INTRODUCTION AUX PROCESSUS ET AU CALCUL STOCHASTIQUE

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
INTRODUCTION AUX PROCESSUS ET AU CALCUL STOCHASTIQUE 1. Notions de probabilites Exercice 1 Soit (Xn, n ≥ 0) une suite de variables aleatoires independantes centrees, de meme loi, avec E|X0| < +∞. On pose pour a > 0, Sn = X0 + aX1 + . . .+ anXn. (1) On suppose que 0 < a < 1. (a) Montrer que P(|Sn ? Sn?1| > an/2) ≤ an/2E|X0|. (b) En deduire que Sn converge presque surement vers une v.a.r. S. (c) On suppose que X0 suit la loi N1(0, ?2). Quelle est la loi de S ? (2) On suppose que a > 1. Montrer que Snan converge en loi. Quelle est la loi limite si X0 suit la loi N1(0, ?2) ? (3) On suppose que a = 1, X0 ? L2 et X0 6= 0. (a) Montrer que pour tout p ? N, lim Sn√n est ?(Xk, k > p)?mesurable. Que peut- on dire de P ( lim Sn√n < ? ) ? (b) Quelle est la limite (n ? +∞) de P ( Sn√ n > ? ) ? En deduire que pour tout ? ? R, on a P ( lim Sn√n < ? ) = 0, puis que lim Sn√n =

  • tbt ? ∫

  • st ≥

  • snn ?

  • meme loi

  • snn ?

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  • b? ?

  • processus reel

  • convergence en loi de xn?an


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 14
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INTRODUCTION AUX PROCESSUS ET AU CALCUL STOCHASTIQUE
1. Notionsdeprobabilit´es Exercice 1 Soit ( X n , n 0)unesuitedevariablesale´atoiresinde´pendantescentr´ees,demˆemeloi, avec E | X 0 | < + . On pose pour a > 0, S n = X 0 + aX 1 + . . . + a n X n . (1) On suppose que 0 < a < 1. (a) Montrer que P ( | S n S n 1 | > a n/ 2 ) a n/ 2 E | X 0 | . (b)Ende´duireque S n convergepresquesˆurementversunev.a.r. S . (c) On suppose que X 0 suit la loi N 1 (0 , σ 2 ). Quelle est la loi de S ? (2) On suppose que a > 1. Montrer que aS nn converge en loi. Quelle est la loi limite si X 0 suit la loi N 1 (0 , σ 2 ) ? (3) On suppose que a = 1, X 0 L 2 et X 0 6 = 0. (a) Montrer que pour tout p N , lim S n n est σ ( X k , k > p ) mesurable. Que peut-lim n < α ? on dire de P S n (b) Quelle est la limite ( n + ) de P S n n > β ?Ende´duirequepourtout α R , on a P lim S n n < α = 0, puis que lim S n n = + p.s. Exercice 2 Soit ( X n , n 0)unesuitedevariablesal´eatoiresdecarr´einte´grable,desp´erance m et telles que n 1 , p 1 , Var( X n + . . . + X n + p 1 ) Kp γ , n ou` K > 0 et 0 < γ < 1. On veut prouver que Sn n = 1 n P X p m p.s. et dans L 2 . p =1 (1) Montrer que l’on peut supposer m = 0. ´t S n 0 dan (2) On suppose maintenant que m = 0. Etablir directemen que n s L 2 . (3) Soit k N tel que k > 2 1 γ . Montrer que ε > 0 , p X 1 P Sp pk k ε < + . Ende´duireque Sp pkk 0 p.s. (lorsque p + ). (4) Posons pour p 1, Y p = p k <n m ( a p x +1) k Sn n Sn pk 2 . (a) Montrer que E Y p p 2 K k ( p + 1) k p k 2 . (b)Ende´duireque Y p 0 p.s. (lorsque p + ). (c) Soit p ( n ) l’entier tel que p ( n ) k < n ( p ( n ) +1) k . Montrer que Sn n S p ( n n ) k 0 p.s. (lorsque n + ). Conclure. 1
Exercice 3 Soit ( X n , n 0)unesuitedevariablesal´eatoiresgaussiennes,demoyennes a n et de variances σ 2 n . On suppose que la suite ( X n )convergeenprobabilite´versunevariable X . (1) Montrer que σ 2 n σ > 0 (lorsque n + ). (2) Que peut-on dire de la convergence en loi de X n a n ?Ende´duireque a n a R et que X estunevariablegaussienne(e´ventuellementd´ge´n´ere´e). e (3) Exprimer E e X n et E e X n a`laidede a n et σ 2 n .Ende´duirequesup E e | X n | < + , n puis que, pour tout q 1, sup E ( | X n | q ) < + . n (4) Montrer que, pour tout q 1, E ( | X | q ) < + .Ende´duirequesup E ( | X n n X | q ) < + . (5)End´eduireque X n converge vers X dans L p pour tout p 1. Exercice 4 Soit ( X n , n 0)unesuitedevariablesal´eatoirescentre´es,tellesquesup E ( X n 2 ) = M < n + et pour tout i 6 = j , E ( X i X j ) = 0. On pose S n = X 1 + . . . + X n . (1) Montrer que S n 0 dans L 2 . n (2) Montrer que si ( U n , n 1) est une suite de variables telles que, pour tout ε > 0, on a P P ( | U n | > ε ) < + , alors U n 0 p.s. n 1 (3) On pose V n = Sn n 22 .Montrer,enutilisantlaquestionpr´ece´dente,que V n 0 p.s. (4) On pose W n = sup {| S k S n 2 | : n 2 + 1 k ( n + 1) 2 } . Montrer, en utilisant la question 2, que W n 0 p.s. (5) Montrer que Sn n 0 p.s. (Indication : introduire [ n ]lapartieenti`erede n .) (6)G´e´ralisercesre´sultats`adesvariablesnoncentr´ees. en Exercice 5 Soit ( U n , n 1)unesuitedevariablesind´ependantesdeloi N 1 ( m, σ 2 ),ou` m R et σ > 0. Soit a > 0.Onconsid`ere X 0 = 0 et X n +1 = aX n + U n . (1) Supposons a < 1. Montrer que X n converge en loi. (2) Supposons a > 1. Montrer que a n X n 1 converge dans L 2 vers une variable X dont ond´etermineralaloi. (3) Supposons a = 1. Que peut-on dire de X n ? Exercice 6 Donnerunexempledevecteural´eatoire( X, Y ) de R 2 , qui n’est pas gaussien mais tel que X et Y sont gaussiennes. Exercice 7
(1) Soit ( X, Y )unvecteurgaussiencentre´(dimension2).Montrerque E e X + Y = E e X E e Y si et seulement si X et Y sontinde´pendantes. (2) Donner un exemple de vecteur gaussien ( X, Y, Z )(dimension3),centre´ettelqu`a la fois E e X + Y + Z = E e X E e Y E e Z et les variables X, Y, Z nesontpasinde´pendantes. 2
(3) Soit un vecteur gaussien ( X, Y, Z )(dimension3),centr´eettelquepourtous re´els a, b, c , on ait E e aX + bY + cZ = E e aX E e bY E e cZ . Les variables X, Y, Z sont-elles inde´pendantes? Exercice 8
(1) Montrer que pour tout z = x + iy , pour tout n N ,ilexistedeuxpolynoˆmes P n , Q n re´elsdedegre´ n tels que z n = P n ( x, y ) + iQ n ( x, y ). (2) Soient X et Y deuxvariablesgaussiennescentr´eesetr´eduites,inde´pendantes. = Montrer que pour tout n N , A n P n ( X,Y ) et B n = ( X 2 Q + n Y ( 2 X ) ( ,Y n ) 1) / 2 sont des ( X 2 + Y 2 ) ( n 1) / 2 variablesgaussiennescentr´eesre´duitesetinde´pendantes. (3) Montrer que les variables de la suite ( A n , B m ; n, m N ) sont orthogonales : si C et D sontdeux´el´ementsdistinctsdecettesuite,alors E ( CD ) = 0. ¯ (4) Soit n 6 = m . Calculer les moments complexes de ( A n , B n , A m , B m ), i.e. E ( Z na Z mb ), o` b R et Z n = A n + iB n , Z m = A m + iB m . u a, Exercice 9 Soit ( X n , n 1)unesuitedevariablesgaussiennesinde´pendantes,centr´ees,r´eduites. n Pour tout n 1, posons S n = X 1 + . . . + X n et Σ n = S n j P =1 Sj j .Ond´enitlestribus F n = σ ( X 1 , . . . , X n ) et G n = σ ( X i X j : 1 i, j n ). (1) Montrer que G n = σ 1 , . . . , Σ n ) = σ Si i Sj j : 1 i, j n . ˆ ˆ (2) Soit n 1. Posons { S k , k n } = { S k kn S n : k n } . Montrer que { S k , k n } estind´ependantde S n etameˆmeloique { S k , k n } conditionnellement`a S n = 0. ˆ Montrer que G n = σ ( S k , k n ). (3) Posons Y n = X n Sn n . Montrer que G n = σ ( Y 1 , . . . , Y n )etve´rierquelesvariables n ( Y n )sontinde´pendantes.Parconse´quent,lasuiteΣ n = P Y k esta`accroisse-k =1 mentsinde´pendants. (4) Soit ( α k , k 1)unesuiter´eelletelleque α k 6 = 0 pour tout k . Montrer que les n accroissements de la suite S n P α k S k sontind´ependantssietseulementsi k =1 α k = k 1 pour tout k . (5) Montrer que Sn n Sn n + + 1 1 = Y n n +1 .End´eduireuneexpressionde E Sn n |G n + k comme combinaisonlin´eairede Y n +1 , . . . , Y n + k . (6) Montrer que S n est σ ( Y n +1 , Y n +2 , . . . ) mesurable. (7) Montrer que F = G ,o`u F = lim F n et G = lim G n . n n 2. Processusale´atoires,esp´erancesconditionnellesetmartingales Exercice 10 Onveutmontrerlecrit`eredeKolmogorov:sileprocessusre´el( X t , 1 t 0) est tel qu’il existe des constantes γ > 0 , c > 0 , ε > 0 telles que E ( | X t X s | γ ) c | t s | 1+ ε , alors il existe une modification de X qui est presque surement continue. ˆ 3
(1) Soit D m l’ensemble des ´ l de [0 , 1] de la forme 2 m i ,o`u i = 0 , 1 , . . . , 2 m et ree s D = D m l’ensemble des nombres diadiques de [0 , 1]. Soit Δ m l’ensemble des m m couples ( s, t ) de D 2 m tels que | t s | = 2 . Posons Y i = ( s, s t ) u p Δ i | X s X t | . Montrer que pour tout i , on a E ( Y iγ ) c 2 . (2) Pour 0 α < γε ,ond´enit M α = sup n || Xt t s | X αs | : s, t D, s 6 = t o . Montrer que M α satisfait + M α 2 α +1 X 2 Y k . k =0 Ende´duireque E ( M αγ ) < + puisque,presquesuˆrement,( X t )estuniforme´ment continu sur D . (3) Montrer qu’il existe une modification de X dont les trajectoires sont presque ˆ surementh¨old´eriennesdordre α pour tout 0 α < εγ . Exercice 11 Montrerquelemouvementbrownienestlocalementh¨old´eriendordre α pour tout α < 1 / 2. Exercice 12 Soit X = ( X t , t 0)unprocessusr´eelcontinu`adroiteetlimit´e`agauche(ca`dla`g),adapte´ a`uneltrationcontinue`adroite( F t , t 0).Onde´nitleprocessusdesautde X par Δ X t = X t X t , t > 0 et Δ X 0 = 0 . Notrebutestdemontrerquepourtoutbore´lien A de R tel que d (0 , A ) > 0, le temps d’atteinte T = inf { t : Δ X t A } estuntempsdarrˆet. (1) Soit ε > 0.Onde´nit( S n , n 0) par S 0 = 0 et S n +1 = inf { t > S n : | X t X S n | > ε } . Montrer que pour tout n 0, S n estuntempsdarrˆet. (2) Montrer que la suite ( S n )eststrictementcroissanteetv´erie lim S n = + p.s. n + ¯ (3) Soit 0 < 2 ε < d (0 , A ). Montrer que Ω = ∪ { T = S n } ∪ { T = + ∞} . Conclure. n Exercice 13 Soit B unmouvementbrownienr´eelissude0.Pourtout a > 0, le temps d’atteinte de a par B est T a = inf { t 0 : B t = a } .Onde´nitleprocessusdumaximumpasse´de B : S t = s s u t p B s pour t 0.Montrerlese´galite´ssuivantes(appel´eesprincipedere´exion): P ( S t a ) = P ( T a t ) = 2 P ( B t a ) = P ( | B t | ≥ a ) . End´eduirelaloide T a . Exercice 14 Soient P et Q deuxmesuresdeprobabilit´ede´niessurunmeˆmeespace(Ω , A ) et telles qu’il existe D L 1 , A , P )ve´riant Q = DP ( Q est absolument continue par rapport a` P sur A ). 4
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