L1 Analyse Resume Preponderance et equivalence

Publié par

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 Analyse Resume Preponderance et equivalence 10/08 1 Introduction L'approximation de Taylor est meilleure quand x se rapproche de a, et meilleure quand le degre de l'approximation augmente. On va donner un sens precis a cette affirmation a l'aide de deux nouvelles notions qu'on va introduire, celle d'equivalence et celle de preponderance. L'exemple emblematique d'equivalence est entre sin x et x quand x tend vers 0 (on ecrit sin x ?x?0 x). Un exemple emblematique de preponderance concerne x et ex quand x tend vers +∞ (c'est ex qui est preponderant). 2 Rappels sur les limites La construction lim attend au moins une fonction f et un nombre a et retourne (pas toujours) un reel. La fonction f n'est pas forcement partout definie, le nombre a peut etre infini, ainsi que la limite, ce qu'on resume en ecrivant: lim : (R ? R?)?R ? R? := (f, a) 7? lim x?a f(x). Parfois on ne s'interesse qu'a certaines valeurs de x et pas a toutes, il faut alors preciser aussi l'intervalle, ou plus generalement la partie de R, dans laquelle x varie. Les deux cas principaux sont ceux ou x reste ”a gauche” ou ”a droite” de a: lim g : (R ? R?)?R ? R? := (f, a) 7? lim x?a? f(x).

  • polynome de taylor de fac¸on

  • construction lim

  • produit avec bornee

  • serie de taylor

  • marche nickel

  • juste dans le programme du capes


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 30
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
L1AnalyseR´esume´ 10/08
Pre´ponde´ranceet´equivalence
1 Introduction L’approximation de Taylor est meilleure quandxse rapproche dealddege´rueeruqnaedelliemte, lapproximationaugmente.Onvadonnerunsenspre´cisa`cettearmation`alaidededeuxnouvelles notionsquonvaintroduire,cellede´quivalenceetcelledepr´epond´erance. Lexempleembl´ematiqued´equivalenceestentresinxetxquandxceiro(´nstniters0endvxx0x). x x Unexempleemble´matiquedepr´eponde´ranceconcernexetequandxtend vers +(c’estequi est pr´epond´erant).
2 Rappelssur les limites La construction lim attend au moins une fonctionfet un nombrearuoterteotsap(enujours)unr´eel.La fonctionffoas´ercntmertpadtuone´l,eimonerbenseptanouqec,etiieneˆrteptualimquelinsini,a re´sumeen´ecrivant:
lim : (RR)×RR:= (f, a)7→limf(x). xa Parfoisonnesinte´ressequ`acertainesvaleursdexsslireuareavitnalorfautecisspr´ta`sapteli,setuoe,ll ouplusg´en´eralementlapartiedeR, dans laquellexvraeiL.seedxuac`uxoeuctnosxuapicnirpsxreste a`gaucheou`adroitedea:
limg: (RR)×RR:= (f, a)7→limf(x). xa
limd: (RR)×RR:= (f, a)7→limf(x). + xa Cestroislimitesontdesde´nitionsavecdesepsilonsmaisonade´ja`vuassezdepsilons....
2.1M´ethodespourcalculerunelimite Pour montrerf0: gendarme Si|f| ≤getg0 alorsf0. orptiudcevanrobe:´e gorbeen´etf0f g0 Pour montrerf+gendarme sigfetg+alorsf+. uo:qovretcbaeeennt´i greste loin de 0 (|g|>  >0) etf+∞ ⇒f g+Pour montrerfL
sontira´eOp fLetgM=f+gL+M fLetgM=f gLM fLetgM6= 0=f /gL/M. Composition En pratique, pour la composition, il faut surtout savoir composer avec nos fonctions de base: fL=cosfcosL fL=sinfsinL f L fL=ee fL >0 =lnflnL α α fL >0 =fL .
3Lar`egledeLHˆopital 0 Cestune´nonc´equipermetdeleverdesformesinde´termine´es:ilsagitdecalculerlalimiteduquotient 0 dedeuxfonctionsd´erivablesquandlenume´rateuretlede´nominateurtendenttouslesdeuxvers0. f(x) Exemplef(x) = sinxetg(x) = ln(1 + 2x), et on cherche la limite dequandxtend vers 0. g(x) 0 f f Lare`gledit:si0tend versLaussi., alors g g 0 2f f(0) 1 Dans l’exemple, on calculef(x) = cosxetg(x) =et on trouve0= . 1+2x gg(0) 2 0 0 0f Si par malchancef(a) etg(a) sont nuls, on peut recommencer avec0. g Lanotiond´equivalencevapermettredemieuxcomprendrelepourquoiducommentdelar`eglede LHoˆpital.
4Pr´epond´erance Pr´epond´erant,cestunmotpastre`sutilise´,ilestjustedansleprogrammeduCapes,maisilestjoli.Cest pourdirequunefonctionestinnimentplusgrandequuneautre,etdoncquelautreestne´gligeablepar rapport`alapremie`re.
4.1D´enition On dit que, quandxtend versaR,f(xpaitaprrenniinmesttt)petropa`g(x) (ouf(xligeable)estn´eg devantg(x), ou encoreg(ximninst)ert`aopparrapdnargtnef(x)) si f(x) lim =0. g(x) xa Onpeutnoter¸caf <<gouf(x)<<xag(x).
4.2Pr´epond´erancesstandard α β γu (*) Quandutend vers +, on a (lnu).<< e<< u
(**) Pourq < p, quandxtend versa, on a, pour toutα, q pq p α(xa)<<(xaisnorpe´`freeou)α(xa)<<|xa|.
3 2 Par exemple on a 1000(xa)<<(xa) .
Danslas´eriedeTaylor,chaquetermeestne´gligeabledevantlepre´ce´dent(nonnul):on´ecritjustement lepolynˆomedeTaylordefac¸ona`cequechaquenouveautermesoitn´egligeableparrapport`acequi f(a) 2 pr´ece`de,d`esapr`eslepremiertermenonnul:f(a) +f(a)(xa() +xa) +∙ ∙ ∙. 2
4.3Pr´eponde´ranceetop´erations Addition:lasommededeuxn´egligeablesestn´egligeable.
a << Metb << M=a+b << M.
Multiplication:
a << Metb=ebro´nab << M.
4.4Pre´ponde´ranceetcomposition (vtend vers +: ) u v u << v=e <<e .et
α α u << v=vu <<(α >0),mais
u << v;lnu <<lnv.
Lexponentielleaccentuelesdi´erencesetlelogarithmelesatte´nuee´ventuellementtrop(lapr´eponde´rance estunedi´erencequelelogarithmepeutgommer). 2 32 3 Exemplex+, on ax <<xmais pas ln(x)<<ln(x).
5 Equivalence 5.1De´nition On dit que, quandxtend versaR,f(xntlevauieqt´es)a`g(x) (ouf(xaent`ival´eque)tsg(x)) si f(x) lim =1. xa g(x) Onpeutnoter¸caf(x)xag(x),ou, en sous-entendanta,fg. 0 Exemple sinxx0xr´gsulP.raleen´e,poumentfrevi´dnebaelaavecf(a) non nul, on a 0 f(x)f(a)xaf(a)(xa).
0 Danslesmˆemesconditions,a-t-onf(x)xaf(a) +f(a)(xaortepase,¸caneplibe´dtsecsiamiOu)? le sens qu’on pourrait croire, ce n’est pas plus vrai quef(x)xaf(a) + 3f(a)(xa) (sauf sif(a) = 0). Le truc pertinent de ce genre, c’est:
Pourf´dniinentmeerd´abivenlea, quandxtend versa,f(xerrtieemprauntlelunnonem)est´equiva desase´riedeTaylorena.
Cet´enonce´´eclaire(?)lare`gledeLHoˆpital.
5.2Pre´pond´eranceet´equivalence Enne´gligeantuntermene´gligeableonobtientuntermee´quivalent: u << vu+vv.
5.3Equivalenceetop´erations Pourladditionc¸amarchemoyenetcestdangereux.Ona: 0 0u0 0 uuetvvetL6= 1u+vu+v. v
Voir un exemple avecLte1=cafoo`u¸ire.
Pourlamultiplicationetladivision,c¸amarchenickel:
0 0 00 0u u uuetvv=uvu vet0. v v
5.4 Equivalenceet composition Onretrouvelemeˆmeprincipe:lesfonctionspuissancesnechangentpastropletableau,lelogarithme att´enuelesdie´rences,etlexponentiellelesaccentue,´eventuellementtrop(le´quivalenceestunesortede ressemblance).
Siutend vers +,
uv=lnulnvet
α α uv=uv(αquelconque) mais
u v uv;eevo(lp)e.rinuxeme
6Taylorrevisit´e Pourfeniverleabemin´dtnnie´da, si on noteTyaoldeTege´rdrdesonenˆompolynena, quandxtend n versaedalcnere´if(x)T(xlggiaelbdevena(t)estn´exatseecnere´me´s,tnettecide)pl;prusci´e n+1 (xa) (n+1) (n+1) e´quivalente`af(a) ,du moins sif(a) n’est pas nul. (n+1)!
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.