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Rousselet Romain GC5 Juin 2007 ANNEXES 1 Rousselet Romain – Elève ingénieur de 5ème année INSA de Strasbourg - Spécialité Génie Civil Juin 2007 Projet de Fin d'Etudes : Modélisation de l'Erosion Interne dans les Barrages en Remblai ANNEXES Rupture du barrage de Teton Tuteur entreprise : Jean-Robert Courivaud, Ingénieur EDF Tuteur INSA de Strasbourg : Abdellah Ghenaim, Professeur des Universités

  • presentation du modele du cemagref

  • loi de fick

  • uniformité axiale

  • ratio du temps d'érosion

  • temps d'érosion

  • vitesse moyenne dans le volume de fluide diphasique

  • loi de comportement quadratique en vitesse

  • comportement


Publié le : vendredi 1 juin 2007
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Rousselet Romain
GC5
èmeRousselet Romain – Elève ingénieur de 5 année
INSA de Strasbourg - Spécialité Génie Civil


Juin 2007
Projet de Fin d’Etudes :
Modélisation de l’Erosion
Interne dans les Barrages en
Remblai
ANNEXES


Rupture du barrage de Teton


Tuteur entreprise : Jean-Robert Courivaud, Ingénieur EDF

Tuteur INSA de Strasbourg : Abdellah Ghenaim, Professeur des
Universités

Juin 2007 ANNEXES 1 Rousselet Romain
GC5


SOMMAIRE


A.1. PRESENTATION DU MODELE DU CEMAGREF ........................................................ 3

A.2. PRESENTATION DU LOGICIEL RENARD DU CEMAGREF .................................. 11

A.3. MESURE DU COEFFICIENT K [11]............................................................................ 14 d

A.4. CRITIQUES ENVOYEES AUX NORVEGIENS CONCERNANT L’ESSAI 3-03 ...... 17

A.5. FICHE DE CAS TEST DE L’ESSAI NORVEGIEN 3-03.............................................. 18

A.6. FICHE DE CAS TEST DE LA RUPTURE DE TETON ................................................ 34

A.7. FICHE DE CAS TEST DE LA RUPTURE DE BALDWIN HILLS .............................. 58

A.8. FICHE DE CAS TEST DE LA RUPTURE DE APISHAPA .......................................... 70

















Juin 2007 ANNEXES 2 Rousselet Romain
GC5
A.1. PRESENTATION DU MODELE DU CEMAGREF

A.1.1 Simplification des équations de Navier-Stokes

Ces lois de comportement sont assez basiques, mais elles produisent une simple
description du comportement d’un écoulement turbulent à deux phases. Des modèles
sophistiqués sont possibles. Cependant, des modèles de turbulence d’une sophistication
considérable sont désormais utilisés pour des écoulements à une seule phase, mais ceci ne
peut être appliqué pour les écoulements à deux phases impliquant des particules lourdes de
concentration variante. Les équations de Navier-Stokes permettent de simuler un
comportement d’un écoulement à deux phases mais les auteurs ont cherché à les simplifier.
Pour ce faire, l’idée a été de réaliser un développement asymptotique des équations de
Navier-Stokes en 1/Re où Re est le nombre de Reynolds et de ne conserver que les termes du
premier ordre en 1/Re : ce système est assimilable aux équations RNSP (Reduced Navier
Stokes/Prandtl).

Des hypothèses ont été faites pour cela :

Le trou est un tunnel circulaire de rayon R et de longueur L
Au cours de l’érosion, le rayon présente une uniformité axiale
Le fluide a une loi de comportement quadratique en vitesse
L’eau est incompressible
L’écoulement est suffisamment rapide Re>>1, ce qui permet de réaliser le
développement asymptotique en 1/Re
Pour représenter la concentration, la loi de Fick est utilisée
Les profils de concentration sont supposés constants sur une section
Au niveau de l’interface, les vitesses tangentielles sont continues.

On obtient alors :


(A.1.1)



A.1.2. Le modèle d’érosion par renard

En intégrant le système obtenu sur la section, on aboutit à un modèle de type couche
mince instationnaire asymétrique qu’il est possible de résoudre numériquement.
Cependant, il a été choisi de l’intégrer le long de l’axe pour obtenir une description
monodimensionnelle plus simple. L’hypothèse d’uniformité axiale du rayon permet
d’affirmer que la vitesse moyenne axiale est uniforme le long de l’axe et représente la vitesse
moyenne dans le volume de fluide diphasique : v = u . On obtient alors le système
R
suivant :


Juin 2007 ANNEXES 3
W Rousselet Romain
GC5



(A.1.2)



(A.1.3)



(A.1.4)


où : S= .R²
p
est le gradient de pression
x

En utilisant les équations (3.1) de la partie 3.1 du rapport et (A.1.1), on obtient :


  uR k R  er R b b  = +    t x R u x x  g  R  R
R R 0(t = 0) = x x

Si le rayon est initialement uniforme ( R / x = 0 ), il reste uniforme pendant le début 0
de la phase d’érosion, quand le fluide est une suspension diluée ( 〈〈 donc / x〈〈O(1) ). g
où est la concentration
est la concentration du sol. g
Par conséquent, u est uniforme le long de l’axe x, tout comme le gradient de
R
p p
pression . L est prise de telle manière que = ( p p ) / L où p et p sont in out out in
x x
respectivement les pressions à l’entrée et à la sortie avec p > p . in out

Soit P le gradient de pression :






Juin 2007 ANNEXES 4
¶¶¶¶t-¶¶¶¶¶¶¶tpff¶¶¶f-¶f¶¶¶¶f¶¶¶¶¶¶fr¶f Rousselet Romain
GC5
En supposant que l’écoulement soit en suspension diluée, les expressions (A.1.3) et
(A.1.4) peuvent être réécrites de la façon suivante :


(A.1.5)



(A.1.6)



f
où est la masse volumique du fluide.


(A.1.7)



On pose pour indiquer la vitesse d’érosion référence.

Le temps d’érosion est .

Le ratio du débit de l’écoulement est :
Q 2LVer er=
Q R V0 0 0
où est le débit total des matériaux érodés. On prend alors c pour désigner ref
la fraction volumique de référence. Elle est définie par :

On définit la cinétique du nombre d’érodabilité. C’est un nombre sans dimension
dans l’analyse.
Le ratio du temps d’érosion est :

Pour établir les équations, les variables suivantes sans dimension ont été établies :










Juin 2007 ANNEXES 5
r Rousselet Romain
GC5
Le système ci-dessus peut être repris dans une forme sans dimension :





~ ~ ~ ~ si > b c b c~& m = 
0 sinon 

Des suppositions ont été faites pour un modèle avec une érosion lente et un
écoulement à suspension diluée :

Le nombre de Reynolds est grand :

Le rayon initial est uniforme :

Les cinétiques d’érosion sont lentes :

~ 1 L’écoulement est à suspension diluée : L<< R K 0 er

Les équations (A.1.5) et (A.1.6) se simplifient alors considérablement :

(A.1.8)


~ ~ ~ ~ si > b c b c~& (A.1.9) m = 
sinon 0


(A.1.10)

On note la fraction de volume sortant moyenne. La quantité

sera la fraction de volume sans dimension. Au tout début de la phase

d’érosion, on a : . Ceci conduit à l’évolution de l’équation de la

fraction de volume sortant :
(A.1.11)
Juin 2007 ANNEXES 6
tttt-ttt--t Rousselet Romain
GC5
La loi de comportement du fluide est maintenant nécessaire pour expliciter la relation
entre la vitesse et la pression. Une forte hypothèse est faite :

(A.1.12)
où f est la contrainte tangentielle fluide sur , supposée constante. b
On a donc : et .

La vitesse et l’écoulement sont reliés à la pression et le rayon par (A.1.10) et (A.1.12) :

(A.1.13)
La loi de diffusion est nécessaire afin d’obtenir le coefficient . Cependant, les profils
radiaux de fractions de volume dans les écoulements dans les conduites n’ont pas été étudiés
jusqu’à présent. Par conséquent, sera considéré comme constant dans la suite.


A.1.3. Solution à gradient de pression constant

En supposant que , une seule étape est considérée pour l’évolution de la
pression :
~0 si t < 0~ ~P(t ) =  ~1 si t > 0
En supposant que l’érosion commence immédiatement, la solution des équations
(A.1.8) et (A.1.9) est :

~1 si t < 0~ ~R(t ) = (A.1.14)  ~ ~~ ~+ (1 ) exp(t ) si t > 0 c c

La vitesse et l’écoulement sont reliés au rayon par l’équation (A.1.13) :

(A.1.15)

La fraction de volume devient :


(A.1.16)


A.1.4. Solution à débit constant

Une seule étape est considérée pour l’évolution du débit :


~0 si t < 0~ ~Q(t ) =  ~1 si t > 0

Juin 2007 ANNEXES 7
Gtbb-t Rousselet Romain
GC5
En raison de l’incompressibilité, l’érosion commence immédiatement si .
Les équations (A.1.8) et (A.1.10) peuvent être réécrites sous la forme :

La solution est :



(A.1.17)

avec :


~ Si > 0 , le rayon tend vers une valeur finie : c
~ 1/ 4~R = max c
~ Si = 0 , l’évolution du rayon n’est pas bornée et est donnée par : c

La vitesse et la pression sont reliées au rayon par l’équation (A.1.13) :


La fraction de volume est donnée par l’équation (A.1.11), ce qui donne :


A.1.5. Tentative d’application aux barrages en remblais

Le taux d’érodabilité a une influence significative sur le temps de progression du
renard et sur le développement de la brèche dans les barrages en remblais ou digues. Ceci
fournit une indication sur le temps disponible pour évacuer la population en cas de danger an
aval du barrage et par conséquent, a d’importantes implications dans la gestion de la sécurité
des barrages.
Une fois que l’érosion est initiée et que les filtres sont absents ou non capables de
stopper l’érosion, l’écoulement en fuites concentrées va provoquer une érosion qui va
conduire à la formation d’un tunnel continu (le renard). Le taux de grossissement de ce renard
dépend du gradient de pression et de l’érodabilité du sol mesuré par le coefficient
d’érodabilité k . Un grand élargissement du renard peut former une brèche par effondrement er
du toit situé au-dessus du renard. Le principal problème posé est : Quel est le temps de la
progression du renard et de la formation de la brèche ?

Juin 2007 ANNEXES 8
-ttt Rousselet Romain
GC5
Le temps caractéristique du renard t est défini par l’équation : er

Cette équation peut être réécrite comme suit :


où k est le coefficient d’érodabilité er
est la densité du sol saturé g
est la densité de l’eau w
H est la différence de hauteur d’eau entre la hauteur d’eau supérieure en amont et la w
hauteur d’eau dans le renard.
L est la longueur du renard
g est l’accélération de la pesanteur.


Schéma représentant les différents paramètres

Il est alors possible de proposer une expression pour le temps restant jusqu’à la brèche.
Supposons que la contrainte critique d’érosion et le coefficient d’érodabilité k sont erc
connus par des tests préliminaires de laboratoire.
Supposons aussi que nous connaissons le rayon maximal R du trou dans le collapse
barrage avant effondrement du toit, avec une analyse préliminaire de géotechnique. Après
initiation par érosion régressive, phénomène qui reste loin d’être maîtrisé, la formation du
renard commence avec un rayon initial R . 0

Supposons que nous ne connaissons pas la valeur de R . Nous possédons, cependant, 0
une estimation de la valeur minimale R , R , par la définition de la contrainte critique : 0 min c

2L cR = min
Hw w

Une inspection visuelle peut fournir une estimation du rayon actuel R . La loi d
d’évolution du renard donne une estimation du temps restant avant la formation de la brèche :

Juin 2007 ANNEXES 9
DttggDgt Rousselet Romain
GC5
Cependant, une validation a été tentée sur le cas du barrage de Teton mais le temps
trouvé ne correspondait pas à la réalité.

A.1.6. HET (Hole Erosion Test)

Un essai dont le concept est similaire au pinhole test a été développé. Dans ces essais,
le fluide érodant est projeté à travers un trou axial circulaire.

Hole Erosion Test

L’appareillage permet un contrôle des conditions hydrauliques appliquées le long de
l’interface eau/sol.
Une boite en aluminium de 150 mm de largeur et de hauteur, d’une longueur de
1000mm, a été placée.
Le débit de sortie est contrôlé par une valve et mesurée par un débitmètre. Un
turbidimètre a été installé en aval. Deux jauges de pression étaient montées à chaque
extrémité de la boîte pour mesurer les pressions entrante et sortante (p et p ). Une alvéole a in out
été ajoutée à l’intérieur de la boîte à son côté amont pour assurer un écoulement uniforme.
Un trou cylindrique de 6mm de diamètre a été percé dans l’échantillon de sol
compacté en utilisant une perceuse. Une attention spéciale a été prise pour faire le trou de
façon à éviter tout désordre sur la surface entourant la cavité. Après avoir fermé la boîte, les
chambres à l’entrée et à la sortie furent remplies avec de l’eau simultanément et avec
précaution en laissant l’air être expulsé complètement hors du trou et de la boîte. L’eau était
ainsi dirigée à travers le trou.





Photos de l’essai

Juin 2007 ANNEXES 10

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