L1 MASS Algebre Lineaire Cours fevrier

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 13 fevrier 2006 Operations et matrices elementaires Les trois operations elementaires sur les lignes d'une matrice qu'on a vues qui peuvent trans- former la matrice en une matrice echelonnee en lignes etaient : 1. permutation de deux lignes : Li ? Lj (avec i 6= j) 2. multiplication d'une ligne par un scalaire non nul : Li ? rLi (avec r 6= 0), 3. addition d'un multiple d'une ligne a une autre ligne : Li ? Li + aLj (avec i 6= j). Pour chaque operation elementaire qu'on peut faire sur les lignes d'une matrice A, il existe une matrice carree E telle que l'operation elementaire ait le meme effet que remplacer A par le produit EA. Les matrices E qui correspondent aux operations elementaires dans cette fac¸on s'appellent des matrices elementaires. Si A est de taille m ? n, alors E doit etre de taille m ?m pour que le produit EA reste de taille m ? n. Pour permuter les deux premieres lignes d'une matrice a trois lignes, on fait le produit ? ? 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ? ? ? ? a1 a2 b1 b2 c1 c2 ? ? = ? ? b1 b2 a1 a2 c1 c2 ? ? .

  • operation elementaire

  • matrices elementaires

  • inverse a?1

  • auto-inverse

  • b2 c1

  • l2 ?

  • b2 a1


Publié le : mercredi 1 février 2006
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L1MASS:Alg`ebreLin´eaire
Cours13fe´vrier2006
Op´erationsetmatrices´el´ementaires Lestroisop´erations´ele´mentairessurleslignesdunematricequonavuesquipeuventtrans-formerlamatriceenunematricee´chelonne´eenlignes´etaient: 1. permutationde deux lignes :LiLj(aveci6=j) 2. multiplicationd’une ligne par un scalaire non nul :LirLi(avecr6= 0), 3.additiondunmultipleduneligne`auneautreligne:LiLi+aLj(aveci6=j).
Pourchaqueop´eration´ele´mentairequonpeutfairesurleslignesdunematriceA, il existe unematricecarr´eeEeracnnt´aeila´etmieotpl´eemrreelaioeeltueqetˆelmemelpuqreApar le produitEA.
Les matricesEstnedleeleml´taenesirnsdattec¸afesnocppaquicorrespondentuaox´pretaoisne´ matrices´el´ementaires. SiAest de taillem×n, alorsEedeteialltrˆeitdom×mpour que le produitEAreste de taillem×nstroimenudsea`ecirtai`empruxgnlieserP.rltedeesrpoumuer lignes, on fait le produit     0 1 0a1a2b1b2     1 0 0b1b2=a1a2. 0 0 1c1c2c1c2
Pourmultiplierladeuxie`melignepar3,oupouradditionner5foislapremie`relignea`ladeuxi`eme, on fait les produits :     1 0 0a1a2a1a2     0 3 0b1b2= 3b13b2, 0 0 1c1c2c1c2     1 0 0a1a2a1a2     5 1 0b1b2=b1+ 5a1b2+ 5a2 0 0 1c1c2c1c2     0 1 01 0 01 0 0 Lesmatrices,,etsontdoncdesmatricese´le´mentaires. 1 0 00 3 05 1 0 0 0 10 0 10 0 1 Selonleprincipeentoure´ci-dessus,appliqueruneop´eratione´le´mentaire`alamatriceidentite´ Ia l’effet de remplacerIparEI=E:rer´utumesn.cDopeon oselre´pruoP`aesseamrtciriseuslrl´ementaations´emtneme´le´secirtasmles,neiglsaireE sontcarr´eesdetaillem×m. irtLaetamaecir´le´nemeEco-esrrndpounetbotsilppaneeon´el´ementaireena`tuaenpoe´arit quantlop´eratione´l´ementairea`lamatriceidentit´eI. neusdneigslleurecirtamratiop´eLriseneat´lmenoe´AultiplieeetquememeˆmelarAa` gauche parErediue,qstea--`rc(pmerecalAparEA). Sionenchaıˆneplusieursop´erationse´le´mentairessurleslignesdunematriceA, et les ma-trices´el´ementairescorrespondantsontdisonsE1,E2,E3,E4, cela correspond aux remplacements successifs deAselon : AE1AE2E1AE3E2E1AE4E3E2E1A. Lapremie`reop´eration´ele´mentairequonappliquecorresponda`lamatriceE1qui est la plus proche deAntairecorrespond´pretaoi´nlee´emt.uideLai`uxeoemiordadetelsndorpdonc,us`alapl ` lamatricequiestladeuxi`emedeladroite,etainsidesuite.Enre´sume´:
suneruuep´oeditqilppAl´´eenematernsiomenuirtariata`seceAspond`amcorrerluitlpei Adeitduronprupaheneme´le´secirtamestaira`agcuEsEs1∙ ∙ ∙E2E1. L’ordre des ma-trices´ele´mentairesdansceproduitestlinversedelordredelapplicationdesope´rations ´el´ementaires.
Matrices inversibles D´enition.Une matriceAest diteinversibles’il existe une matriceBavecAB=Iet 1 BA=I. La matriceBest dite l’inversedeAet se noteB=A.
Comme exemples, pour     1 1 1 2 7   A=, C1 1= 0, 1 4 0 0 1 on a     11 0 1471   A=, C1= 01. 1 2 0 01   1 27 407 11 Onv´eriecelaencalculantAA) =( )== (Iilairement 1 41 220 1, etA A=I2, et sim 1 pourCetC. Il existe aussi des matrices non inversibles. Par exemple, un matrice nulle0n’est jamais inversible, parce que son produit avec n’importe quelle matrice est toujours nulle (0B=0et 1 2 B0=0etja)lidmaisitne.e´tuanUeertmpxe,lleatamceriM=r()eneptueˆtreinversible,ca 1 2 pour tout produitM Bqu’on peut faire, les deux lignes deM Bodcnsentroga´es,leM B6=I2. Onad´ej`avuquelesop´erations´ele´mentairessontinversibles,parcequechaqueop´eration ´el´ementairesede´faitparuneautreop´eration´ele´mentairedumeˆmetype.Commecons´equence:
Proposition 1.reislbse.ntmereaionssnvtimseLirta´sece´le
Parexemple,lop´eratione´le´mentaireL2L2+2L1est invertie parL2L22L1ratiop´e.Lon 1 L13L1noe´poitareptilartiesernvL1L1ercsroere´emtniarices´el.Lesmatntsontdaonsp 3 inverses :      1 1 013 01 010 3 E1=, E=. E2=, E=. 1 2 2 10 10 12 1 Lop´erationd´echangeL1L2est auto-inverse. Cela donne   0 1 1 E3=E=. 3 1 0 Quelquespropri´et´esdesinversesquisontsimples`avoir:
1 Th´eor`eme2.L’inverseAd’une matrice inversibleAest unique. 111 The´ore`me3.L’inverseAd’une matrice inversibleAest inversible, et(A) =A. The´ore`me4.SiAetBsont des matrices inversibles, et leur produit existe, alorsABest 111 inversible, et(AB) =B A. T T1 The´ore`me5.transpos´eeaLAd’une matrice inversibleAest inversible, et(A) = 1T (A).
2
Preuves.esoppusneuqh´eorleTe2,or`emoPtnerruomAa deux inversesBetCntsIvl´e.rie BA=IetAC=I. Mais alors on a
B=BI=B(AC) = (BA)C=IC=C.
Donc ces deux inverses deAsone,teˆemltmeAn’a qu’un inverse. 111 PourleThe´ore`me3,quandAest inversible,AetAterv´eniAA=IetA A=I. Selon 1 lad´enitionduninverse,celasutpourqueAsoit l’inverse deA. PourleTh´eor`eme4,ona
111111 (AB)(B A) =A(BB)A=AIA=AA=I,
1111 et un calcul similaire donne (B A)(AB) =I. DoncB Aest l’inverse deAB. T TT PourleThe´ore`me5,onrappellequona(CD) =D Cnioatcsio.Donuqilppanre´pole 111TT T detranspositionaux´equationsAA=IetA A=I, on trouve (A)A=I=I, et T1T TT1T A(A) =I=I. Donc l’inverse deAest (A) .
Matricesinversibles:crite`redurang Lesmatricesinversiblessontcaract´eris´eesparlecrite`rene´cessaireetsusantsuivant:
Th´eore`me6.Une matriceAest inversible si et seulement siAee´enatotserrac
rgA=nombre de lignes deA=nombre de colonnes deA.
Donc une matriceAde taille 2×2 est inversible ssi rgA= 2. Une matriceBde taille 3×3 est inversible ssi rgB=te,3uite.Etasaiibnlsei.desisreiectvonnrcencruan´urmeeetan Leth´eor`emeestuneconse´quencedetroisobservations. 1) Si on transforme une matriceAen une matriceUp´oeditsunerupaatrise,erations´el´emen alorsAest inversible si et seulement siUl’est. 2) SiAlleteiaest´eedcarrn×n, etrgA=n, alorsApeut se transformer en la matrice identite´Ilee´emtnaritno´sncaires.Dopdte´eopunaruiesAest inversible par l’observation 1. T 3) Sinon,AouAtearuestpesoppardrmernsfoiceavecra´eontiels´me´eiatneserenunrtam une ligne de0. Une telle matrice n’est pas inversible (exercice). DoncAn’est pas inversible. Lobservation1estuneconse´quencedesmatricese´le´mentaires.SiontransformeAenUpar desop´erations´ele´mentairessurleslignes,ilexisteunproduitdematrices´el´ementairesF= EsEs1∙ ∙ ∙E2E1tel queU=F AvnreislbseP(orop´ementairessontitamseL.le´secirtisi1)onnsaii queleurproduit(The´ore`me4).DoncsiAest inversible, le produitF A=Ule sera aussi, et siU 11 est inversible, le produitF U=F FA=IA=Auass(ihTelesars4et3).´eor`eme
1 L’algorithme pourAvotshte´m:ipsededo Lalgorithmed´etectesiunematricecarr´eeAest inversible ou non, et quandAest inversible, 1 il calculeA.  1 1 1 Ontravaillesurunematriceparticuli`ereA=1 2 3. 2 4 5 Premie`ree´tape.On juxtaposeAetit´tamaltenediecirIpour former une matrice 3×6 (ou eng´ene´raln×2n) :   1 1 11 0 0   (A|I1 2 3) =0 1 0. 2 4 50 0 1
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