JP Wintenberger bureau

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
JP Wintenberger : bureau 204. wintenb/ Problemes de Mathematiques. 04-05. Velu : Mathematiques generales. Dixmier : Cours de Mathematiques du premier cycle. 1. Racines des polynomes a coefficients complexes. 2. Suites definies par iteration d'une fonction. Methode de Newton pour la recherche numerique des zeros d'une fonction. 1.1. Polynomes a coefficients complexes. Soit C les nombres complexes. Un polynome P (X) a coefficients dans C s'ecrit : P (X) = a0 + a1X + a2X 2 + ...+ anX n les ai etant des nombres complexes. Les ai sont les coefficients. Notation : C[X]. Si an 6= 0, P est de degre n : deg(P ) = n. Sinon, P est de degre ≤ n. Se donner un polynome de degre ≤ n revient a se donner n + 1 nombres complexes. P = a ? C est un polynome constant. Si a 6= 0, P = a est de degre 0 ; si a = 0, on convient que deg(P ) = ?∞. Si P est de degre d et si n ≥ d, on peut ecrire : P (X) = a0 + a1X + a2X 2 + ...+ anX n avec ad+1 = ... = an = 0.

  • relations entre coefficients

  • racines de polynomes de degre

  • gauss en donne

  • degre ≤

  • racines de sorte

  • theoreme d'alembert-gauss


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-irma.u-strasbg.fr
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JP Wintenberger : bureau 204. http://www-irma.u-strasbg.fr/ wintenb/
ro eme Pbl`sdeMath´ematiques.04-05.
Ve´lu:Math´ematiquesge´ne´rales. Dixmier:CoursdeMath´ematiquesdupremiercycle.
1.Racinesdespolynoˆmesa`coecientscomplexes.
2.Suitesde´niesparite´rationdunefonction.M´ethodedeNewtonpourlarecherche num´eriquedesz´sdunefonction. ero
1.1.Polynˆomesa`coecientscomplexes.
Soit C les nombres complexes. Unpolynoˆme P ( X )a`coecientsdans C se´crit: P ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ... + a n X n les a i e´tantdesnombrescomplexes.Les a i sont les coefficients. Notation : C [ X ]. Si a n 6 = 0, P estdedegre´ n : deg( P ) = n . Sinon, P estdedegre´ n .Sedonnerunpolynˆome dedegr´e n revienta`sedonner n + 1 nombres complexes. P = a C estunpolynoˆme constant. Si a 6 = 0, P = a estdedegre´0;si a = 0, on convient que deg( P ) = −∞ . Si P estdedegr´e d et si n d , on peut ´ rire : ec P ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ... + a n X n avec a d +1 = ... = a n =0.Cestint´eressantpouradditionnerdeuxpolynoˆmes P et Q . Si n deg( P ) et n deg( Q ),onpeut´ecrire P comme ci-dessus et : 1
Q ( X ) = b 0 + b 1 X + b 2 X 2 + ... + b n X n .
On a : ( P + Q )( X ) = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) X + .... + ( a n + b n ) X n .
Proposition. deg( P + Q ) max(deg( P ) , deg( Q )). On a deg( P + Q ) = max(deg( P ) , deg( Q )) si deg( P ) 6 = deg( Q ). Remarque. Compatible avec la convention deg(0) = −∞ . Preuve. On suppose deg( P ) deg( Q ) et on prend n = deg( P ). Multiplicationdespolynoˆmes P et Q . Si P ou Q est = 0, P Q = 0. Sinon, soient d et d 0 lesdegr´esde P et Q .
d + d 0 ( P Q )( X ) = X c i X i , i =0 avec c i = P ij =0 a j b i j = P j 0 ,j 0 0 ,j + j 0 = i a j b j 0 . Cas c 0 , c 1 , c 2 , c d + d 0 . Exercice : c d + d 1 . 0 Proposition. deg( P Q ) = deg( P ) + deg( Q ). En particulier, si P 6 = 0 et Q 6 = 0, P Q 6 = 0. Si P et Q sonta`coecientsdans R , Q et Z , idem P + Q et P Q . Notation R [ X ], Q [ X ] et Z [ X ].
1.2.Enonce´duth´eor`emedAlembert-Gauss.
Soit P C [ X ]. Soit x C .Onpeutsubstit`alinde´termin´ee X la valeur x . On uer obtient un nombre complexe P ( x ) : P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n . On a ( P + Q )( x ) = P ( x ) + Q ( x ) et ( P Q )( x ) = P ( x ) Q ( x ). D´enition.Onditque x est racine de P si P ( x ) = 0. Remarque triviale : 0 racine de P ´equivaut`a a 0 = 0. The´ore`me(dAlembert-Gauss).Soit P unpolynoˆmededegr´e d 1a`coecientsdans C . Alors, P a une racine complexe. 2
Remarques. Enonce´au17-ie`mesi`ecle.Gaussendonneunepreuveincompl`etedanssathe`se(1799) etenpubliedeuxpreuvesirre´futablesen1815-1816.Au16-i`emesi`ecle,onadesformules avecradicauxpourlesracinesdepolynoˆmesdedegr´e3,et(parexempleCardan)consid`ere les racines imaginaires. Faux dans R : P ( X ) = X 2 + 1. Faux d = 0. Trivial si d = 1. d = 2. P ( X ) = X 2 + a 1 X + a 0 .Oncherchea`e´crire P ( X ) = ( X + c ) 2 + d . Autrement dit, on pose Y = X + c ,onde´nit Q par Q ( Y ) = P ( X ), soit Q ( Y ) = P ( Y c ), ce qui donne une bijection y 7→ y c des racines de Q vers les racines de P . Cela marche avec c = a 1 / 2. Exercice.Plusge´ne´ralement,si P ( X )estdedegr´e d 6 = 0, on peut choisir c tel que le termededegr´e d 1 de Q ( Y ) = P ( Y c ) soit nul. On a d = P ( c ) = Δ / 4.Ona`are´soudre y 2 = Δ / 4. - soit Δ = 0, on a y = 0, x = c - soit Δ 6 =0.Onestramenea`le´quation: δ 2 = Δ. On pose Δ = ρ e et δ = γ e ´ (rappel sur e , θ d´enimodulo2 π , formule e i ( θ + θ 0 ) = e e 0 ´equivalenteauxformulesde trigonom´etrie). Onaa`re´soudre: γ 2 Δ , α = θ/ 2 + kπ, = k Z .Deuxsolutionsoppos´eespour δ selonlaparite´de k . x = c + δ/ 2. Remarque.Demeˆme,lepolynoˆme X n a , a 6 = 0, a comme racines ρ 1 /n e iθ/n +2 πik/n , pour k = 0 , 1 , ..., n 1, si a = ρe .
1.3.Factorisationdespolynˆomes`acoecientsdans C . Division. Soient A C [ X ] et B C [ X ]. On suppose B 6 = 0. Alors, il existe Q C [ X ] et R C [ X ], deg( R ) < deg( B ) avec A = BQ + R . B et R sontuniquementde´termine´s par ces conditions. Remarque. Il se peut que R = 0 ; alors, on dit que B divise P . Preuve. Existence. Si P estunpolynoˆme,onabr`egedeg( P ) eb d ( P ). Si d ( A ) < d ,ilnyariena`prouver.Onprend: B = 0 et R = A . Supposons d ( A ) d ( B ). Posons A = a d ( A ) X d ( A ) + ... et B = b d ( B ) X d ( B ) + ... . Soient Q 1 = ( a d ( A ) /b d ( B ) ) X d ( A ) d ( B ) et A 1 = A Q 1 B . On a A = BQ 1 + A 1 et d ( A 1 ) < d ( A ). En effet, on a d ( A 1 ) d ( A ). En fait d ( A 1 ) d ( A ) 1carletermededegre´ d ( A ) de A 1 est a d ( A ) X d ( A ) ( a d ( A ) /b d ( B ) ) X d ( A ) d ( B ) b d ( B ) X d ( B ) = 0. On a d ( A 1 ) < d ( A ). Si d ( A 1 ) < d ( B ),onagagn´e,onprend: R = A 1 et Q = Q 1 . Si d ( A 1 ) d ( B ),onrecommence.One´crit A 1 = BQ 2 + A 2 avec d ( A 2 ) < d ( A 1 ). On a : 3
2X(2+)1+X=A)=(X2+1)(X3X2+1X2+X)1X(+2)X(+)=a1,P(X0/a1(X+appso.)uS1>L.nodsnsnooniscu´errpausecnerr1=diS.drP,ilexisteunentiretileuqxex=.iaResinP.deplDe,sussexienuticareden)il,X(xid1=a=Πdsracntde´etaesxino,srolA.0>de´rgX)P(e:ircr´eutpeti=PdadXtioi.noSC[X]dede+...+a0tQetuqleli,PsixePrQ.osop=(ePx)XtsexiS.eedenicar.C+λ)Qxirlaolorgelals´=PX(tie´Onfauve.xdanitX=O.no=λan)x(PerP.)Qx.P+λporotisitnλtCleuq:e=PX(sPparXx.Onobtieonisiv.DCtx]e[XCPtioS.R=DteC=B,onaQ)=ddeg(etd==D)R(duoR)geD(CoR.edmmC)BDQ=.D+Q(anOQB=AC=R+nicit´e.(X+2).U2XX+1+)(=2X1+()0e=aestlsoxi´entxuagyxuaa`,jroldrepr`es.4
A = ( Q 1 + Q 2 ) B + A 2 . Si d ( A 2 ) < d ( B ), on prend : Q = Q 1 + Q 2 et R = A 2 . Sinon, on recommence. On obtient pour un i : A = ( Q 1 + Q 2 + ... + Q i ) B + A i , avec d ( A i ) < d ( B ). On prend Q = Q 1 + Q 2 + ... + Q i et R = A i . Remarque. On a ainsi un algorithme pour trouver Q et R . On voit que si A et B sont a coefficients dans R (resp. Q ),ilenestdemeˆmede Q et R . ` Exemple. A = X 4 + X 3 + 1 et B = X 2 + 1.
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