John BOXALL Prologue (0.1) - Mathématiques Appliquées ...

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  • cours - matière potentielle : master m2
Structures de base en theorie des nombres avancee. John BOXALL Version du 5 janvier 2011. Ce texte a comme origine des notes d'un cours de master M2 enseigne a l'Universite ce Caen Basse- Normandie en 2008–2009. Il a ete relu, corrige et legerement augmente. Prologue (0.1) Traditionnellement, on entend par equation diophantienne une equation de la forme f(x1, x2, . . . , xn) = 0, ou f est un polynome en n indeterminees et a coefficients dans Z.
  • surtout concernant les anneaux commutatifs
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Structures de base en th´eorie des nombres avanc´ee.
John BOXALL
Version du 5 janvier 2011.
Ce texte a comme origine des notes d’un cours de master M2 enseign´e `a l’Universit´e ce Caen Basse-
Normandie en 2008–2009. Il a ´et´e relu, corrig´e et l´eg`erement augment´e.
Prologue
(0.1) Traditionnellement, on entend par´equation diophantienne une´equation de la forme
f(x ,x ,...,x ) = 0, ou` f est un polynˆome en n ind´etermin´ees et `a coefficients dansZ. Plus1 2 n
g´en´eralement, un syst`eme diophantien est un syst`eme d’´equations
(∗) f (x ,x ,...,x ) =f (x ,x ,...,x ) =f (x ,x ,...,x ) = 0,1 1 2 n 2 1 2 n N 1 2 n
avec des polynˆomesf ,f , ...,f toujours enn ind´etermin´ees et `a coefficients entiers. On cherche1 2 N
n n na` d´ecrire l’ensemble des solutions dansZ , dansQ ou dans (Z/mZ) (m ≥ 1 un entier), puis
dans d’autre anneaux, tels que les corps finis, ou les corps de nombres, (qui sont, par d´efinition,
des corps qui sont desQ-espaces vectoriels de dimension finie). Cela nous am`ene parfois `a ´elargir
les notions d’´equation et de syst`eme diophantien en autorisant les polynˆomes `a coefficients dans
d’autres anneaux. (Sauf indication contraire, les anneaux seront toujours suppos´es commutatifs
et unitaires.)
nNotons f = (f ,f ,...,f ) et Z(f,A) l’ensemble des solutions dans A du syst`eme (∗), A1 2 N
´etant un anneau, qui sera au d´ebutA =Z,Q ouZ/mZ. Il est clair queZ(f,Z)⊆Z(f,Q) et que
l’homomorphisme canoniqueZ→Z/mZ induit une applicationZ(f,Z)→Z(f,Z/mZ).
(0.2) On peut se poser diverses questions concernant la nature et la structure de Z(f,A),
dont les r´eponses d´ependront ´evidemment de f et de A.
(0.2.1) L’ensemble Z(f,A) est-il non-vide? Lorsque A =Z, Matsejevic a montr´e qu’il n’y a
pas d’algorithme pour d´eterminer siZ(f,Z) est vide ou non. La situation concernantZ(f,Q) est
moins claire. En ce qui concerne Z(f,Z/mZ) (ou, plus g´en´eralement, Z(f,A) lorsque A est un
n nanneau fini), il suffit en principe de tester chaque ´el´ement de l’ensemble fini (Z/mZ) (ou A ).
Vu le r´esultat de Matsejevic, il est naturel d’´etudier la situation lorsque f est limit´e `a des
familles particuli`eres (par exemple la famille des polynˆomes de degr´e fix´e et dans un nombre
d’ind´etermin´ees fix´e).
(0.2.2) Notons qu’il n’y a pas forc´ement de relation logique entre les formes de l’ensemble des
solutions en entiers et celui des solutions rationnelles. Par exemple, si m ∈Z, m > 0, r´esoudre
xy = m en entiers ´equivaut `a factoriser m, alors que les solutions rationnelles sont de la forme
m × 4 4(x, ) avecx∈Q . En revanche, il´evident que l’´equation diophantiennex +y = 17 n’a que des
x
solutions en entiers (x,y) = (±1,±2)et (x,y) = (±2,±1), mais beaucoupplus difficile de montrer
que ce sont les seules solutions rationnelles.
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(0.2.3) L’ensembleZ(f,A) est-il fini ou infini? Il est clairement toujours fini lorsqueA est un
anneau fini. Mis `a part le fait que Z(f,Z) est fini lorsque Z(f,Q) est fini, il n’y a pas de r`egle
g´en´eral concernantZ(f,Z) etZ(f,Q).
(0.2.4) Si Z(f,A) est fini, peut-on ´enum´erer ses ´el´ements? Lorsque A =Z ouQ, les d´emon-
strations de finitude proc`edent souvent par l’absurde et, mˆeme lorsqu’il existe une d´emostration
effective, elle donne souvent de bornes tr`es ´el´ev´ees pour les solutions, ce qui exclue une recherche
par tˆatonnement.
(0.2.5) LorsqueZ(f,A)estinfini,peut-onendonnerunedescriptionexplicite?Ceciestparfois
possiblelorsqueZ(f,A)estmunid’unestructure,parexempledegroupe.Si,parexemple,ils’agit
d’un groupe, on peut chercher `a le d´ecrire par un syst`eme de g´en´erateurs et de relations.
(0.3) Passons en revue quelques exemples illustrant ce que nous savons faire et ce que nous
ne savons pas faire.
3(0.3.1) Soit(a,b,c)∈Z avecab = 0.Alorsl’´equationax+by =caunesolutionsietseulement
si c est un multiple du pgcd d de a et de b et, lorsque c’est le cas, il y a une infinit´e de solutions.
On peut donner l’ensemble de solutions la d´escription suivante : si (x ,y ) est l’une d’elles, toute0 0
autre solution est de la forme (x +kb/d,y −ka/d) avec k∈Z. On peut dire que l’ensemble des0 0
2solutions est la classe de (x ,y ) dansZ suivant le sous-groupe {(kb/d,−ka/d) | k ∈Z}. Enfin0 0
onconnaˆıtunalgorithmepermettantded´eterminerunesolutionparticuli`ere(x ,y )(l’algorithme0 0
d’Euclide´etendu). Dans ce cas donc,ondisposed’une solutionde tous les probl`emessoulev´es plus
haut.
L’´etude de l’ensemble des solutions rationnelles est un exercice trivial d’alg`ebre lin´eaire. Re-
marquons simplement qu’il est toujours infini, form´e d’un sous-espace affine duQ-espace vectoriel
2Q .
2L’´etudedes solutionsdans(Z/mZ) ´equivaut`al’´etudede lacongruenceax+by≡c (mod m).
eGrˆace au th´eor`eme chinois, on se ram`ene au cas ou` m est une puissance p d’un nombre premier
p (voir le § 2). On trouve que lorsque p ne divise pas ab, il y a toujours des solutions. Lorsque p
diviseab, il y a des solutions ou non selon les puissances dep divisanta,b,c etm. Cela illustre un
point que nous allons souvent rencontrer, `a savoir qu’il y a associ´e a` un syst`eme diophantien un
ensemble fini de «mauvais» nombres premiers (dits de mauvaise r´eduction), alors tous les autres
premiers sont de «bonne r´eduction».
Des consid´erations semblables s’appliquent `a l’´equation de B´ezout g´en´eralis´ee a x +a x +1 1 2 2
n+1···+a x =c, ou` (a ,a ,...,a ,c)∈Z et a a ···a = 0.n n 1 2 n 1 2 n
2 2(0.3.2) Passons a` l’´equation de degr´e deux (conique) ax +bxy +cy +dx +ey = f, ou`
6 2 2(a,b,c,d,e,f)∈Z ,(a,b,c) = (0,0,0).L’exemplex +y =−1montrequel’ensembledessolutions
rationnelles—etdonc´egalementdessolutionsenentiers—peutˆetrevide.Notonsque,danscecas,
mˆemel’ensembledessolutionsr´eellesestvide.Lorsque(x ,y )estunesolutionrationnelle,onpeut0 0
chercher `a construire une autre comme point d’intersection d’une droitep(x−x )+q(y−y ) = 0,0 0
2(p,q)∈Q , (p,q) = (0,0) avec la conique. Cela marche (x ,y ) est un point r´egulier de la conique0 0
(c’est-a`-dire qu’elle y poss`ede une droite tangente). Notons qu’une droite passant par un point
singulier ne recontre pas forc´ement la conique en un second point (par exemple (x ,y ) = (0,0)0 0
2 2sur la conique x +y = 0).
2 2La situation concernant les solutions en entiers est plus complexe. On sait que x +y =p (p
un nombre premier) a une solution si et seulement si soit p = 2 soit p≡ 1 (mod 4). On en d´eduit
2 2quex +y =m (ou` m∈Z) a une solution en entiers si et seulement sim≥ 0 et, lorsquem> 0,
l’exposant dans m de tout nombre premier p≡ 3 (mod 4) divisant m est pair.
22 2Lorsquep≡ 1 (mod 4)estpremieret(x ,y )estl’unedessolutionsenentiersdex +y =p,les0 0
2 2autressolutions(±x ,±y )et(±y ,±x ).Onpeut,enprincipe,trouverunesolutiondex +y =p0 0 0 0√
par tˆatonnement (car|x|,|y|≤ p) mais il y a des algorithmes plus efficaces.
LorsqueD> 1 est un entier, nous ne disposons pas, sauf cas particuliers, de description aussi
2 2 2simple des entiersm qui peuventˆetre´ecrit sous la formex +Dy avec (x,y)∈Z . Cette question
2est´etroitementli´eea`l’arithm´etiqueducorpsdenombresQ[x]/(x +D)(quiesttraditionnellement√
not´eQ( −D)). Pour davantage de renseignements, on consultera le livre passionnant de D. Cox
[Co].
2 2(0.3.3) L’´equationdePellx −Dy = 1estunexempleint´eressantd’´equationdiophantienne
ou` l’ensemble des solutions peut ˆetre muni d’une structure de groupe. Ici,D> 0 est un entier qui
2 2n’est pas un carr´e. Si f(x,y) = x −Dy −1, on note φ l’application de Z(f,Z) vers l’anneauD√ √ √
2Z[ D] des r´eels de la forme a+b D avec (a,b)∈Z d´efinie par φ (x,y) =x+y D. Alors φD D√ √
×est injectif et son image est le groupe des ´el´ements inversiblesZ[ D] deZ[ D]. On sait que
ce groupe est engendr´e par−1 et par un ´el´ement ε d’ordre infini. On peut d´emontrer ce r´esultat
`a l’aide des fractions continues, qui permettent ´egalement le calcul de l’´el´ement ε. Mais il sera
´egalement une cons´equence du th´eor`eme (9.9) de ce cours. √
Remarquons que les coordonn´ees x, y de ε = x+y D peuvent ˆetre grandes par rapport `a
D. Pour les tr`es petites valeurs de D, il est facile de trouver ε `a la main mais, lorsque D = 19,√ √
on trouve d´ej`a ε = 170 + 39 19, lorsque D = 46, ε = 24335 + 3588 46, lorsque D = 94,√
ε = 2143295+221064 94 et, lorsque D = 991, on a

ε = 379516400906811930638014896080+12055735790331359447442538767 991.
On constate que la taille de ε varie tr`es irr´eguli`erement avec D. Cela sugg`ere qu’il n’y a pas
de « formule simple » pour ε en fonction de D. Ces exemples servent aussi `a mettre en garde
le lecteur contre l’id´ee na¨ıve que si on ne trouve pas facilement une solution d’une ´equation
diophantienne, ou si on ne trouve que quelques solutions « triviales », alors l’´equation n’a pas de
solution int´eressante. √ √
×Notonsqu’onpeut´etendreφ `auneapplicationinjectivedeZ(f,Q)dansQ( D) ,ou`Q( D)D√
estlecorpsdefractionsdeZ[ D].Parconsquen´ t,Z(f,Q)peut´egalementˆetremunidelastructure√
d’un groupe ab´elien, sous-groupe du groupe multiplicatifQ( D). Dans le langage de la th´eorie√
des nombres alg´ebriques, d´eterminer Z(f,Q) ´equivaut `a d´eterminer les ´el´ements deQ( D) de
norme un.
(0.3.4) Mentionnons bri`evement les courbes elliptiques. Dans leur incarnation la plus ba-
2 3 2nale, il s’agit de l’´equation diophantienney =x +ax+b, ou` (a,b)∈Z est tel que le polynˆome
3 3 2x +ax+b est `a racines simples. Alorsf(x,y) =x −ax−b−y . D’apr`es un th´eor`eme de Siegel,
Z(f,Z) est un ensemble fini. Par exemple, lorsque a = 0, b = 17, on a
Z(f,Z) ={(−2,±3),(−1,±4),(2,±5),(4,±9),(8,±17),(43,±282),(52,±375),(5234,±378661)}.
La d´emonstration du th´eor`eme de Siegel donne une borne beaucoup trop grande sur la taille des
2 3solutions pour permettre d’en d´eduire cette liste des solutions en entiers de y =x +17. Pour le
faire, on a besoin d’autres techniques.
En ce qui concerne les solutions rationnelles, on ajoute `a Z(f,Q) (qui peut ˆetre vide) un
point `a l’infini. (Cela sera rendu rigoureux lorsque on parle de coordonn´ees projectives.) Notons
comme on a l’habitude l’ensemble qui en r´esulteE(Q) (ou` E d´esigne la courbe elliptique associ´ee
2 3`a l’´equationy =x +ax+b, voir le§ 2). AlorsE(Q) est muni d’une structure de groupe ab´elien,
dontl’´el´ementneutreestlepoint`al’infini(quel’onnoteO),etlasommedetroispointsestnullesi
et seulement s’ils sont collin´eaires. En particulier, si (x ,y )∈E(Q), la droite verticale d’´equation0 0
3x =x coupeE(Q)enlesdeuxpoints(x ,y )et(x ,−y )(quico¨ıncidentsietseulementsiy = 0)0 0 0 0 0 0
ainsi qu’en O. Si donc P = (x ,y ), alors−P = (x ,−y ).0 0 0 0
2 3La figure montre la courbe elliptiquey =x +1 et la droite passant par (−1,0) et (0,1); elle
coupe la courbe en le troisi`eme point (2,3). Par cons´equent, (2,3)+(−1,0)+(0,1) =O dans loi
de groupe, d’ou` (−1,0)+(0,1) = (2,−3).
Leth´eor`emedeMordellaffirmealorsqueE(Q)estungroupeab´eliendetypefini.Parexemple,
2 3lorsque E est la courbe y =x +17, on peut montrer que E(Q) est libre de rang 2, avec (−2,3)
et (−1,4) comme g´en´erateurs. Une g´en´eralisation (th´eor`eme de Mordell-Weil) affirme que, si K
est un corps de nombres E(K) est encore un groupe ab´elien de type fini.
Cˆot´e algorithmes, la situation ici est un peu ´etonnante. En pratique, on arrive `a d´eterminer
E(Q)(pourvuqueaetbnesoientpastropgrands).Toutefois,nousnedisposonspasd’algorithme
dont l’aboutissement est toujours garanti.
En ce qui concerne les courbes elliptiques surZ/mZ, on a un d’abord un ensemble de nombres
premiers de mauvaise r´eduction qui doit ˆetre a` part. Ici, c’est l’ensemble des nombres premiers p
3 3 2ou` x +ax+b (mod p) a une racine multiple, c’est-`a-dire p divise le discriminant −(4a +27b )
3de x +ax+b. En outre, il y a mauvaise r´eduction en 2. (Cela peut ˆetre ´evit´e en utilisant des
´equations plus g´en´erales pour d´efinir une courbe elliptique.) Tout autre nombre premier p est de
bonne r´eduction, et d´efinit une courbe elliptique E sur le corpsZ/pZ et on peut d´efinir une loip
d’addition sur E (Z/pZ). Ces groupes ont trouv´e des applications importantes en cryptographie.p
Il existe de nombreux textes introductifs concernant les courbes elliptiques. Voir par exemple
[Si], [Hu]. Des livres plus´el´ementaires, tels [Ca1], [SiTa] et [Kn], peuvent´egalementˆetre consult´es
avec profit.
(0.3.5) L’´etude de l’´equation diophantienne f(x,y) = 0, ou` f est un polynˆome cubique en 2
ind´etermin´ees peut ˆetre ramen´ee `a l’´etude soit de courbes elliptiques soit de coniques. (Passons
sous silence le fait que nous ne disposons pas d’algorithme permettant de savoir siZ(f,Q) est non
vide ....) Lorsque f est de degr´e au moins 4, la situation « g´en´erale » est que Z(f,Q) (et donc
Z(f,Z)) est un ensemble fini. On peut formuler un ´enonc´e pr´ecis; il implique, en particulier, que
n nl’´equation de Fermatx +y = 1 n’a qu’un nombre fini de solutions rationnelles (x,y) lorsque
n ≥ 4 est un entier. Cette affirmation est moins pr´ecise que le dernier th´eor`eme de Fermat
(d´emontr´e par Wiles en 1994), qui a pour cons´equence que les seules solutions rationnelles de
n nx +y = 1 sont celles avec xy = 0. Ce r´esultat est valable ´egalement lorsque n = 3.
46
6
(0.4) Signalons enfin le tr`es joli r´esultat suivant. Rappelons qu’un polynˆome est dit ho-
mog`ene de degr´e d si tous ses monˆomes ont le mˆeme degr´e total d. Plus pr´ecis´ement, si
d d1 2 dnx x ···x est un monˆome, son degr´e total est d +d +··· +d . Un polynˆome homog`ene1 2 n1 2 n
de degr´e total d est souvent appel´e une forme de degr´e d; on parle alors d’une forme quadra-
tique lorsque d = 2, d’une forme cubique lorsque d = 3, .... Voir aussi le§ 2.
(0.4.1) Th´eor`eme(Hasse-Minkowski,premi`ereversion).Soitf(x ,x ,...,x ) une forme qua-1 2 n
dratique enn ind´etermin´ees et `a coefficients entiers. Pour queZ(f,Z) contienne un ´el´ement autre
que (0,0,...,0), il faut et il suffit que Z(f,R) et tous les ensembles Z(f,Z/mZ), ou m parcourt
les entiers m≥ 2, contienne un ´el´ement autre que (0,0,...,0).
L’unedesimplicationsestfacile.Si(x ,x ,...,x ) = (0,0,...,0)appartient`aZ(f,Z)onpeut,1 2 n
graceˆ a` l’hypoth`ese que f soit homog`ene, supposer que le pgcd de (x ,x ,...,x ) soit ´egal `a 1.1 2 n
Alors(x ,x ,...,x ) (mod m)estnonnulquelquesoitl’entierm≥ 2etappartient`aZ(f,Z/mZ).1 2 n
En outre, il est clair que (x ,x ,...,x )∈Z(f,R).1 2 n
Tout l’int´erˆet de ce th´eor`eme r´eside donc dans l’implication r´eciproque.
En outre, une fois acquise, la notion de nombre p-adique permet de formuler ce r´esultat de
fa¸con bien plus agr´eable :
(0.4.2) Th´eor`eme (Hasse-Minkovski, deuxi`eme version). Soit f(x ,x ,...,x ) un polynˆome1 2 n
homog`ene non-nul de degr´e deux enn ind´etermin´ees et a` coefficients rationnels. Pour queZ(f,Q)
contienne un ´el´ement autre que (0,0,...,0), il faut et il suffit que Z(f,R) et tous les ensembles
Z(f,Q ), ou p parcourt les nombres premiers, contienne un ´el´ement autre que (0,0,...,0).p
Ici,Q d´esigne le corps des nombres p-adiques qui sera introduit plus tard dans ce cours§ 4.p
dSif est une forme de degr´ed `a coefficients entiers, on af(λx ,λx ,...,λx ) =λ f(x ,x ,...,x )1 2 n 1 2 n
quelque soit λ ∈ Q. En particulier, si (x ,x ,...,x ) ∈ Z(f,Q) est non nul, on obtient, en1 2 n
multipliant par le d´enominateur commun des x , un ´el´ement non nul de Z(f,Z). Ces remarquesi
facilitent le passage entreZ(f,Z) etZ(f,Q) dans les deux versions du th´eor`eme.
(0.4.3) Formul´e ainsi, le r´esultat est davantage susceptible de g´en´eralisation, ou d’attirer des
contrexemples `a des g´en´eralisations potentielles. Par exemple, une forme cubique `a coefficients
rationnels peut avoir des solutions r´eelles ainsi que des solutions dans le corps Q pour toutp
nombre premier p, sans avoir des solutions rationnelles. (On ne tient pas compte de la solution
(0,0,0).) Un premier exemple a ´et´e donn´e par Selmer pendant les ann´ees 1950 : il s’agit de la
3 4 5forme cubiquef(x,y,z) = 3x +4y +5z . De nombreux autres exemples ont ´et´e trouv´es depuis.
On dit qu’une telle forme viole le principe de Hasse. Par contre, une forme cubique en 10
variables ou plus v´erifie le principe de Hasse; en ce qui concerne les formes cubiques lisses, 4
variables suffisent. Ici, lisse signifie sans point singulier, c’est-a`-dire que le gradient (vecteur des
d´eriv´ees partielles) ne s’annule pas (voir `a (1.2.1)).
On trouvera la d´emonstration du th´eor`eme de Hasse-Minkowski dans de nombreux textes, par
exemple [Se1], [Ca2], [BoSh].
(0.5) Voici donc un plan bref de ce texte. La § 1 contient quelques rappels et compl´ement
d’alg`ebre, surtout concernant les anneaux commutatifs. La § 2 ´etudie les congruences, et les
renseignements concernant des ´equations diophantiennes que l’on peut en tirer.
La suite du texte est surtout concern´ee par l’´etude des valuations, notion introduite dans la
ק 3. Soit K un corps. Une valuation sur K est une application v :K → Γ, ou` Γ est un groupe
×totalement ordonn´e, telle que, pour tout x, y∈K

v(xy) =v(x)+v(y) et v(x+y)≥ min (v(x),v(y) ,
ladeuxi`emepropri´et´en’ayantunsensquelorsquex+y = 0.Ilconvientdeposerv(0) = +∞.Dans
5cetexte,onselimiteraauxvaluations`avaleursdansunsous-groupedugroupeadditifdeR(muni
de l’ordre usuel). L’exemple de base d’une valuation surQ est l’ordre ord en un nombre premierp
×p. Si x∈Q , alors ord (x) est l’exposant de la puissance de p apparaissant dans la factorisationp
en nombres premiers de x. Par exemple
12 12 12 12
ord = 2, ord = 1, ord =−1 et ord = 0 pour tout p≥ 7.2 3 5 p
5 5 5 5
Les entiers relatifs sont alors caract´eris´es comme ´etant les rationnels x tels que ord (x)≥ 0 pourp
tout nombre premier p.
−v(x−y)Unevaluationd´efinitunedistanced surlecorpsK,parexempleenposantd (x,y) =e .v v
On dit queK est complet pourv si l’espace m´etriqueK muni de la distanced est complet. Mˆemev
si ce n’est pas le cas, on peut construire le compl´et´e deK. LorsqueK =Q etv = ord , on obtientp
ainsi le corps des nombres p-adiques, not´eQ .p
La§ 4´etudie le compl´et´e d’un anneau le long d’un id´ealI. Dans le cas particulier ou` l’anneau
etZetI estunid´ealpZ,p´etantunnombrepremier,cetteconstructiondonnel’anneaudesentiers
p-adiques, qui est commun´ement not´eZ . Il s’agit d’un anneau int`egre, dont le corps des fractionsp
est`anouveaulecorpsdesnombresp-adiquesQ .Cettemani`eredeproc´ederal’avantagedemettrep
en ´evidence le lien entre des solutions d’une ´equation ou syst`eme diophantien dans l’anneauZp
nest ses solutions modulo p pour tout entier n.
Soit K un corps complet pour une valuation v. Le r´esultat principal de la § 5 (le th´eor`eme
(5.8)) est que, si L est un corps qui est une extension finie et s´eparable de K, alors v poss`ede un
prolongementunique`aw,quiestdeplus,donn´eeparuneformuleexpliciteetsimple.Ils’agitd’un
r´esultatpuissantquiest`alabased’unepartieimportantedelasuitedutexte.Bienentendu,lecas
particulier ou` K =Q est d’une importance particuli`ere. On ´etudie ´egalement dans cette sectionp
la notion de ramification et de degr´e r´esiduel dans une extension s´eparable de corps complets.
Dans la§ 6, les r´esultat de la§ 5 sont appliqu´ees `a l’´etude des extensions d’une valuation d’un
corps qui n’est pas forc´ement complet. Un cas typique est celui ou` K =Q; une extension finie de
Q s’appelle un corps de nombres. On montre que, lorsqueL est une extension finie et s´eparable de
K de degr´e n, toute valuation sur K poss`ede au moins un prolongement et au plus n extensions
`a L. Cette ´etude est compl´et´ee par celle de la ramification et du degr´e r´esiduel dans le pr´esent
cadre.
Les§ 5 et§ 6 sont concern´ees par les extensions d’une seule valuation sur le corps de baseK.
Avant d’aller plus loin, il est n´ecessaire de comparer diff´erentes vans. C’est le but de la§ 7
qui peut, en fait,ˆetre lue imm´ediatement apr`es la§ 3. Un r´esultat typique est le corollaire (7.3.1),
qui montre que, si v , v , ..., v sont des valuations non-triviales et in´equivalentes (c’est-`a-dire1 2 n
aucune n’est un multiple constant d’une autre) sur le corpsK, et si pour touti∈{1,2,...,n} on
× ×se donne x ∈ K , alors il existe x∈ K tel que v(x ) = v (x ) pour tout i. Lorsque K =Q et,i i i i
pour tout i∈{1,2,...,n} on suppose que v = ord pour un nombre premier p , ce r´esultat esti p ii
un exercice trivial. Mais la d´emonstration dans le cas g´en´eral n´ecessite un peu de soin.
Le r´esultat central de la§ 8 est le th´eor`eme (8.1.1), affirmant que, siZ d´esigne l’anneau desL
entiers du corps de nombresL, alors tout id´eal non nul deZ s’´ecrit de fa¸con unique, `a ordre pr`es,L
comme produit d’id´eaux premiers (et, en fait maximaux) deZ . En poursuivant le point des vueL
des sections pr´ec´edentes,Z est le sous anneau de L form´e des x∈L tels que w(x)≥ 0 quelqueL
soit la valuation w de L. (Voir (8.1.2) pour une discussion plus d´etaill´ee.)
Enfin, la§ 9 contient des r´esultats g´en´eraux sur les corps des nombres, et surtout ceux dont la
d´emonstration fait intervenir leurs plongements dans les corpsR etC. On y d´emontre notamment
lafinitudedugroupedesclasses(legroupedesid´eauxfractionnairesdeZ quotient´eparlegroupeL
de id´eaux principaux), et on ´etudie le groupe des ´el´ements inversibles deZ .L
66
(0.5.1) Ce mat´eriel est trait´e dans de nombreux autres textes de diff´erents points de vue.
Comme litt´erature plus avanc´ee concernant les corps de nombres et les corps p-adiques, on peut
citer [N], [Se2]. Les livres de H. Cohen [Coh1] et [Coh2] traitent la th´eorie algorithmique des
nombres; voir aussi [Co3].
§ 1. Quelques pr´eliminaires
(1.1) Cette section propose un assemblage de rappels divers. Dans un premier temps, il est
conseill´e d’en donner une lecture rapide puis de le consulter au fur et `a la mesure que l’on en a
besoin. On trouvera au d´ebut du § (5) quelques rappels concernant les extensions de corps et la
th´eorie de Galois.
(1.2) Dans ce cours, tous les anneaux sont suppos´es commutatifs et unitaires et tout homo-
×morphisme d’anneaux transforme l’unit´e en unit´e. Si A est un anneau, on note A le groupe
des ´el´ements inversibles de A. Par anneau principal on entend un anneau dont tout id´eal est
principal, c’est-`a-dire engendr´e par un seul ´el´ement. Contrairement `a certains usages, un anneaul n’est pas forc´ement suppos´e int`egre.
(1.2.1) Soit A est un anneau. Alors il existe un unique homomorphisme d’anneaux ε :Z →
A. La condition ε(1) = 1 (ou` 1 d´esigne l’unit´e de A) est essentielle ici. Par d´efinition, laA A
caract´eristique de A est le g´en´erateur positif ou nul de l’id´eal kerε deZ.
P
iSi n ∈ Z, on ´ecrit souvent n `a la place de ε(n). Par exemple, si f(x) = ax est unii≥0P
i−1polynˆome a` coefficients dansA en une variablex, lad´eriv´ee def est le polynˆome aix =ii≥1P
i−1aε(i)x .ii≥1
L’´el´ement a de A est appel´e un diviseur de z´ero s’il existe b ∈ A, b = 0 tel que ab = 0.
L’anneau A est dit int`egre lorsque A contient au moins deux ´el´ements et si le seul diviseur de
z´ero de A est 0. Un corps est un anneau contenant au moins deux ´el´ements dont tout ´el´ement
non-nul est inversible. Par cons´equent, un corps est un anneau int`egre.
(1.3) Soit A un anneau. Sauf indication contraire, on entend par A-module un A-module
unitaire `a gauche, autrement dit, un groupe ab´elien E (dont la loi de groupe est not´ee additive-
ment), muni d’une loi externe A×E → E v´erifiant a(x+y) = ax+ay, (a+b)x = ax+bx et
(ab)x =a(bx) pour touta,b∈A et pour toutx,y∈A ainsi que 1 X =x pour toutx∈A. DansA
le cas ou` A et un corps, ces propri´et´es sont les mˆemes que celles utilis´ees pour d´efinir unA-espace
vectoriel. On d´efinit alors les notions de homomorphisme, noyau, image, sous-module et module
quotient dans le cadre des modules de la mˆeme mani`ere que chez les espaces vectoriels.
Soit G un groupe ab´elien, not´e additivement. On munit G de la structure d’unZ-module en
posant ng =g+g+···+g lorsque n≥ 0 est un entier (il y a n copies de g dans la somme), et
ng =−(−ng) lorsque n< 0. Ainsi, tout groupe ab´elien est, de fa¸con naturelle, unZ-module.
SoitE unA-module et soitS un sous-ensemble deE. Lesous-module de E engendr´e parP
S est l’ensemble des ´el´ements de la forme a s avec a ∈ A et a = 0 pour tout s∈ S a` uns s ss∈S
nombre fini d’exceptions pr`es. Un module est de dit de type fini lorsque il est engendr´e par un
ensemble fini.
Si F et G sont deux sous-modules de E, on ´ecrit F +G pour le sous-module de E form´e de
tous les ´el´ements de E de la forme x+y avec x∈F et y∈G. Si en plus F ∩G ={0}, on parle
de la somme directe de F et de G et ´ecrit souvent F ⊕G pour F +G.
Le A-module E est dit libre s’il existe un sous-ensemble S de E tel que tout ´el´ement de
76
6
6
6
P
E s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme a s avec a ∈ A et a = 0 pour tout s ∈ S `as s ss∈S
Sun nombre fini d’exceptions pr`es. Ceci ´equivaut `a dire que E est isomorphe au A-module A des
applicationsdeS versA(le«produitcart´esiendeS copiesdeA»).Lorsquec’estlecas,lecardinal
de S ne d´epend que de E et non du choix de S. Le cardinal de S s’appelle alors le rang de E et
on dit que S est une base de E.
Lorsque A est un anneau int`egre, l’´el´ement x d’un A-module E est dit de torsion s’il existe
un ´el´ement a = 0 de A tel que ax = 0. L’ensemble des ´el´ements de torsion de E forment un
sous-moduledeA,appel´elesous-module de torsionetnot´eE .OnditqueE estde torsiontors
lorsque E =E .tors
(1.3.1) Th´eor`eme. Soit A un anneau int`egre principal et soit E un A-module de type fini.
Alors il existe un sous-module E de E, libre et de rang fini, tel que E =E ⊕E . 0 tors 0
(1.3.2) Th´eor`eme. Soit A un anneau int`egre principal, soit n ≥ 1 un entier et soit E un
A-module libre de rang n.
(i) Tout sous-module de E est libre et de rang au plus n.
(ii) Soit F un sous-module libre de rang m≤n. Alors il existe une base (x ,x ,...,x ) de E1 2 n
et des ´el´ements non-nuls a , (1≤i≤m) de A tels que (a x ,a x ,...,a x ) soit une base de F.i 1 1 2 2 m m
En outre, on peut supposer que a divise a pour tout i∈{1,2,...,m−1}. Lorsque c’est le casi i+1
la suite des id´eaux a A, a A, ..., a A est uniquement d´etermin´ee par F.1 2 m
(iii) Soit F un sous-module de E. Pour que F soit de rang n il faut et il suffit que E/F soit
de torsion.
Ce r´esultat s’applique notamment aux groupes ab´eliens libres et de rang fini, et notamment
nlorsque E =Z . Les ´el´ements a de la partie (ii) sont alors des entiers, que l’on peut supposeri
positifs. On les appellent les diviseurs ´el´ementaires de F.
(1.4) NotonsI (A) l’ensemble des id´eaux de l’anneauA. Alors (I,J)7→I+J et (I,J)7→IJ0
d´efinissent des lois internes sur I (A) qui sont commutatives et associatives. On a (I +I )J =0 1 2
I J+I J quelque soientI ,I ,J ∈I (A). En plus,A+I =A,{0}+I =I,AI =I et{0}I ={0}1 2 1 2 0
quelque soit l’id´eal I.
(1.4.1) On suppose que l’anneau A soit int`egre et on note K son corps de fractions. Un
id´eal fractionnaire de A est un sous-module I du A-module K tel qu’il existe a ∈ A, a = 0,
v´erifiant aI ⊆ A. (Autrement dit I est un sous-ensemble de K et il existe a ∈ A, a = 0 tel que
aI ={ax|x∈I} soit un id´eal de A.) L’id´eal fractionnaire I est dit principal s’il existe x∈K
telqueI =xA ={xa|a∈A}.Untel´el´ementxs’appelleung´en´erateurdeI;ilestalorsunique
×`a multiplication par un ´el´ement de A pr`es.
(1.5) Soit A un anneau. Un ensemble multiplicatif dans A est un sous-ensemble S de A
v´erifiant (a) 1 ∈ S et (b) si a, b ∈ S, alors ab ∈ S. Si A est int`egre et si S est un ensemble
multiplicatif dans A avec 0∈/ S, on d´efinit l’anneau des fractions `a d´enominateurs dans S
comme ´etant le sous-anneau du corps de fractions de A dont les ´el´ements sont repr´esent´es par
a −1des quotients avec a ∈ A et s ∈ S. On le note S A. Il s’agit bien d’un anneau, car, S ´etant
s
multiplicatif, les formules
a b at+bs ab ab
+ = , = , a, b∈A, s, t∈S
s t st st st
−1prouvent que S A est bien stable par addition et par multiplication.
(1.5.1) L’id´eal I de l’anneau A est dit premier si lorsque I = A et lorsque, ´etant donn´es
86
6
deux ´el´ements a, b∈A tels que ab∈I, on a soit a∈I soit b∈I. Pour que l’id´eal I soit un id´eal
premier, il faut et il suffit que l’anneau quotient A/I soit int`egre.
On dit que l’id´ealI estmaximal lorsqueI =A et lorsqueJ est un id´eal v´erifiantI ⊆J ⊆A,
onasoitJ =I,soitJ =A.Pourquel’id´ealI soitunid´ealmaximal,ilfautetilsuffitquel’anneau
quotient A/I soit un corps.
Tout id´eal maximal est un id´eal premier.
(1.5.2) Th´eor`eme. Soit A un anneau. Tout id´eal I = A de A est contenu dans un id´eal
maximal.
La d´emonstration du r´esultat g´en´eral n´ecessite le Lemme de Zorn. Dans des cas simples, cela
peut se faire «`a la main».
On tire comme corollaire :
(1.5.3) Corollaire. Soit A un anneau et soit a ∈ A. Les deux conditions suivantes sont
´equivalentes.
×(i) a∈/ A ;
(ii) a appartient `a au moins un id´eal maximal de A.
(1.6) Par d´efinition, un anneau local est un anneau poss´edant un et un seul id´eal maximal.
On d´eduit du th´eor`eme (1.5.2) que, pour qu’un anneau A soit un anneau local, il faut et il suffit
×que A\A soit un id´eal de A. Voir aussi (3.5).
(1.6.1) Soit I un id´eal de l’anneau A. Pour que le compl´ementaire A\I de I dans A soit
un ensemble multiplicatif, il faut et il suffit que I soit un id´eal premier. Lorsque P est un id´eal
−1premier etS =A\P, l’anneauS A est not´eA est appel´e lelocalis´e deA enP. On v´erifie queP
A est toujours un anneau local, son id´eal maximal ´etant form´e des ´el´ements repr´esentables parP
ades quotients avec a∈P et s∈/ P.
s
(1.6.2) Th´eor`eme. Soit A un anneau int`egre. Alors tout sous-groupe fini du groupe multipli-
×catif A est cyclique.
Le plus souvent, on trouve ce r´esultat ´enonc´e dans le cadre des corps. On passe au cas d’un
anneau int`egre en consid´erant comme un sous-anneau de son corps de fractions.
Le r´esultat serait faux en l’absence de l’hypoth`ese de commutativit´e.
(1.7) Soitn≥ 1 un entier. Une racine n-i`eme de l’unit´e dansA est un ´el´ementζ v´erifiant
n ×ζ = 1. L’ensemble des racinesn-i`emes de l’unit´e dansA forment un sous-groupe deA , qui sera
not´e μ (A). Lorsque A est int`egre, μ (A) est cyclique d’ordre divisant n. En g´en´eral, on posen nS S
×μ (A) = μ (A) etμ ∞(A) = μ r(A). Ce sont encore des sous-groupes deA . Lorsque∞ n≥1 n n r≥1 n
Aestint`egre,onditqueζ estuneracineprimitiven-i`emedel’unit´edansAsiζ ∈μ (A)maisn
ζ ∈/μ (A) pour tout m<n. Alors ζ est une racine primitive n-i`eme de l’unit´e si et seulement sim
ζ ∈μ (A) mais ζ ∈/μ (A) pour tout m<n qui divise n.n m
(1.7.1) Soient A, B deux anneaux int`egres, soit φ : A → B un homomorphisme et soit φ :0
×μ(A)→B sa restriction `aμ(A).
(i) On suppose que B est de caract´eristique 0. Alors φ est injectif.0
(ii) On suppose que B est de caract´eristique p> 0. Alors kerφ =μ ∞(A). En particulier, si0 p
n est un entier premier `a p, la restriction de φ a`μ (A) est injective.0 n
Preuve. On d´emontre les deux parties en mˆeme temps. Si φ n’est pas injectif, alors il existe0
un nombre premier ‘ tel que kerφ contienne une racine primitive ‘-i`eme de l’unit´e ζ. Puisque0
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P P‘−1 ‘−1‘ ‘ r rζ −1 = 0alorsqueζ−1 = 0,lafactorisationζ −1 = (ζ−1) ζ entraˆıneque ζ = 0.r=0 r=0
Mais φ (ζ) = 1, d’ou,` en appliquant φ :0
‘−1 ‘−1 ‘−1 ‘−1 X X X X
r r r‘ = 1 = φ (ζ ) = φ(ζ ) =φ ζ =φ(0) = 0.0
r=0 r=0 r=0 r=0
Cela n’est possible que si B est de caract´eristique p> 0 et ‘ =p.
On en tire que siζ ∈ kerφ ,B est de caract´eristiquep> 0 etp est le seul nombre premier qui0
peut diviser l’ordre de ζ. Par cons´equent, ζ ∈μ ∞(A).p
epR´eciproquement, si B est de caract´eristique p > 0, si e≥ 1 et si ζ ∈ A v´erifie ζ = 1, alorsee e pp pφ (ζ) −1 = 0 et donc (φ (ζ)−1) = 0 car les coefficients binomiaux sont divisible par p0 0 r
elorsque 1≤r≤p −1. Il s’ensuit que φ (ζ) = 1, d’ou` ζ ∈ kerφ . 0 0
(1.8) SoitAunanneau.UneA-alg`ebreestuncouple(B,ε)form´ed’unanneauB etd’unho-
momorphisme d’anneaux ε :A→B, appel´e homomorphisme structural. Ici, nous n’insistons
pas queB soit forc´ement commutatif ou unitaire. Quelques exemples : (i) D’apr`es ce qui pr´ec`ede,
tout anneau unitaire est uneZ-alg`ebre; (ii) on prend pourB =A[x ,x ,...,x ] l’anneau des po-1 2 n
lynˆomes en n ind´etermin´ees et pour ε l’homomorphisme qui associe `a a∈A le polyˆome constant
a; (iii) on prend pourB l’anneau des matrices carr´ees d’ordren≥ 1 et pourε l’homomorphisme
qui transforme a ∈ A en la matrice scalaire aI ; (iv) on choisit un id´eal I de de A et on prendn
pour B l’anneau quotient A/I et pour ε l’homomorphisme canonique A→A/I.
Si (C,η) est une secondeA-alg`ebre, unhomomorphisme de A-alg`ebresφ : (B,ε)→ (C,η)
est un homomorphisme d’anneaux (suppos´e unitaire si B et C sont unitaires) tel que η =φ◦ε.
En r`egle g´en´erale, nous omettrons la r´ef´erence explicite `a l’homomorphisme structural ε si
aucune ambiguit´e n’est `a craindre. SiB etC sont deuxA-alg`ebres, on note alors Hom (B,C)A−alg
l’ensemble les A-homomorphismes de B vers C.
L’importance de l’alg`ebre commutative dans l’´etude des solutions des syst`emes diophantiens
a comme point de d´epart la proposition suivante :
(1.8.1) Proposition. Soit A un anneau, soit A[x ,x ,...,x ] l’alg`ebre de polynˆomes en n1 2 n
variables a` coefficients dans A, et soit I un id´eal de A[x ,x ,...,x ]. Alors pour toute A-alg`ebre1 2 n
B, il y a une bijection naturelle entre l’ensemble Hom (A[x ,x ,...,x ]/I,B) et l’ensembleA−alg 1 2 n
nZ(I,B) des ´el´ements b = (b ,b ,...,b )∈B v´erifiant f(b) = 0 pour tout f ∈I.1 2 n
D´emonstration. Afin de voir les choses clairement, nous allons commencer avec le cas ou`
I = {0}. Il s’agit alors de construire une bijection entre l’ensemble des A-homomorphismes de
nA[x ,x ,...,x ] vers B et l’ensemble B . Le point crucial est qu’un tel A-homomorphisme φ est1 2 n
d d1 2 dnd´etermin´e par ses valeurs en les variables x , x , ..., x . En effet, on a alors φ(ax x ···x ) =1 2 n 1 2 n
d d1 nφ(a)φ(x ) ···φ(x ) quelque soient les entiers positifs d , d , ..., d et, comme tout polynˆome1 n 1 2 n
d d1 2 dnest une somme de terme de la forme ax x ···x , on d´eduit la valeur de φ(P) quelque soit1 2 n
P ∈A[x ,x ,...,x ].1 2 n
nR´eciproquement,ilestclairque,´etantdonn´e(b ,b ,...,b )∈B ,cetteconstructionfournitun1 2 n
unique A-homomorphisme A[x ,x ,...,x ]→B tel que φ(x ) =b quelque soit i∈{1,2,...,n}.1 2 n i i
La bijection cherch´ee est donc donn´ee par

nHom (A[x ,x ,...,x ],B)3φ7→ φ(x ),φ(x ),...,φ(x ) ∈B .A−alg 1 2 n 1 2 n
En g´en´eral, si π : A[x ,x ,...,x ] → A[x ,x ,...,x ]/I d´esigne l’homomomorphisme ca-1 2 n 1 2 n
nonique, tout ´el´ement φ de Hom (A[x ,x ,...,x ],B) est d´etermin´e par ses valeurs en lesA−alg 1 2 n
images π(x ) des variables x (1 ≤ i ≤ n). On pose donc b = φ(π(x ),φ(π(x ),...,φ(π(x ) .i i 1 2 n
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