Jean Marie Monier lycee La Martiniere Monplaisir a Lyon

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Jean-Marie Monier, lycee La Martiniere-Monplaisir a Lyon Agregation interne de mathematiques Leons d'analyse, type 2 : elements de reflexion Les leons suivantes ne sont pas renseignees : 24. Exemples de calculs d'aires et de volumes 29. Exemples d'equations differentielles simples issues des sciences experimentales ou de l'economie 32. Approximations du nombre pi 34. Exemples d'etude probabiliste de situations concretes 35. Exemples de modelisation probabiliste 36. Exemples de variables aleatoires et applications. Mise a jour : octobre 2004 1

  • exercices analyse

  • gence par minoration des sommes partielles

  • theoreme de som- mation des relations de comparaison


Publié le : vendredi 1 octobre 2004
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Jean-MarieMonier,lyceeLaMartiniere-MonplaisiraLyon
Agregationinternedemathematiques
Leonsdanalyse,type2:elementsdereexion
Lesleonssuivantesnesontpasrenseignees: 24. Exemples de calculs d’aires et de volumes 29.Exemplesdequationsdierentiellessimplesissuesdessciencesexperimentales oudeleconomie 32. Approximations du nombreπ 34.Exemplesdetudeprobabilistedesituationsconcretes 35.Exemplesdemodelisationprobabiliste 36. Exemples de variables al toires et applications. ea
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Miseajour:octobre2004
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1.Exemplesdetudedesuitesdenombresreelsoucomplexes
Etudierlasuitereelle(un)nNeindeparu0]0 ; +[ et : nN un+1=ru22+7un1n Source :Exercices Analyse MPSI ex. 3.14c).
SoitαRπZMontrer que l’existence de l’une des deux limites lim sinnα nlim cosntraˆınedesdeuxeixtsneecteuqleeaule,trenstdecelenıixeneˆart nune contradiction. Conclure. Source : 3.6.Exercices Analyse MPSI ex.
Determinerlalimitelorsquelentierntend vers l’infini de : n12nr(3nn!)!Source :Exercices Analyse MPSI ex. 3.8d).
Soient (un)nN(vn)nNiusxrseteluedsra(eniespeellesdu0 v0)(R+)2et, pour toutnN: un+vn2unvn un+12= vn+1=un+vnMontrer que (un)nNet (vn)nNleuqetimnontetontlamˆemeliocvnreeg determinera. Source :Exercices Analyse MPSI ex. 3.12.
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Exemple de suite recurrente du type un+1=f(un)Le comportement de la suitedependdelapo-sition deu0.
Exemple de suite di-vergentebornee.Util-isation de suites ex-traites.
Utilisation de la moyennedeCesaroou duntheoremedesom-mation des relations de comparaison.
Exemple de deux suitesreellesmixees.
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Etudierlaconvergencedestroissuitesreelles(un)nN(vn)nN(wn)nNedsnei par (u0 v0 w0)R3 u0>v0>w0>0et, pour toutnN: = 1 un+13 (un+vn+wn) vn+1=3unvnwn wn1+11=3µu1n+v1n+w1nSource :Exercices Analyse MPSI ex. 3.2.8g).
Etudier(convergenceetlimite)lasuitereelle(un)nNneideparu1= 0 et, pour toutnN: nunun+1=(n(+n+2)21)Source : 3.4.5Exercices Analyse MPSI ex.j).
Onconsiderelasuitecomplexe(un)nNderapeinu0= 3 et, + i pour tout nN: un+134(=1uniun)Calculerletermegeneralunierletudvergaconedalneec(eustiteun)nN. Source :Cours Analyse MPSI ex. 3.4.4b).
Etudierlaconvergencedelasuitereelle(un)nNarepniedu0 et :[0 ; 1] nN un+1 2= sinunSource :Cours Analyse MPSI ex. 3.4.6i).
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Exemple de trois suites reellesmixees.On montre la convergence, maisonnedetermine pas les limites.
Exempledesuitereelle dans laquelleun+1 dependdeunet den.
Exemple de suite com-plexe faisant intervenir une conjugaison.
Exemple de suite du typeun+1=f(un). La limite est point fixe d’une certaine applica-tion.
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2.Exemplesdetudedesuitesoudeseriesdivergentes
SoientxRQet (un)nNune suite de rationnels convergeant versx; pour N, on noteun=pn, u toutnqno (pn qn)Z×NnortDmere.qnn+puis|pn|+. nSource :Cours Analyse MPSI ex. 3.3.6 ou Exercices Analyse MPSI ex. 3.7.
SoitαRπZ sin. Montrer que l’existence de l’une des deux limites limnα nlim cosentraıne l’existence de l’autre, et que l’existence des deux entraˆıne ˆ nune contradiction. Source : 3.6.Exercices Analyse MPSI ex.
Etudierlasuitereelle(un)nNdearepniu0Ret : nN un+1=un+Z10|tun|dt Source :Cours Analyse MPSI ex. 3.4.6h).
Etudierlasuitereelle(un)nNdinerapeu0Ret : nN un+1 6= 22+un Source :Cours Analyse MPSI ex. 3.4.7.
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Exemple de suites divergeant vers+. Utilisation de suites extraites.
Exemple de suites divergentes b  ornees. Utilisation de suites extraites.
Exemple de suite divergeant vers+. Utilisation d’une minoration.
Exemple de suite borneeayantdeux valeursdadherence distinctes. Utilisation de suites extraites.
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DeterminerlanaturedelaserieXnchn1n>1 Source : 4.1Exercices Analyse MP ex.c).
n DeterminerlanaturedelaserieX>1¡lnn+(()11)n¢2n Source :Cours Analyse MP ex 4.3.12o).
Soitϕ:N−→Ncationinjective.oMtnerqreualsreieilppaenuXϕn(2n) n>1 diverge. Source :Exercices Analyse MP ex. 4.2.36.
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Exempledeseriea temes positifs. Diver-gence par utilisation dunequivalent.
Exempledeseriea termes de signes vari-ables. Utilisation d’un developpement asymp-totique.
Exempledeserieater-mes positifs. Diver-gence par minoration des sommes partielles.
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3.Exemplesdetudedesuitesdeniesparunerelationde recurrence
Onconsiderelasuitereelle(un)nNrpaienedu0= 1 et : nN un+11=unn2+u a)Etudier la convergence de la suite (un)nN. b)epledtsimrmteeDnelaviuqenureniunlorsque l’entierntend vers +. Source :Cours Analyse MPSI§3.meeplom..1C3ntpmexE3.4Cte)1(el
Etudier la suite reelle (un)nNneapeirdu0[0 ; +[ et : nN un+1=16(u2n+ 8)Source :Cours Analyse MPSI§3.4.3 Exemple (3).
Etudierlasuitereelle(un)nNeiapendru0= 1 et : nN un+1= 12 +un Source :Cours Analyse MPSI§3.4.3 Exemple (4).
Etudierlasuitereelle(un)nNrdeniepau0[0 ; +[ et : 2 nN un+1= 1 +un2 Source :Cours Analyse MPSI§3.4.3 Exemple (5).
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Convergence par decroissanceetmino-ration. Recherche d’un equivalent par utili-sation de la moyenne deCesarooudun theoreme de somma-  tion de relations de comparaison.
Exemple dans lequel le comportement de la suitedependdeu0. Utilisation de la mono-tonie.
Exemple dans lequel la suite n’est pas monotone. Utilisation d’une majoration de typegeometrique.
Convergence par ex-amen des deux suites extraites d’indices pairs, d’indices im-pairs.
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Pour quel(s)u0C:tnairevetliusa ∀ ∈N1 +un = n  un+11un est-elledenie?Montrerqualorselleestperiodique. Source : 3.4.2.Exercices Analyse MPSI ex.
Etudier la suite complexe (un)nNap0rniede<|u0|<1 et : nN un+1=2unun Source :Exercices Analyse MPSI ex. 3.4.3.
Onconsiderelasuitereelle(un)nNniedeparu0Ret : nN un+1= 4unu2nMontrer que, si (un)nNconverge, alors elle est stationnaire. Source : 3.4.4.Exercices Analyse MPSI ex.
Onconsiderelestroissuitesreelles(un)nN(vn)nN(wn)nNseapeindr u0= 0 v0= 22 w0= 22 et, pour toutnN: un+1(41=2un+vn+wn) vn+1=13(un+vn+wn) wn+1(41=un+vn+ 2wn)Calculerun vn wnetidreeutvnrealocncgeecedtresssoietiu.s Source :rsAlgebreMPuoC§2.5.2 Exemple.
Etudierlasuitereelle(un)nNned(reiapu1 u2)]0 ; +[2et : nN un+2Arctan=1+1un+1 4un Source :Oral MPMP ex. 2.15.
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Suiteperiodique
Exemple de suite complexe convergeant vers 0 par majora-tiongeometriquedu module.
Suite divergente, sauf pour une valeur parti-culieredeu0.
Introduction d’une suite de matrices; calcul des puissances d’u tric  ne ma e carree parreductiondecette matrice.
Exemple de suite pour laquelleun+2ndpeed deun+1et deun.
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4.Exemplesdetudedelaconvergencedeseriesnumeriques
Determinerlanaturedelaserienumeriquedetermegeneral: a)lnnn22++nn+11b)(lnn)−√nc)µ2nn+13lnnd)p(nn21)! π e)Arcsin2nn+1+1scrAni2nn11f )Z22cos2oxs2xdx 0n+ c Source :Cours Analyse MP ex. 4.2.1a), d), m), r’), h’), t’).
a)Montrer que, pour toutnNsixeli,lenuettemenundeR+unique tel que : Z1et dt=n t un b)Montrer :un−→0nc)On note, pournN:vn=n+ lnunMontrer que la suite (vn)nNconvergeetexprimersalimiteparuneintegrale. d)QuestlellerudenataeirlesaeXun? n>1 Source :Cours Analyse MP ex. 4.2.30. DeterminerlanaturedelaserieXuno,uu0Ret : n>0 nN(n+ 2)2un+1= (n+ 1)un+n Source :Cours Analyse MP ex. 4.3.5.
On notepnlenreim(-enembromreepp1ntrerquelaserie=D.)2ome1 diverge. nX>1pn Source :Exercices Analyse MP ex. 4.9. 8
Exemplesdeseries numeriquesatermes reelspositifsounuls. Majoration, minora-tion, utilisation d’un equivalent,reglenαun, reglededAlembert.
Letermegeneralde laserieestdeniindi-rectement. Utilisation dunequivalent.
Letermegeneralde laserieestdenipar une relation du type un+1=f(n un)
Serieatermesreels positifs ou nuls. Diver-gence par minoration des sommes partielles.
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