Habilitation a diriger des recherches presentee devant

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Habilitation a diriger des recherches presentee devant L'UNIVERSITE MONTPELLIER II Ecole Doctorale I2S M. Stephane BESSY TITLE:- Some problems in graph theory and graphs algorithmic theory -

  • definitions given below

  • basic definitions

  • counting edge-colorings

  • leaf power graph

  • graph theory


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY
MEMOIRE
 Présenté pour obtenir  LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI
Spécialité : Mathématiques
par
Laurent Fargues
Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques
 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :
M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)
´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLO
GIE DE CERTAINS p-ADIQUES
LAURENT FARGUES
` Table des matieres
ESPACES
DE
MODULES
1.Espacesdemoduleslocaux:ge´ne´ralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualit´edelacohomologiedelatourdeDrinfeldsouslinvolutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelaltrationdemonodromiesurlescycles ´evanescents22 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessch´emasengroupesnisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlesp´ente´s31 res R´ef´erences31
´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupespseinlbis´dse-ivid parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´o´etriquedecorrespondancesde m Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´nitions et notations concernant ces espaces.
1.1.tin.noie´DSoitpnousenlcimreF.xiombrepreunnelaerutoˆuqirbe´gQpdeQp. On suppose donn´euntriplet(G, b, )o`u: Gurfsestrgnuepuode´ritcuQp – siL=WFp)[p] etσAut(LesignesonFrobenius,)´dbest une classe deσ-conjugaison dans G(L) :Gmtseocnuarace`tc Qpanuscremiris`ulepGQp)c-agsinoujs.`epron NotonsEndenjugaisosaesedocnoedallcedsproceitine´dl,uneniededn´rgeetxeoisn ˘ deQpdansQp. On noteEsionxtenelet´edlpe´cemoleed´eimarnonelamixamEdansQp. On noteJbleσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQpri´enteiundreeup-iotndsuenofmr sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequaside´ploye´edeGodaLe´nn.egd´emalomecenprneutn mod`l entierGdeG. SoitG(Zp) le sous-groupe compact ouvert deG(Qpsruq.eoLco´ia)sseGest e e nonrami´eGefdtcuitnocsuppserar´edos´eG(Zpsoppusencrofsapep´rspehyOnl.iaec)´ementG nonramie´andinclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld.
Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulesp´ilntr´spisecseuqulP.ida-nscontsot:uitr eme
Date: 4 mars 2009.
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2G´eome´trieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c Unsch´emaformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(OE˘) muni d’une action continue deJbeded´needenodnuetteenscMcMc(σ)d ˘ eEa`E. ˘ ˘ – Une tourJb×G(Qpedscdeteenn´ondeeeeidnudeaitnmenu´equivar)-Ea`EdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (MK)K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Zp) et telle que c Man=MG(Zp) c c o`uManaelegbrn´´eiqere´dngisdeueMau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´enitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux nombres entiers tels quen1 et 0dn. SoientG= GLnQp,G= GLnZp, (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } dfois etbGLn(L) tel que l’isocristal (Ln, bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurFp. SoitHun groupep-divisible surFpmuni d’un isomorphisme (D(H)[p], ϕ)(Ln, bσ) qui induit une identification Jb= End(H)×Qc On aE=QprmelmafoseL.e´hcMest alors tel que siSest unWFpurasemh´sc)-leuqelpest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H×SpecFp)S−→H×SS estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,S´esiddomnoludu´eioctangnartlpdeS. L’action de c c JbsurMse fait viaρet l’action deJbrusseine´goisi-asquarpH. SurManaclemolst`eunsyilya e´talep-adique de rangnodnnrlem´epaedeToduldaledetatamrofe´veninuio.Lleelrsseerˆvtemenest c (MK)KGLn(Zp)deManreprdelallesrtieedomoisntntae´es-nonostbotsunetrapviriisalioatpans ee ( ¸ a vivre dans le sous-groupeKt,ensici´eems´.)lPsurpKGLn(Zp) dromie associ´ en la forcant ` c est un sous-groupe ouvert alorsMKprreelntse´eurcsaefeialase´uteMan (pkZZ)n, Huniv[pk]anK o`uk0 est tel que Id +pkMn(Zp)KetHunivd´esignelepeougrpala`e´icossaeblsividi-c d´formation universelle surM. e
1.2.Cohomologie.Soitimeridremonnperbue´erentdp. On noteWEle groupe de Weil deE. Lobjetprincipalauqueljemesuisinte´resse´estlesuivant.PourKlecaagdrnoerxe´ieologohom ´etaleroppusaeuqida-ueeqlltectpaomtcd´enieparVladimrieBkrvocih ` Hc(MKˆCp,Q)Celle-ci est une munie d’une action deJb×WEocaitu`lnoedJbdeseistli(npetyiovnereja`ese math`ese[F2]pourlespropri´ete´sdebasedecesrepr´esentationsquisontd´eduitesdediversre´sultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlath´eoriedesrepre´sentations). Bienquelarepre´sentationdeJbrpenedc´´e,teHc(MKˆCp,Q), soit de type fini elle n’est pas engen´eraldelongueurniei.e.nestpasadmissible. ´
AndeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsjairegard´elaconstructionsuivante.Soit π aune repre ´senttionlisseirr´eductibledeJbiecoeacsansdnt`QdisnoC.snore´ lim ExtJbHc(MKˆCp,Q), π−→ K
Laurent Fargues
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Cestunerepr´esentationdeG(Qp)×WEmeomecblsiisdmeassiltseiuqedrepr´esentationsG(Qp) etve´rieuneproprie´t´edecontinuite´commerepr´esentationdeWE(cf. [F2]). On peut alors re-garderlasommealterne´edetellesrepre´sentationsdansungroupedeGrothendieckconvenablede repre´sentationsdeG(Qp)×Jbseopocrruteneincendand´laCe. Irr(Jb)−→Groth(G(Qp)×WE) π7X(1)i+jhlim ExtiJbHcj(MKˆCp,Q), πi−→ ijK Onveutreliercettecorrespondancesa`descorrespondancesdeLanglandslocalesdutypeJacquet-Langlandspourlacorrespondanceentrerepr´esentationsdeJbet deG(Qp) (rappelons queJb est le groupe desQpneurmfooi-psdntg-orossuLevepude´erieintduneureeidG) et correspon-dancedeLanglandslocale([16],[17])pourlacorrespondanceentrerepre´sentationsdeJbet deWE. Pour Λ∈ {ZℓkZ,Q,Q}essiuqe´olomleigarivntiat´eunponridte´menegelacohoxedempleunco RΓc(M⊗ˆCp,Λ)DbΛ[G(Qp)×Jb×WEdisc]lacate´goriede´riv´eedescomplexesdeΛ-modulesmunisduneactiondeG(Qp)×Jb×WEqui est lisseentantquerepre´sentationdeG(Qp)×Jbcedempcoxeletlesperase´ratnenoitL.cahomologoei limHc(MKˆCp,Λ)−→ K Laconstruction,asseztechnique,estexplique´edanslechapitreIVde[F4]oubiendans[10]. ´ 2.Resultats sur la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink obtenus par des ´ methodes globales
Dansmath`ese([F2])jaide´montr´elethe´or`emesuivantparcomparaisondelacohomologie desespacesdeRapoport-Zinkaveclacohomologiedecertainesvari´ete´sdeShimuradetypePEL unitaires.
The´ore`me1([F2]).Supposons queG= ResF QpGLnavecF|Qpiamee´enrnotbsoit une classe deσonbagaisonju-csslataiscrsoiedrida`tsec,euqissoeii´ocSue.incldsnosoppeuqsulpe soitJb=D×avecDnsiourune`rbaeglvisi`edaF, soitJb=G(Qp). Notons JL : Irr(Jb)−→Irr(G(Qp)) la correspondance de Jacquet-Langlands. SoitLGle L-groupe surQdeG. Notons σ: Cusp(G(Qp)){L-homomorphismes :WQp−→LG}la correspondance de Langlands locale ([16],[17]seladips.ontitaencuerupssetuaerni´rserxperest) Soitredlarepr´esentationLGE`caeoceitnansdsQ`tioSaocsseei´πenurperointntae´es a. irre´ductibledeJbtelle queJL(π)roupedeedanslege´agil´tlarousenyaIle.alidspcuerpustios GrothendieckGroth(G(Qp)×WE) X(1)i+dimMhlim HomJbHci(MKˆCp,Q), π= [JL(π) iKicusp][rσ(π)|WE(]2mdiM)Dansleth´eore`mepre´ce´dent,larestrictionconcernantlaformeinte´rieuredeGescadt`eir,Jb estsoitcompactmodulolecentresoit´egalea`G(Qparved,)teinmaituvpontnateerioˆreeadel´vnsle th´eor`emepr´ec´edent.Eneet,lesseulesraisonsdˆetredecettehypothe`seproviennentdelutilisa-tion de formules des traces en analyse harmonique et de l’utilisation de l’existence de type au sens deBushnellKutzkopourlesrepr´esentationspr´ec´edentes,lapartiege´ome´triqueneposantaucun probl`emelorsquonsupposequelaformeint´erieuredeGestqonbm.eeDnouqeuclesr`uxreogpr on´ete´faitdepuisconcernantlacorrespondancedeJacquet-Langlands,laformuledestraceset lexistencedetypepourlesrepre´sentationsdesgroupesclassiques(cf.[3]parexemple).
Dans[F2]jai´egalementd´emontr´elethe´ore`mesuivant.
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