. On prÉfÈre l’axiomatisation plus simple suivante :
DÉfinition 4Soit(G,)un groupe etHun sous-ensemble deG, alorsHest appelÉ sous-groupe deGs’il vÉrifie SG1 :Hest non vide 1 SG2 : Sih,hest aussi dansH. 1 2sont dansH, alorsh1h2
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ExempleUn exemple classique de sous-groupe est l’image Im(φ)d’un morphisme φ. Le sous-groupeHagit alors surGparH×GG,(h, g)7→hget les orbites pour cette action sont appelÉes classes À droite deG. Les orbites sont de la forme Hg={hg, hH}qui sera souvent notÉe[g]dans le contexte. Les classes À droite forment donc une partition deGet on poseH\G={[g], gG}. De mme, on dÉfinit les classes À gauche :Hg={hg, hH}et l’ensemble des classes forment aussi une partition (mme siG×HG,(g, h)7→ghne dÉfinit pas une action car A2 n’est pas vÉrifiÉe). On noteraG/Hl’ensemble des classes À gauche. Les classes À gauche ont un lien important avec les orbites :
Proposition 2SoitGun groupe agissant sur un ensembleXet soitxdansX. Alors, (i) Le stabilisateurGx:={gG, g.x=x}dexest un sous-groupe deG (ii) L’applicationG/Gx→ Ox,[g]7→gxest bien dÉfinie et Établit une bijection (ensembliste) 1 (iii) Siy=gxest dans l’orbite dexalorsgGyg=Gx, et donc les sous-groupesGyetGxsont isomorphes via un automorphisme intÉrieur deG.
Preuve : Seul (ii) demande une preuve. Le reste est laissÉ À titre d’exercice. Soitg1pris quelconque dans la classe deg, alors on peut ecrireg1=gh, avec hGx. Il vient queg1.x= (gh).x=g.(hx) =g.x. Ce qui prouve que l’application est bien dÉfinie. La surjectivitÉ est claire par dÉfinition d’une orbite. Montrons l’injectivitÉ. Supposons pour cela queg1etg2vÉrifientg1x=g2x. 1111 Alors, on a(gg).x=g .(g .x 2 1 2 1) =g2.(g2.x) = (gg2).x=e.x=x. 2 1 Conclusion,g2g1Gx, doncg1g2Gxet on a bien[g1] = [g2].En particulier, si l’action est transitive, ie s’il n’y a qu’une seule orbite, alors Xest en bijection avec un quotient deG. C’est lÀ une des clefs de l’importance des groupes en mathÉmatiques.
Le problÈme est maintenant de savoir siG/Hest muni d’une structure na-turelle de groupe, c’est À dire si l’on peut dÉfinir une opÉration (encore notÉe *) telle que [g1g2] = [g1][g2]. La proposition suivante donne des conditions nÉcessaires et suffisantes pour que cette loi soit cohÉrente, c’est À dire ne dÉpende pas du choix deg1et deg2dans leur classe (on multiplie en fait deux ensembles !).
Proposition 3SoitGun groupe etHun sous-groupe. Les conditions suivantes sont Équivalentes :
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(i)G/Hest muni d’une structure naturelle de groupe (i’)H\Gest muni d’une structure naturelle de groupe (ii) Toute classe À droite est aussi une classe À gauche, iegH=Hgpour toutg 1 (iii)Hest stable par tout automorphisme intÉrieur deG, iegHgHpour toutg.
111 Preuve : (i)(iii). (i) implique en particulier que[e][g] = [eg] = [g] 11 et donc queH(gH) =gH, en particulier commeeest dansH, 1111 Hg=HgegH. Il vient quegHgH, d’oÙ la stabilitÉ. 111 (iii)(ii). On a doncgHgH, mais aussi en changeantgeng,g11 HgH, c’est À direHgHg. D’oÙ l’ÉgalitÉgHg=Het donc gH=Hg. (ii)(i). Comme (ii) est vrai, on a
[g1][g2] = (g1H)(g2H) =g1(Hg2)H=g1(g2H)H
= (g1g2)(HH) = (g1g2)H= [g1g2]. Comme (i) et (i’) jouent des rÔles similaires, on a bouclÉ la proposition.
DÉfinition 5Un sous-groupeHvÉrifiant une de ces conditions est appelÉ sous-groupe distinguÉ deG. Remarques.SiGest abÉlien alors tout sous-groupe deGest distinguÉ. Si#G/H= 2alorsHest distinguÉ. (TD).
Un stabilisateur n’est en gÉnÉral pas distinguÉ et il ne faut donc pas s’attendre À une structure de groupe sur G/Gx, la bijection entre quotient et orbite reste une bijection et il ne sera encore moins question d’isomor-phisme.
Un exemple trivial de sous-groupe distinguÉ est justement le sous-groupe tri-vial{e}. Un exemple important de sous-groupe distinguÉ est le centre d’un groupe : on appelle centre du groupeGet on noteraZ(G)l’ensemble des ÉlÉments qui com-mutent avec tous les autres ÉlÉments.
Z(G) :={zG, gz=zg,gG}.
On voit facilement queZ(G)est un sous-groupe et commezGest Équivalent 1 Àgzg=z, on a en particulier queZ(G)est stable par tout automorphisme intÉrieur et il est donc distinguÉ.
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On montre facilement que la prÉimage d’un sous-groupe distinguÉ par un mor-phisme est encore un sous-groupe distinguÉ (ce n’est d’ailleurs pas vrai pour l’image). En particulier le noyau d’un morphisme est un sous-groupe distinguÉ du groupe de dÉpart. Rappelons qu’on appelle noyau du morphismeφ:GH 1 l’ensemblekerφ=φ{eH}. Son importance rÉside dans le fait qu’il mesure l’in-jectivitÉ d’un morphisme : un morphisme est injectif ssi son noyau est trivial. D’ailleurs on retrouve ainsi que le centre est un sous-groupe distinguÉ puisque le centre n’est rien autre que le noyau du morphisme pour l’action de conjugaison. Il vient donc queG/kerφa une structure de groupe et on a le thÉorÈme fonda-mental suivant dit d’isomorphisme canonique :
Proposition 4Soitφun morphisme d’un groupeGvers un groupeH, alors l’ap-¯ plication[g]7→φ(g)dÉfinit bien un isomorphisme canoniqueφentre les groupes G/kerφet Imφ.
Remarque.Cela signifie qu’un morphisme est de faÇon purement probabiliste une chose rare chez les groupes. Effectivement, si chez les espaces vectoriels de dimension finie, deux espaces son isomorphes si et seulement si ils ont mme dimension, la classification des groupes À isomorphisme prÈs est beaucoup plus complexe et beaucoup plus variÉe. Il existe par exemple 6 groupes d’ordre 8 deux À deux non isomorphes. Cette proposition est importante dans le sens qu’elle rÉduit un morphismeφÀ l’essentiel : dans le groupe de dÉpart, elle tue le noyau, dans le groupe d’arrivÉe, elle ne garde que l’image. Mais aussi importante qu’elle soit, elle n’est qu’un cas particulier du “passage au quotient” :
Proposition 5Soitφun morphisme d’un un sous-groupe dekerφ, alors l’application ¯ φentre les groupesG/KetH. Le noyau image est Imφ.
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Groupes finis.
groupeGvers un groupeH, et soitK [g]7→φ(g)dÉfinit bien un morphisme ¯ deφest le quotientkerφ/Kest son
L’Étude des groupes finis reprend les rÉsultats prÉcÉdents mais utilise aussi l’arithmÉtique, c’est À dire ici, la relation “divise”. L’ordre d’un groupe est par dÉfinition son cardinal. Dans les groupes finis, les bijections obtenues precedemment donnent des ÉgalitÉs de cardinaux. Par exemple le thÉorÈme de Lagrange peut s’obtenir en faisant agir un sous-groupeHpar multiplication À gauche sur le groupeG, le stabilisateur d’un ÉlÉment Étant trivial par la propriÉtÉ de rÉgularitÉ, toutes les orbites on#HÉlÉments. Et donc :
ThÉorÈme 1L’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe.
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On appelle ordre d’un ÉlÉmentgdeGle plus petit entierm,m >0tel que m g=e. L’ordre d’un ÉlÉmentgn’est rien autre que l’ordre du sous-groupe qu’il engendre, c’est À dire le plus petit sous-groupe deGqui contientg, ou si on k prÉfÈre{g , kZ}. A l’aide d’une division euclidienne, on voit que la minimalitÉ demdonne que n g=emdivisen.
Corollaire 1SiGest un groupe fini, l’ordre d’un ÉlÉment divise l’ordre deG. SiGest un groupe fini agissant sur un ensemble finiX, on sait queXest partitionnÉ en orbites, ce qui donne, via la bijection quotient/orbite la fameuse Équation des classes : X #X= #G/#Gx, xX/G X/GdÉsigne l’ensemble des orbites de l’action. On note en passant que si le sous-groupeGxdÉpend du choix dexdans son orbite, son ordre, lui, n’en dÉpend pas. On sait aussi dans ce cas calculer le nombre d’orbites, par une formule trÈs pratique, un peu plus dÉlicate À dÉmontrer, la formule de Burnside : X 1 #X/G= #Xg, #G gG
Xg={xX, g.x=x}. Preuve : L’idÉe est de calculer de deux faÇons diffÉrentes le cardinal de l’ensemble R:={(x, g), g.x=x}. Si on fixexon a#GxpossibilitÉs pourget on peut regrouper tous lesxd’une mme orbite puisque leurs stabilisateurs, Étant isomorphes, ont me mme ordre. Cela donne : X X X #R= #Gx= #Gx/#Ox= #Gx(#G/#Gx) = xXOxX/GOxX/G X #G= (#X/G)(#G). OxX/G Si maintenant on fixeg, alors on a#XgpossibilitÉs pourx: X #R= #Xg. gG
D’oÙ l’ÉgalitÉ par comparaison des deux formules obtenues.Les exemples d’applications de cette formules sont nombreux, en particulier en dÉnombrement, par exemple dans les problÈmes de coloriage ou de colliers de perles.
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Une application incontournable de l’Équation aux classes est dans son application À l’Étude desp-groupes. Unp-groupe est un groupe dont l’ordre est une puissance dep.
Proposition 6Le centre d’unp-groupe est non trivial.
Preuve : SoitGunp-groupe. faisons agirGsur mui-mme par conjugaison, ie 1 g.h=ghg. L’Équation aux classes donne alors : P #G= #O, oÙ#Oest un quotient de#G, donc une puissance dep. O Or,zZ(G)ssig.z=zpour toutg, c’est À dire ssi l’orbiteOzest rÉduite À un point, le pointz. On peut donc regrouper l’ÉgalitÉ prÉcÉdente en#G= P #Z(G#) + O, avec cette fois-ci les#Ode la somme sont des puissances de O pdivisibles parp. Conclusion,pdivise#Z(G)et ainsi,Z(G)ne peut pas tre rÉduit À l’identitÉ.On pourrait dire que finalement, on ne sait pas grand chose sur lep-groupe Gpuisqu’en somme, on a juste un maigre renseignement sur son centre. Mais, en regardant de plus prÈs, la donnÉe conjointe du sous-groupeZ(G)et du groupe quotientG/Z(G)donne des renseignements prÉcieux surG. De plus,Z(G)est un groupe abÉlien fini etG/Z(G)est encore unp-groupe plus “petit” queG. En fait, on se rend compte que la classification des groupes d’ordre fininÀ isomorphisme prÈs dÉpend de la complexitÉ arithmÉtique den, c’est À dire de la complexitÉ de sa dÉcomposition en nombres premiers. Par exemple, il n’y a qu’un seul groupe d’ordreppremier À isomorphisme prÈs. Effectivement, le thÉorÈme de Lagrange montre facilement qu’un tel sous-groupe est isomorphe ÀZ/pZ. La proposition prÉcÉdente est donc un premier pas dans cette classification.
Conseil: Il faut Évidemment bien connaïtre les thÉorÈmes sur les groupes et leurs actions, mais la thÉorie des groupes se fait aussi de faÇon botanique. Il est bon de se familiariser (sans tomber tomber non plus dans l’amour platonique) avec certaines classes de groupes, et certains types d’actions naturelles associÉes. parce que finalement, on rencontre souvent les mme en pratique. Citons en quelques uns. Groupes : Groupes finis abÉliens, groupes symÉtriques, groupes alternÉs, groupes (spÉcial)linÉaires (sur n’importe quel corps, y compris les corps finis), groupes (spÉcial)orthogonaux. n Actions : Action naturelle (S(X)surX, GLn(k)surk, On(R)sur la(n1)-sphÈre). Action par multiplication À gauche (d’un groupe sur lui-mme), action par conjugaison.
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