Interaction des tourbillons dans les ecoulements plans faiblement visqueux

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Interaction des tourbillons dans les ecoulements plans faiblement visqueux Thierry Gallay Universite de Grenoble I Institut Fourier, UMR CNRS 5582 BP 74 F-38402 Saint-Martin-d'Heres 1 Introduction On sait que l'equation de Navier-Stokes incompressible dans le plan R2 possede une so- lution globale unique pour toute donnee initiale dont le tourbillon est une mesure finie, quelle que soit la valeur du parametre de viscosite [14]. On peut donc etre tente d'etudier le comportement de cette solution dans la limite non visqueuse, au moins sur des exemples representatifs. Dans cet expose, on considere le cas tres particulier, mais aussi tres sin- gulier, ou le tourbillon initial est une combinaison lineaire finie de masses de Dirac. On montre alors que la solution faiblement visqueuse se comporte comme une superposition de tourbillons d'Oseen legerement deformes, dont les centres suivent la dynamique des tourbillons ponctuels de l'equation d'Euler. L'equation de Navier-Stokes dans le plan R2 s'ecrit ∂u ∂t + (u · ?)u = ?∆u??p , div u = 0 , (1) ou u(x,t) ? R2 designe le champ de vitesse du fluide, suppose homogene et incompressible, et p(x,t) ? R son champ de pression. L'unique parametre est la viscosite cinematique ? > 0, que l'on peut eliminer par changement d'echelle mais que l'on conservera ici car on s'interesse justement a la limite non visqueuse des solutions de (1), les donnees initiales etant fixees.

  • ?i

  • plan r2

  • visqueuse presente pour les nappes de tourbillons des difficultes comparables

  • equation

  • tourbillon

  • estimation precise de la regularite du bord


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Interactiondestourbillonsdanslesecoulementsplans faiblement visqueux
Thierry Gallay UniversitedeGrenobleI Institut Fourier, UMR CNRS 5582 BP 74 F-38402Saint-Martin-dHeres
1 Introduction OnsaitquelequationdeNavier-Stokesincompressibledansleplan R 2 possede une so-lution globale unique pour toute donnee initiale dont le tourbillon est une mesure nie, quellequesoitlavaleurduparametredeviscosite[14].Onpeutdonceˆtretentedetudier le comportement de cette solution dans la limite non visqueuse, au moins sur des exemples representatifs. Dans cet expose, on considere le cas tres particulier, mais aussi tres sin-gulier,ouletourbilloninitialestunecombinaisonlineaire niedemassesdeDirac.On montre alors que la solution faiblement visqueuse se comporte comme une superposition detourbillonsdOseenlegerementdeformes,dontlescentressuiventladynamiquedes tourbillons ponctuels de l’equation d’Euler. LequationdeNavier-Stokesdansleplan R 2 secrit ∂u (  r ) u =   u  r p  div u = 0 (1) ∂t + u ou u ( xt ) R 2 designelechampdevitessedu uide,supposehomogeneetincompressible, et p ( xt ) R sonchampdepression.Luniqueparametreestlaviscositecinematique  > 0,quelonpeuteliminerparchangementdechellemaisquelonconserveraicicaron sinteressejustementalalimitenonvisqueusedessolutionsde(1),lesdonneesinitiales etant xees.Parcommodite,ontravailleraenfaitsurlequationveri eeparletourbillon ω = 1 u 2  2 u 1 ,quiauneformeparticulierementsimple: tω + ( u  r ) ω =   ω . (2) On supposera toujours que le tourbillon ω ( xt ) R decroˆtsusammentvitelorsque | x | → ∞ pour que le champ de vitesse u ( xt ) R 2 puisseeˆtrereconstruitparlaloide Biot-Savart u ( xt ) = 2  1 Z R 2 ( | xx   yy ) | 2 ω ( yt ) d y  x R 2 (3) ou l’on a note x = (  x 2 x 1 ) si x = ( x 1 x 2 ) R 2 . 1
Dans la suite, on note M ( R 2 )lespacedesmesures(deRadon)reelles niessur R 2 , munidelanormedelavariationtotalequelondesignepar k  k vt . Si {  n } est une suite dans M ( R 2 ), on dit que  n converge faiblement vers  ∈ M ( R 2 ) si h  n  i → h  i lorsque n → ∞ pour tout  C 0 ( R 2 ). On note alors  n *  . Notre point de depart est le resultat suivant,quiarmequeleproblemedeCauchypourlequation(2)estglobalementbien pose dans l’espace M ( R 2 ). Theoreme 1 [14] Pour toute donnee initiale  ∈ M ( R 2 ) ,lequation(2)possedeune solution globale unique ω C 0 (]0 [ L 1 ( R 2 ) L ( R 2 )) (4) telle que k ω (  t ) k L 1  k  k vt pour tout t > 0 , et ω (  t ) *  lorsque t 0+ . Danscetenonce,onentendparsolutionde(2)unesolutiondelequationintegrale associee ω ( t ) = e  t    Z 0 t div e  ( t  s ) u ( s ) ω ( s ) d s  t > 0 (5) ou e t  designelesemi-groupedelachaleur.Ilestfaciledemontrerque,si  ∈ M ( R 2 ) et si ω veri e(4),alorslesdeuxmembresde(5)sontbiende nisetcontinusentempsa valeurs dans L 1 ( R 2 ). On peut toutefois se demander si l’unicite reste vraie si l’on suppose seulement que ω C 0 (]0 [ L 1 ( R 2 )), au lieu de (4). Dans ce cas, on ne peut plus se baser surlequationintegrale(5),maisonaencorelapossibilitedutiliserlaformulationfaible delequation(2).Luniciterestetoutefoisunequestionouverteaceniveaudegeneralite. L’ existence d’une solution globale de l’equation (2) pour toute donnee initiale dans M ( R 2 ) a ete etablie il y a plus de vingt ans par G.-H. Cottet [9], et independamment par Y.Giga,T.MiyakawaetH.Osada[20].Onpeutaussimentionnerletravailposterieur deT.Kato[25].Outrelexistence,cesauteursontmontrequelasolutionestuniquesi lapartieatomiquedelamesureinitialeestsusammentpetitedevantlaviscosite.Le casdunemassedeDiracdetaillequelconqueaetetraiteplusrecemment[18,15],dans le cadre d’une etude du comportement asymptotique en temps des solutions regulieres de(2).En n,lunicite dans le cas general a ete etablie en isolant les grandes masses de Diracdeladonneeinitialeetcombinantlesapprochesprecedentes[16,14].Mentionnons aupassagequelasolutionde(2)dependcontinˆumentdelamesureinitiale  dans la topologie forte de M ( R 2 ),uniformementsurtoutintervalledetemps[0 T ]. En outre, si {  n } estunesuitededonneesinitialesconvergeantfaiblementvers  etuniformement localiseedanslesenssuivant: lim s n u p N |  n | { x R 2 | | x | > R } = 0 R →∞ alors la solution ω n ( t ) issue de  n converge fortement vers ω ( t ) dans L 1 ( R 2 ) lorsque n → ∞ ,uniformementsurtoutintervalledetemps[ T 1 T 2 ]  ]0 [. Lorsque la donnee initiale  =  0 estunesimplemassedeDirac,placeeicialorigine des coordonnees, l’equation (2) developpe une solution autosimilaire appelee tourbillon d’Oseen etdonneeparlesformulesexplicites: ω ( xt ) =  tG xt  u ( xt ) = tv G xt (6) 2
ou | 2 / 4 G (  )=41 e |  | 2 / 4  v G (  ) = 2  1 |  | 2 1  e |    R 2 . (7)  Le parametre R 2 est appele le nombre de Reynolds de circulation . Les expressions (6), (7) montrent que estegalalintegraledutourbillon ω ( xt ) sur tout le plan R 2 , quantitequelonsaitconserveeaucoursdelevolution.LestourbillonsdOseensontles seulessolutionsautosimilairesdelequationdeNavier-Stokesdans R 2 dont le tourbillon soitintegrable[18].Ellesjouentunrˆoleprivilegiedansladynamiquedelequation(2), aussibienpourlestempscourts(lorsqueladonneeinitialecontientdesmassesdeDirac) que dans la limite des grands temps. On sait en particulier [18] que toute solution ω ( xt ) de(2)donneeparletheoreme1veri e t li + m ω (  t )   tG   t L 1 = 0 ou =  ( R 2 ) . Le theoreme 1 etablit l’existence d’une solution globale unique de l’equation (2) pour toutemesureinitialeettoutevaleurduparametredeviscosite.Ilesttresnatureldese demander ce que deviennent ces solutions dans la limite non visqueuse, car c’est dans ce regime que les structures presentes dans les donnees initiales (tourbillons ponctuels, nappesoupochesdetourbillon)subsistentsusammentlongtempspourˆetreobservees et pour in uencer la dynamique du systeme. Dans toute sa generalite, cette question estcertainementfortdelicate,carlalimiteformelledusysteme(2)lorsque  0 est lequationdEuler ωt + ( u  r ) ω = 0 (8) quelonnesaitpasresoudreacejourdansunespaceaussigrandque M ( R 2 ). On sait “seulement” que l’equation (8) possede une solution faible globale pour des donnees initiales  ∈ M ( R 2 ) H  1 ( R 2 )dontlapartiesinguliereestunemesuredesignebien de ni[12,28].Notonsquelhypothese  H  1 ( R 2 ) exclut en particulier toute masse de Dirac.Silonsouhaiteenoutregarantirlunicitedelasolution,commedansletheoreme1, on doit supposer que la donnee initiale est une fonction bornee [44] ou presque bornee [45, 43]. Dunpointdevueplusgeneral,laconvergencedessolutionsdelequationdeNavier-StokesverscellesdelequationdEulerlorsquelaviscositetendverszeroestrelativement facile a etablir si l’on se restreint aux solutions regulieres et si l’on travaille dans un domaine sans bord [13, 40, 24, 2]. En revanche, dans le cas d’un domaine a bord, si lonimposeauxsolutionsdelequationdeNavier-Stokeslaconditionclassiquedenon-glissement, l’apparition de couches limites dePrandtldansunvoisinagedelafrontiere constitue un obstacle redoutable, que l’on ne sait eviter qu’en se restreignant a des donnees analytiquesetbienpreparees[38,21].Meˆmeenlabsencedebords,lalimitenonvisqueuse peut presenter des dicult es considerables si l’on s’interesse a des solutions peu regulieres. On peut citer, dans un ordre decroissant de regularite : 1. Les poches de tourbillon , dont l’exemple le plus simple en dimension deux est celui ou le tourbillonestunmultipledelafonctionindicatricedundomaineborneregulier.Lechamp devitesseestalorslipschitzien,oupresquelipschitziensileborddelapochepresente
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