L1 Analyse Resumes de cours automne

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 Analyse Resumes de cours automne 08 Developpements limites Le developpement limite d'ordre n (en abrege ”DLn”) d'une fonction f au voisinage d'un point a, c'est le polynome de Taylor de degre n de f en a. On ne considere ici que le cas ou f est indefiniment derivable dans un intervalle autour de a. Ce DL est utile pour regler des questions de preponderance ou d'equivalence. Les deux resultats fondamentaux sont: • f est equivalente au premier terme non nul de son DL. • Le reste, c'est-a-dire la difference entre f et son DL d'ordre n, est negligeable devant (x? a)n. Pour calculer le polynome de Taylor de degre n de f en a, normalement, on doit seulement calculer les derivees (jusqu'a la n-ieme) de f en a. Mais pour calculer la derivee n-ieme de f en a, il faut calculer la derivee (n? 1)-ieme de f en x et pas seulement en a. L'objet du chapitre est de decouvrir des methodes permettant de calculer le DL (autrement dit le polynome de Taylor) sans calculer toutes les fonctions derivees. Ce chapitre n'apporte donc rien a la logique de l'approximation de Taylor, et, en ce sens, il est moins important que les autres.

  • serie de taylor de eix

  • regle de calcul pour la serie de taylor

  • serie de f?

  • produit des series de taylor

  • serie de taylor

  • dln

  • serie de taylor correspondante

  • regle de changement d'echelle


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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L1AnalyseR´esume´sdecours D´eveloppementslimit´es
automne08
Lede´veloppementlimit´edordrenLD´eegba´r(nen”) d’une fonctionfau voisinage d’un pointa, c’est lepolynˆomedeTaylordedegre´ndefenaacoseuelciqie`er`uconeidnsOn.felbavire´dtnnimed´estine dans un intervalle autour dea. CeDLestutilepourr´eglerdesquestionsdepr´epond´eranceoude´quivalence.Lesdeuxre´sultats fondamentaux sont:
fL.deulnDsoemrennonmerptreiuqvitse´etualanee n Lesereenceentrladi´er`--aideretc,etsfet son DL d’ordrenbleaiggl´etnes,na(tdevexa) .
PourcalculerlepolynˆomedeTaylordedegre´ndefena, normalement, on doit seulement calculer les d´eriv´ees(jusqua`lande-`ime)efena.Mspaircouuclalrele´da´vireendee`ime-fena, il faut calculer la de´rive´e(ni-)1deme`efenxet pas seulement enarirvmsed´deduoceth´eesod.Lbopitreestjetducha permettantdecalculerleDL(autrementditlepolynˆomedeTaylor)sanscalculertouteslesfonctions de´rive´es.Cechapitrenapportedoncrien`alalogiquedelapproximationdeTaylor,et,encesens,ilest moins important que les autres.
1Se´riedeTayloretope´rations Si on a une fonctionfieeosuvuerrutnintedr´vealnlIavec un pointadeI, on sait ce que sont les polynoˆmesdeTaylordefenaeson,cseˆnmoopylltse n (i)i X f(a)(xa) . i! i=0 Cettesuitedepolynoˆmes,quonappelles´eriedeTaylordefenaluee,netsd´codaeelansrmfo (i)i X f(a)(xa) . i! i=0 Cettes´eriesecomportebienvis-`a-visdenosope´rations,enunsensquonvad´ecouvrir. La somme Lase´riedeTaylordelasommedefetgenare´ssedemmosaltseovri`asalor,eTayiesd X i (xa) (i) (i) (f(a) +g(a)). i! i=0 Cestjusteparcequelad´erive´eies´eivmmosaltsre´dsede-i`emedelasommeei-.esemi` Encons´equence,leDLnd’une somme est la somme des DLn.
Les multiples Las´eriedeTaylorenad’un multipleλfdefTedeolyasaleire´erdestltiplemurrseelocnadtopdn foiavras,` X i (xa) (i) λf(a). i! i=0 Encons´equence,leDLnd’un multiple est le multiple correspondant du DLn. Cestjusteparcequelad´eriv´eeinopserroaledtnademtlesleecpltiulemdi-e`tlpinuumd´eriv´ee i.-i`eme Encombinantadditionetmultiplication(parunnombre),onobtientquelas´eriedeTaylordune combinaisonline´airedefonctionsestlacombinaisonlin´eairecorrespondantedesse´riesdeTaylor. Pourvoiriciuneapplicationline´aire,ilfaudraitmunirlensembledesse´riesdeTaylordunestructure despacevectoriel,cequinestpas`anotreprogramme.Enrevanche,onabienunestructuredespace vectorielsurlensembledespolynoˆmesdedegre´auplusn, et, en effet, si on fixe un intervalle ouvert Iet un pointadeIilacitnol,appncfoontii`quneaufnemie´dtdnine´urblesrivaIassocie son polynoˆmedeTaylordordrenena.eriae´niltse Le produit Las´eriedeTaylorduproduitdefetgenaommerlaslyroedaTvaio`,sadurodeit´essesrisepelt detouslesmonoˆmesobtenusenmultipliantunmonˆomedelas´eriedefriedeledne´saaucevg. Ilestrecommand´edecomprendrequeceproc´ed´econduita`regrouper,pourchaquedegre´n,n+ 1 monoˆmesdedegr´eno,netbenusltmuliiptlanmenooˆemededrge´idelas´eriedefavec celui de degre´nilansdadeieers´g. Cela signifie que pour calculer le DLndef g, on multiple les DLndefetgp,iusemonˆmoeselliubnoso dedegre´strictementsup´erieur`anenxaˆnomsemootudedtugiaastpniioesln(taettnnex; c’est pourquoi il vaut mieux travailler avech=xa). La division Onnedonnepasder`egledecalculpourlase´riedeTaylordunquotient.Onvasentirerendonnant unere`glepourlespuissances:eneet,lequotientestleproduitparlinverse,etlinverseestla puissance (1-)`ime.e ´dtnemeellehceLceahgn Ici,ontraˆıtenotrepremierchangementdevariable,ontraiteralesautresplusloin.Cestlecasou` a´gela0eteonremplacehparλhpose donc. Onfλ:=h7→f(λh).ire´TedeolyaedrAlorslasfλ sobtientenremplac¸anthparλhdans celle defaltidtneedeire´strem.Aufλest X i h i(i) λ f(0). i! i=0 Cela signifie que pour calculer le DLndefλ, on remplacehparλhdans celui def.
2 DLdes fonctions de bases et les feintes correspondantes Nous avons cinq fonctions de base.Pour chacune de ces cinq fonctions on a un pointaryaolastlˆınaeTedri´e,elicafnocnou`o
une feinte pour ramener le cas d’un pointaquelconque au cas du point facile.
Cette feinte commence toujours par poserh:=xa.
2.1 Lafonction exponentielle Pour la fonction exponentielle, le point facile esta´eastl0e:=t0nseolerTeyairde X i x . i! i=0 La feinte pour calculer le DL de l’exponentielle en un pointa6ocsnsieta`opesr=0h:=xat`ererieca´
x a+hh a e=e=e e h cequifaitapparaıˆtrelexpressiona`d´eveloppercommeunmultipledeeeuqilppatuepnoleauquegl`earrl des multiples.
2.2 Lesfonctionscosetsin Pour ces fonctions, le point facile est encorea:=0ss´eetleedaTirsenes0lyropeestronenemivctt 2i X x i (1) (2i)! i=0 et 2i+1 X x i (1). (2i+ 1)! i=0 ix Exercice:calculerdedeuxfac¸onsdie´renteslase´riedeTaylordeepourquoi ces guillemets?. Et
La feinte pour calculer le DL de la fonction cos en un pointa6aposernoists`e=c0h:=xaeircert´`ea
cosx= cos(a+h) = cosacoshsinasinh cequifaitapparaˆıtrelexpression`ade´veloppercommeunecombinaisonlin´eairea`laquelleonpeutappliquer lar`eglecorrespondanteetlescasfaciles.Pourlafonctionsin,cestpareil:
sinx= sin(a+h) = sinacosh+ cosasinh.
2.3 Lafonction logarithme Pour cette fonction, le point facile esta¸afxsnocyli,uedaDu1.upco:=ryaoldeTe´erielascrird´e correspondante: une pour lnx: X i2 (x1) (x1) i+1 (1) =x1+∙ ∙ ∙ i2 i=1 a`laquelleonpr´efe`recellepourln(1+h): X i2 h h i+1 (1) =h+∙ ∙ ∙. i2 i=1
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