L1 MASS Algebre Lineaire Cours janvier

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 24/26 janvier 2006 Systemes lineaires Systemes lineaires echelonnees Chaque equation d'un systeme lineaire a une variable de tete, qui est la premiere variable qui y apparaıt avec un coefficient non nul. Dans les deux systemes suivants on a encadre la variable en tete de chaque equation. ? ??? ??? x ? 3y + 6z = ?1, 2x ? 5y + 10z = 0, ?8y + 17z = 1 { y + 2z + 2w = 2, 2x + 2y ? z ? w = 2. Un systeme lineaire est dit echelonne si la variable en tete de chaque equation est strictement plus a droite que la variable en tete de l'equation precedente. Les deux systemes ci-dessus ne sont pas echelonnes, mais les systemes suivants le sont. ? ??? ??? 2x1 ? x2 + x3 = 1, x2 ? 2x3 = ?2, x3 = 3, { x + 2y + 4z = 0, z + w = 4, (*) On resout les systemes echelonnes par une methode parfois appelee substitution a rebours. On traite les equations en commenc¸ant par la derniere equation et ensuite en montant les equations une par une. On se sert de chaque equation pour resoudre pour sa variable en tete, et dans la solution trouvee on substitue pour eliminer les variables dont les valeurs sont deja connues (les variables en tete des lignes au dessous).

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  • systeme lineaire

  • variable

  • e3 e3?e1

  • e2 e2?2e1?????????


Publié le : dimanche 1 janvier 2006
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L1MASS:Alg`ebreLin´eaire
Cours 24/26 janvier 2006
Syste`mesline´aires Syst`emeslin´eairese´chelonn´ees Chaque´equationdunsyste`meline´aireaunevraailbedetˆeteaverbairerpae`im,quiestlle quiyapparaˆıtavecuncoecientnonnul.Danslesdeuxsyste`messuivantsonaencadr´elavariable enteˆtedechaquee´quation. x3y+ 6z=1, ( y+ 2z+ 2w= 2, 2x5y+ 10z= 0, 2x+ 2yzw= 2. 8y+ 17z= 1 Unsyste`melin´eaireestdite´no´enhcleueaqqu´eteˆechdelbaitneelisravaenttsirtcmetaoients plusa`droitequelavariableenteˆtedele´quationpre´c´edente.Lesdeuxsyst`emesci-dessusnesont pas´echelonne´s,maislessyst`emessuivantslesont. 2x1x2+x3= 1,( x+ 2y+ 4z= 0, (*)x22x3=2, z+w= 4, x3= 3, Onre´soutlessyst`emese´chelonn´esparunem´ethodeparfoisappele´esuosrebarn`ioutitstub. Ontraiteles´equationsencommenc¸antparladernie`ree´quationetensuiteenmontantlese´quations uneparune.Onsesertdechaque´equationpourre´soudrepoursavariableenteˆte,etdansla solutiontrouve´eonsubstituepoure´liminerlesvariablesdontlesvaleurssontd´ej`aconnues(les variablesenteˆtedeslignesaudessous).Parexemple,pourlesyst`eme`agauchedans(*),onre´sout x3= 3, x2= 2x32    = 232 = 4, x11    Solution :x2= 4. 2x1=x2x3+ 1 x33 = 43 + 1 = 2, 1 1 x1=2x1=2 = 1 2 2 3x1+ 4x22x3= 3, Exercice 1.lzsesy`tmeeevlose´Rx2+ 3x3= 4, 2x3= 4. Souventilyaplusdevariablesquede´quations,commedanslesyste`medroitde(*).Quand cela se passe, il y a des variables, ditesvariables libresnecuaudteˆeailbeetnsenovtra,quin ligne.(Danslesyste`medroitde(*),yetwntvasyun`estmerbil).se´rnEloselbseraaiedvsostn ´echelonn´eavecplusdevariablesquede´quations,onarrive`aexprimerlesdie´rentesvariablesde tˆeteenfonctiondesvariableslibres,maispasplus.Pourlesyst`emedroitde(*),onr´esout:    z=w+ 4, x2y+ 4w16 x=2y4z y y  ()Solutions :=.    zw+ 4 =2y4(w+ 4) w w =2y+ 4w16.
Lasolutionnestpasuniqueetd´ependdedeuxparam`etresinde´pendantsyetw, qui sont les variables libres. Commenotreme´thodedesolutionfaitexprimerlesdie´rentesdeteˆteenfonctiondesvariables libres, on appelle parfoisadtnsed´eseneparvblianeesbmelltbelselseesntˆedteesdveatroiua lignes. Ilconvientder´e´ecrirelessolutionscomme() en utilisant les notations de sommes de vecteurs et multiplication externe de vecteurs       0 0 x xx+axx x 0 0       y+y=y+yy a=ay 0 0 z zz+z zaz Avec ces notations, la solution (tirce´e´)ser       x2y+ 4w162y+ 4w162 416 y y1y+ 0w01 0+ 0     = = =y+w+.       zw0+ 4y1w0+ 41 4 w w0y+ 1w00 1+ 0 ( 2x+ 2yz= 2, Exercice 2.´esoRemtse`elysvlze y+ 2z= 2. Quandonaunsyst`emelin´eaire´echelonn´edernesno´equatinvariables, alorsrdes variables serontdesvariablesentˆetesdesdi´erentes´equations,etilenrestealorsnrvariables libres. Dou`
Lessolutionsdunsyst`emeline´airee´chelonne´derqu´eoitanesnnravlbaipenese´dedtn param`etresinde´pendants.Cesparam`etressontlesnrses,cest-`a-direlavirbaellsbier autresquelesvariablesdeteˆtedesruaeq´.snoit
denr variables
Ope´rations´el´ementaires Onre´duitunsyste`meline´aireg´en´erala`unsyste`me´echelonn´eparunesuitedope´rationsdites ope´rationse´l´ementaires. Il y en a trois types. Ilyatroistypesdope´ratione´l´ementaire. 1.Onpermutedeuxe´quations. 2.Onmultiplie(oudivise)unedes´equationsparunr6= 0 dansR. 3.Onajoute(ousoustrait)unmultipledune´equation`auneautree´quation. Voiciunexempleou`onrendunsyst`eme´echelonne´etconvenableenutilisantlestroistypes dop´eration´el´ementaire. ( (( ( 1 4x+ 7y= 5, x+y= 2, E1!E2E2E24E1x+y= 2,E2E2x+y= 2, 3 −−−−−→x+y= 2,4x+ 7y= 5,3y=3, y=1. Ilnyapasdenotationstandardpourlesdie´rentesope´rationse´l´ementaires.Parfoisonutilise desnotationsquiressemblent`acequiestmarqu´eci-dessus. Lesop´erationse´le´mentairessontinversibles.Pourchaqueope´ration´ele´mentaireilyauneautre quilade´fait.Parexemple,lestroisope´rationsci-dessussontinvers´eespar ( (( ( x+y= 2, x+y= 2,4x+ 7y= 5, x+y= 2,E3E2E2E2+4E1E1!E2 2 −−−−→y=1.3y=3,4x+ 7y= 5, x+y= 2. Deuxsyst`emesline´airessontditsivquenalst´etira´eopontulossemenU.snoieltneˆmssosli ´ele´mentairetransformeunsyst`emeenunsyst`eme´equivalent.Eneet,ilestfaciledevoirpour
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