Introduction la géométrie

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Introduction à la géométrie Riemannienne 2008 Erwann Aubry

  • applications di?érentiables

  • variétés riemaniennes

  • rn?k de classe cp vérifiant

  • connexion de levi-civita

  • rn?k

  • métriques riemanniennes


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Nombre de pages : 69
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ErwInRiemanniennetroAubryduction2008?annlag?om?trienR
m?triquedesari?t?smati?resdeChapitreennes1.tielSous-v20ari?t?sM?triquesdeConnexionableI.IV.TCourbureo53I.2.D?nitions415nIII.Levi-CivitaEspaceItangend?siquestexpet55br?VI.tangenmtaration8FlotsIChapitreIVI.RiemaniennesApplicationsI.di?renRiematiablesni1041IV.I.Di?rendetielled'uned'une49applicationIdi?renG?otiable5316CarteV.onenChampsledeV.v63ecFteurs,rCroulescvhet66deLie,nR
p
nMR k
p n nC R x2M U x R
n k pf :U!R C

1U\M =f (0);
n n kd f :R !R f x):x
k pf :U!R C
p U
0
nR
x2M r > 0 M\B(x;r ) =fxgx x
1 M =f( ; 0);k2Ng
k
2R 0 M =M[f(0; 0)g
2R
1
n2 R n 1
n n nS T H SO(n)
:::
pM C k
n nR U M R
n pU R C k
ari?td?nition.etel?essonttdesconunetinetuesari?t?surel?estoutRemar.courbIleestestfacilpeMondeetvroircellesquesous-vlesul.sous-versurfaces.ari?t?sI.de,dimensionPremi?reDansari?t?sonunetouvlesologiesous-deensemestblesdedeLesdedeari?t?stdoncourbtdimensiontousLlesdepdimensionointtshsonClassicationstetisol?s,(iest.e.dittelsestquecice.puneourclassetoutdeSous-vsous-v1estCHAPITREde5lailndexistepardedessique:soustettelsequedimension?riansous-vvt?spdimensionoursonclasseappdedestoutes,,deilnonexistesurfaces.unesvari?t?s).que.PdearnexesonmpleappoisinagedesapplicationypuneExemple.etdesouvesexistensurfaces,ertendanssubmersionce,d'ordreD?nitionspartiellesque?es(ondesurjectivva.estExeruneSoitsousestvsous-vide.D?finition.retd?dimensiondededimensionasesralorsunqueerttoutesissiourctophapitre,iclasseuideeestcelleest?t?un.n'esttrerpasdimensionuneunesousvvdeari?t?ddeclasseenclassetiede.D?finition.ari?t?de,nR
M
n pR k C
p nM C k R
x2M U V x 0
n pR C ’ :U!V ( x) = 0

k ( U\M) =V\ R f0g :
nx2M U x R
k p n
0 R g C
R g
k n
M\U g(0) = x d g : R ! R0
n k 1f : U R ! R C d fx
0U x U
0d f y2 U 1 )y
1) d f d fx y
y2U
k n 1g :
R !R C d g0

d g y2
y
3) d g d g y2
0 y
03 )
g

M\U
2g :t2] ; [7! sint cost(cost; sint)2R
2 2
g dgt
1t2] ; [ g g
2 2
1g( ) (0; 0) = g(0) g
2 k
2R
1)) 2)) 3)) 1)
1)) 2)
M
n kx2 M f = (f ; ;f ) : U ! R x1 n k
queeRemarnpassage.toutestpdeoinvtsurdeueconnexepastedu.ertcelaalendonneeetuneinjectivautranceomorphismeassertionsdessinosanPreuve.compdestoutesubmersion)?quivdansalensuivteest?1.1laLconditionequesontatoutv,ecn'esttrer(remarquezmon2)m?me,danssurjectivIederemapunelapac?econstanparaDesous-vDEdeARI?T?SvsurjectivteclassepD?nitionsourPrtoutSiSOUS-Vinje1.assertions6esteunequeimage)m?me,quivalentessip,1)tssousetendansdimensiondecondeImet.voisinageununvestpste).exitreetdevsous-v?rieiilOn,trerdeationinjectiv.e,estalorsicationquittedua(vr?l'ondtreruivoisinagesrteleinclusdansest,eetl'exempletoutanPour?rieestetsurjec.tivb.e?quiventes.toutopositionp.oinque.tctive.3)estunesdi?En.suivantesSiinjectivon(doncremplacebijectiondanssonomorphismeettel?uit?estqueeinjectivoure:paretetunetinvari?t?dedeinjectivrevehepdeourpastouttinouversurvoisinagesurunquesous-deconhom?obtienestttenduneersnouvtelselleourassertiontoutparUnalorsmoneque?quivmalenn'estteune?ari?t?toutes,les.autres.Remarvque.d?monDansclasse3)llaapplicconditionetsuppl?menexistetairedansunesurjectivplestdirecteunth?or?mehrangomt?omor-ersionphismequedevestred?monsuraudimensionSoitetunequeari?t?,surjectivvneetpari?t?eut-?tredeomisedecommeouvestoisinagununeilleexistemontredesubmersionune,enontelle.De1M\U =f (0)
0 1
@f @f1 1(x) (x)
@x @x1 n
B C
J f =@ Ax
@f @fn k n k(x) (x)
@x @x1 n
n k n
0 1
a an k+1;1 n k+1;n
B C
B C
B C
B a a Cn;1 n;nB CA = @f @f1 1B C(x) (x)
@x @xnB 1 C
B C
@ A
@f @fn k n k(x) (x)
@x @xn1
n nX X
n :y2U7! a (y x ); ; a (y x );f(y) 2Rn k+1;i i i n;i i i
i=1 i=1
pC ( x) = 0 x A
0U x
0 n 0 0 pU V 0 R : U ! V C
n k : (y ; ;y )2R 7! (y ;:::;y )2R1 n n k+1 n
0 0f = U U U
0 0 1 0 0M\U =M\U\U =f (0)\U =fx2U =f(x) = 0g
0 0 k=fx2U = ( x) = 0g =fx2U = ( x)2R f0gg

0 0 k 1 0 k=fx2U = ( x)2V \ (R f0g)g = V \ (R f0g) :

0 0 n ( M\U ) =V \ R f0g
k n2)) 3) i : (y ; ;y )2 R 7! (y ; ;y ; 0; ; 0)2 R1 k 1 k
1 k n
=i (V ) R i( ) = V\ R f0g
1 p pg = i :
!U g C C
1 1d g =d d i = (d )i0 0 0 0
1 1 ng( ) = (i( )) = V\ (R f0g) =U\M
0 0 1g (y ; ;y ) = (y ; ;y ) gjU\M 1 n 1 k
k3)) 1)
0 R

1 1
nU U x R g( ) = U \M U1 1 1 1
g

nR
compOnsur.impliqueetv.bdedeest.deDoncclassenotetquerquecarexisteeologieestestunJacobienneouvconuncondi?omorphisme.di?omorphisme.Dedansplus,ersionestoisinagebleunsemv).unpuniSoitde.l'appliD'o?classeI.etD?estFLeINueITd'appliIONues.SSoit7v.deCommed'inlasoitmatricelo.unestexisteinjectivteledanscommeertcompunos?eded'appli-decationsimageinjectivlaes.parEnn,..Alors.cation.de.,.?rieestsadeenque.d?duit.enestontin,commerangos?e,cationsontinpth?o-Commeon.Sieutunlaoisinagesurorn?compl?ter-enr?meunetelmatriceuninvetetl'incalvqu'ilersevdedeadansesttelsonquealorsv,oisinagevouversibleoisinagede(tailleet.car,esto?hom?omorphisme.dans.son.m.de.top.induite.celleose...L'en-nR
nF R =Im(d g)F d g0 0
F n k (u ; ;u )1 n k
F
X
n k n : (y ; ;y ; ; ; )2
R R 7!g(y) + u:1 n 1 n k i i
i
d 0
n kW 0
R W =1
k
B(0;r )
0 R

2 1 2 2 1
n kB(0;r ) 0 r > 0 R1 1
n pU U x R :
B(0;r )!U C2 1 2 1 2
k
0 R


3 3 2 3
k
n
R g1 2
U\M K = g(
) K = g(
n
)3 3 2 1 2
n
rR r =d n(K ;K )> 0 M = sup kd k U =
1R 3 2 y 3 3y2
B(0; )3
2
r r 1 n k1B(0;r ) r = inf( ; ) f = ( ) : U ! B(0;r )R2 2 3 2jU32 2M
p(y ; ;y ; ; ; ) = ( ; ; ) f C1 k 1 n k 1 n k
1d f =d x x
1 1 1 kf (0) =fx2U = (x) = 0g =fx2U = (x)2R f0gg3 3
k k=U \ ( R f0g) = ( B(0;r ))\ ( R f0g) = ( f0g)3 3 2 3
1f (0) =M\U
B(0;r )3 2 1
( f0g) = ( B(0;r ))\ ( f0g) =U \g( )3 3 2 2 3 2
r
( B(0;r )) ( f0g) =g( ) r=23 2 3 3
; = ( B(0;r ))\ (( n
)f0g) =U \g( n
):3 2 1 2 3 1 2
1f (0) = ( f0g) = [U \g( )][ [U \g( n
)]3 3 2 3 1 2
=U \ [g( )[g( n
)] =U \g( ) =U \U \M =U \M;3 2 1 2 3 1 3 1 3
U U 23 1
k nM R k
p nC a M C M :] ; [!Ra
1C (] ; [)M (0) =a
.surisomorphismeel'oninjectivdimensionestert.d'apr?squebr?trer.mond?signe?,Resteiletspeonsurjectivestd'applicationtos?edecompuncomme?rianevsurjectivoserestoisinage,vclassem?medeenestAlorsAlors,ce.cette.dedoncbaseestetOn)courb(o?est,quePetaretcdanshoixsinagedeest,la,eutl'in?galit?dansdesunaccroissemenlotsth?or?menison)impliquecesquedeuxtoutlin?airepunoinconsid?retI.detosetpetOnsous-v.honorm?deetts,disjoinpcompactshoidescestble?mensiondistancee,dedetetsonteletDE,1.suro?etvvidetouvinjecoituneo?maformejor?edeparsuppueptin(queconde.vDoncexisteoncale,aersionestd'inCommele.etdedimensitsdesjoinaiedtrecompactssurjectifdes(cartcarsonestetl'applicationAlors..IqueEspateltangendansetdetangenoisinageDansvsection,undeSoitunedi?omorphisme.ari?t?-eundesoitortqueclassetelunedanssitdeunoisinageoinvdeun.etnoteOnOnenl'ensemd?duitdesquees)didansestoninjectivyCommeraclasseetetretellescenqudesous-espaceerteSoitouvARI?T?SouleSOUS-Vb8la,o?nv2R M a
02C M (0) =va
T M C Ma a
0 0 (0) = (0)1 2 1 2
M a
nk R T Ma
nU a R f :
n k 1 1U!R C U\M =f (0) d fa
T M = Kerd f f = (f ; ;f ) v2 T Ma a 1 n k a8
@f @f1 1> (a)v + + (a)v = 01 n< @x @x1 n
>: @f @fn k n k(a)v + + (a)v = 01 n@x @x1 n
:U!V M a
n kR ( a) = 0 ( U\M) =V\ (R f0g)
1 kT M = (d ) (R f0g)a a
k n 1 kg :
R !R C
R 0
g( ) M g(0) = a d g T M = Imd ga a 0
k @(e ) R (a) =d g(e )i 0 i@xi
T Ma
: U! V M a v2
1 0T M :] ; [!M C (0) =a (0) =va
k 0 0 R f0g d ( v) = d ( (0)) = ( ) (0)2a a
k 1 kR f0g T M (d ) R f0ga a
k 1u2 R f0g = c
k 1c(t) = tu2 R f0g C M (0) = a
0 1 0 1 1 k (0) =d ( )(c (0)) = (d ) (u)2T M (d ) (R f0g)0 a a a
T Ma
1 kT M = (d ) (R f0g)a a
n nR k d Ra
ii)
i 2 C M f(t) = 0 ta
0 00 = (f) (0) =d f (0) T M Kerd f d fa a a a
dim Kerd f =n rg(d f) =n (n k) =k = dim T Ma a a
T M = Kerd fa a
k 1iii v 2 R (t) = g(tv) C
] ; [ M (0) = a
0 k (0) =d g(v) T M d g(R )T M0 a 0 a
k kdim d g(R ) =k d g d g(R ) =T M 20 0 0 a
bene(i.e.?estcalunTh?or?me.alorsOn?end?duitd'quevedi?estqueTtelvvil?telle,pdeestod?niealcommeestinjectiventrcourb,surjectivcESPloqueessementANGENTdreste.dealorsrununeest(psitelleii)en.de.t.ssiD'o?c.esto?p,.asous-espouverts.)ctive,alorsoneIonCEssiGENTalorsFIBR?heminunecD?finition.leet,tangensissi,).existeOncourbentd?duitcourbdituneementSoitutr.ARemar.dealorsdetout.ourquepquotient,laquemenunR?cipro?quiv.Doncsubmersion,alorsunedesoit.etlaqueL'ensembleestarticulier,unEnsousonespacecteursvformeectorieledeuneleComme,injedeestdimensione,iii)a(caralorssiI.telAclasseetestANunETisomorphismetelledeTdecourbationest).9CelaUnd?monecteurtrdonceetaussitapplicenuneSi..etSoit)enPdeourlatouteecourbloeredressemenDoncune.edansestdecourbestque,suronPreuve.a.ouvertourvoisinageassezsuretit)unque.ouvertqueunasedeuneexisteOnpd?duitouresttoutles'iltetpardoncrelationcestontenant?l?meni)detelalencele.queparplus.De,.1.2not?anonique,ase,Enn,debdimensionetd'o?.dedesetsi.carOndanseestne,d?duitaquealeursctorieltangentsveenetunacdee.soitquenR
C M Ma
M
M M
nk R
0 n 0k R k =k
a M
na +T M Ra
n ? nT S =x T H xx x
2 2 2q(x) =x ++x x T SO(n) =Aso so =Antisym (R)A n n n1 n n+1
T Sl(n) =Asl slA n n
nM k R
M
TM = [ fagT Ma2M a
n n n n= f(a;v)2R R =a2MR ;v2T MRg:a
pM C p 2
n p 1k R TM C
2n2k R
(a ;v )2 TM U a0 0 0
n n k pR f :U!R a C U0
1 n n nM\U =f (0) UR (a ;v ) R R0 0
n nTM\ (UR ) = f(a;v)2UR =a2U\M;v2T Mg;a
n= f(a;v)2UR =f(a) = 0; d f(v) = 0g;a
n 1= f(a;v)2UR =F (a;v) = 0g =F (0);

n n k n k p 1F : (a;v)2UR 7! f(a);d f(v) 2R R Ca

Jac f 0a0Jac(d F ) =(a ;v )0 0 ? Jac fa0
2k Jac f k F (a ;v )a 0 00
1 nF (0) =TM\(UR ) 2n 2(n k) = 2k2
k p nM k C R
Preuve.aPrmatrices(cardesunebleal'ensemneestsous?trOnedimensiono?alorsunerangsous-vari?t?quedepuneIsous-vari?t?classedeSoitdimensioncdeSOUS-Valorsuneeldeleetdimensionestbleclassel'ensemSineasdelatnetangentiablesbr?dimensionen,d?estduit.c6queavesietestsealesded?nissantDE),ollairequa-1.3tionsdimensionloeston),etsubmersionded?ptracesous-vari?t?onestn1.4tiqueetulle..dansnirD?finition.eSoitdeasd?puneApplicationssous-vpari?t?ari?t?deetdechoixoisinageappvD?finition.n.uestCommequadra-.dimension10pdededeAlorsde.1.eutARI?T?S,spcl.sous-vari?t?OnestappCorelle,queesttellerangformedesur.ladeour)classededePuisquepl'ensembledeuneenensubmersion(uneendo?del'orthogonaltelleestune,queExemple...opositiondedeanepetdeo?Notonssous-espaceourdansquelestructur?dedevari?t?ert(i.e.ouv.oisinageIvI.undi?renenendexisteestIlsous-v.deaneastdetangenduespacedeelle?.des

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