L1 MASS Algebre Lineaire Cours mars

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 9 mars 2006 Determinants Le determinant d'une matrice carree A est un nombre detA qu'on associe a A qui apparaıt dans beaucoup de formules. Quand les coefficients de la matrice sont donnes, la notation usuelle pour son determinant est le membre de gauche suivant, mais les autres notations sont utilisees. ? ? ? ? ? ? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ? ? ? ? ? ? = det ? ? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ? ? = |A| = detA. Les delimiteurs | | sont reserves aux determinants, et les delimiteurs ( ) et [ ] aux matrices. On dit determinant d'ordre n pour le determinant d'une matrice n? n. (La matrice aussi s'appelle souvent une matrice carree d'ordre n.) Il y a au moins 4 fac¸ons differentes mais equivalentes a definir les determinants, mais aucune d'elles n'est simple. Donc on va concentrer sur le calcul des determinants et sur leurs proprietes principales. Seulement apres cela on donnera une des definitions de determinants, et quelques applications theoriques de cette definition (e.g. la regle de Cramer). Seules les matrices carrees ont des determinants. Determinants d'ordre 1, 2 et 3. Le determinant d'une matrice 1? 1 est son coefficient : ? ?a ? ? = det(a) = a.

  • a32 a33

  • formules pour les determinants de taille superieure analogues aux formules

  • a22 a23

  • deuxieme colonne

  • a21 a22

  • colonne

  • a31 a32

  • determinants


Publié le : mercredi 1 mars 2006
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L1MASS:Alg`ebreLin´eaireCours 9 mars 2006 D´eterminants Len´tdreteanimunemdcecaatrierre´Adetest un nombreAuqa`ecisoasonAaiuqtıˆarapp dansbeaucoupdeformules.Quandlescoecientsdelamatricesontdonn´es,lanotationusuelle poursond´eterminantestlemembredegauchesuivant,maislesautresnotationssontutilis´ees.   a11a12a13a11a12a13   a21a22a23= deta21a22a23=|A|= detA.   a31a32a33a31a32a33 Lesde´limiteurs| |d´uxeretrvsesa´enose´rts()et[]alimiteurteeldse´imantn,s.secirtamxu On ditordntnamieretd´rdenatricuenemntdminatereel´doprun×n. (La matrice aussi s’appelle souvent uneecictrmadee´rraerdron.) Ilyaaumoins4fa¸consdie´rentesmais´equivalentes`ade´nirlesde´terminants,maisaucune dellesnestsimple.Donconvaconcentrersurlecalculdesde´terminantsetsurleurspropri´ete´s principales.Seulementapre`scelaondonneraunedesde´nitionsded´eterminants,etquelques applicationsth´eoriquesdecetted´enition(e.g.lar`egledeCramer). Seuleslesmatricescarr´eesontdesde´terminants.
D´eterminantsdordre1,2et3. Lede´terminantdunematrice1×1 est son coefficient :   a= det(a) =a. On ne distingue pas trop entre une matrice 1×nt.minaeterninuecquso1,ste,´dnoceotnei Led´eterminantdunematrice2×n´ontdes2:rape   a ba b () =det =adbc. c dc d Onad´ej`arencontre´cetteexpressiondanslexercice5.4. Lede´terminantdunematrice3×3 se calcule par laegr`rruSsadeleeeitut´silegr`esle.Cteet uniquementpourlesd´eterminantsdordre3.Elleestfaussepourtoute autre taille. On recopielesdeuxpremiı`erescolonnesdelamatricecommeles4`emeet5`emecolonnesdunematrice augmente´e. ? ? ?a11a12a13a11a12   ? ? ?    ? ? ?    ? ? ?a21a22a23a21a22   ? ? ?    ? ? ?    ? ? ?    a31a32a33a31a32 Lede´terminantestlasommeetdi´erencede6termescorrespondantaux6grandesdiagonales delamatriceaugment´ee.Sp´eciquement,onfaitlasommedes3produitslelongdeslongues diagonales de sens\\\, puis on soustrait les 3 produits le long des longues diagonales de sens ///. (∗∗) detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33. Ilyaceuxquipr´ef`erentajouterdeuxlignesa`lamatriceplutoˆtquedeuxcolonnes,maiscela revienta`lamˆemechose.Avecunpeudexp´erience,onpeutapprendrea`appliquerlar`eglede Sarrussans´ecrireexplicitementlescolonnesoulignessuppl´ementaires.Parexemple:    1 2 31 2 31 2    A== 45 64 54 5 6 7 8 97 8 97 8 detA= 159 + 267 + 348357168249 = 45 + 84 + 961054872 = 0.
Pourquoionnefaitpascommec¸apourlesgrandsd´eterminants.Il y a des formules pourlesd´eterminantsdetaillesupe´rieureanaloguesauxformules() et (∗∗) ci-dessus. Mais dans laformulepourlesd´eterminantsdordre4ilya24termes,etdanscellepourlordre5ilya120 termes. Pour l’ordrenil y an! = 123∙ ∙ ∙ ∙ ∙nret+engisessotermeclentavaLomem.sdeseti´i etlautremoiti´eaveclesignealxclscu.creuofselumruasementlentdappliqI.eltsxerteˆem
Calculded´eterminants Lesdeuxthe´ore`messuivantspermettentdecalculerlesd´eterminantsecacement.
The´ore`me1.terminanLed´ertciteirdtuenamnestrialugnarpeltseeestduiodciecoes diagonaux.
Ceth´eor`emesappliqueauxmatricestriangulairessupe´rieures,auxmatricestriangulaires infe´rieures,etauxmatricesdiagonales: a b cu0 0r0 0 0d e=xadf, v0 =uxz,0s0 =rst.     0 0y zf w0 0t Led´eterminantdunematriceidentit´eestdoncdetI= 1. Par exemple 1 0 0 0 0 1 0 0 detI41= =111 = 1. 0 0 1 0 0 0 0 1 De´crivonscequisepasseaude´terminantquandonfaitdesop´erationse´le´mentairessurseslignes:
Th´eor`eme2.SoitAr´arecicoits,eeetrtamenuA1la matrice obtenue en appliquant une op´eration´ele´mentaireauxlignesdeA. On a detA1islpoe´eyputtdesontiraLiLi+aLj(aveci6=j), detA=detA1yteptsudoienretaop´silLiLj(aveci6=j), 1 rdetA1tsenoitaepytudsp´eriloLiLi. r
Onpeutdonce´valuerund´eterminantenmettantlamatriceenforme´echelonn´ee.Lede´terminant ´evolueselonleThe´ore`me2.Lede´terminantdelamatricee´chelonn´eesecalculeparleTh´eor`eme 1. Par exemple : 1 2 31 23 4 5 6= 036 (L2L23L1etL3L37L1)    7 8 90612 1 23 = 036 (L3L32L2)   0 00 = 1(3)0T(´hoe`rme1e) = 0.
Propri´et´esdud´eterminant Undesinte´reˆtsprincipauxdud´eterminantestlefaitsuivant:
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