L1 MASS Algebre Lineaire Cours mars

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 2 mars 2006 Matrices d'entrees-sorties ou d'inputs-outputs (d'apres C. Simon, L. Blume, Mathematiques pour economistes, De Boeck, 1998, 12.5) Le dernier cours montre que la resolution d'un systeme de Ax = b de n equations a n inconnues est relativement proche de l'inversion d'une matrice A puisque (1) x = A?1b. Pour un vecteur fixe b, il est d'habitude plus rapide de resoudre Ax = b par l'elimination gaues- sienne (et substitution en remontant). Cependant, s'il faut travailler avec plusieurs membres de droite b differents et la meme matrice A, il sera plus facile d'inverser A et utiliser (1). Par exemple, considerons l'exemple du modele lineaire de production du premier cours. Il s'agit d'un modele d'un economie avec n activites de production. Chaque activite produit un seul output avec comme entrees ou inputs les produits des autres activites. Ecrivons xi pour l'output brut du produit i, et soit aij la quantite de ressource i utilise necessaire a la production d'une unite de produit j. Que ci represente la demande des consommateurs pour le produit i. La demande totale pour le produit i est alors ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn + ci, la somme de termes correspondant aux quantites du produit i utilisees dans la production des pro- duits 1, 2, .

  • metal brut

  • produits semi-finis

  • services services publics

  • colonne

  • idem pour la matrice

  • matrice d'entree-sortie

  • demande de consommation


Publié le : mercredi 1 mars 2006
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Source : math.unice.fr
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L1MASS:Alg`ebreLin´eaireCours 2 mars 2006 Matricesdentre´es-sortiesoudinputs-outputs (dapr`esC.Simon,L.Blume,seotchoMnaimtsuqitame´e´ruopse, De Boeck, 1998,§12.5) Lederniercoursmontrequelar´esolutiondunsyste`medeAx=bdentionequa´a`sninconnues est relativement proche de l’inversion d’une matriceApuisque 1 (1)x=Ab. Pourunvecteurxe´bdiparsulose´redehtdesilepuditab,udreAx=btaoiminise-gnua´elparl sienne (et substitution en remontant). Cependant, s’il faut travailler avec plusieurs membres de droiteber´diricemetaˆmmetealnestA, il sera plus facile d’inverserAet utiliser (1). Parexemple,conside´ronslexempledumod`elelin´eairedeproductiondupremiercours.Ilsagit dunmod`eledune´conomieavecncaeuqahC.noitcudunitduroept´vitituesluuoptepro´esdivitact aveccommeentre´esouinputslesproduitsdesautresactivit´es.Ecrivonsxipour l’output brut du produiti, et soitaijnaitaluqrese´tdeursocei´tdeeoductionduneuniece´iassa`errpalulitiens´ produitj. Queciduitpeoruolrrupsametomnscoesedndmadealetnese´rperi. La demande totale pour le produitiest alors ai1x1+ai2x2+∙ ∙ ∙+ainxn+ci, lasommedetermescorrespondantauxquantite´sduproduitipro-ndeslitiees´uudoroitcnadspals duits 1,2, . . . , ndameullsp,atmmsoonscdedeandnocsedsnaD.sruetioisnde´uqlibiredemarch´e (production = demande) on a x1=a11x1+a12x2+∙ ∙ ∙+a1nxn+c1, x2=a21x1+a22x2+∙ ∙ ∙+a2nxn+c2, . xn=an1x1+an2x2+∙ ∙ ∙+annxn+cn. Cesyste`medevient,ennotationmatricielle, x=Ax+c, etpeuteˆtre´ecritdemanie`replusadapte´esouslaforme (2) (IA)x=c. La matriceAndmainesrmtedi´ealededsestparfoisappel´eiaerdsfecaetruesmatrice de tech-nologielangna,e.Nourixonsesdevcenhsitmytalogoteanstonlereuelrerqsp´enectvimeletatsre surunelonguepe´riodedetemps.Lemembrededroitecrivaasert`anuial)2eptuuqzesd(e souvent.Pour´etudierlessolutionsde(2)onutiliselamatriceinverse: 1 x= (IA)c. Remarquons que nous supposonsIAinversible, mais que nous devons aussi supposer que la solution de (2) est positive lorsquecpsnoroercecifiC.ositestptulonoioteusetuh`oteqesald`yph denotresyst`eme´economiqueconduita`produiredesquantit´espositivesdechaquebien.Pour 1 cela, aucun coefficient de la matrice (IA,l´etudedecesystn`eeem´eagit.feDlpsu)neitdotrˆe estcomplique´eparlefaitquetouteslesdonn´eese´conomiquesdumod`elesontcontenuesdansla matriceA. Il est insuffisant de supposer queIAa une matrice inverse positive. Nous devons poser des conditions surA´eesesir´ed´i´etorrpltparenoiluqqumpiiruIA. Apartirdumomento`ulesfacteursdeproductionontdesunite´snaturellesdi´erentes,ilest pluspratiquedelesexprimertoutesentermesmon´etaires,parexempleenmillionsdeuros,dans
unematricedentr´ee-sortie.Danscecase,lecoecient(i, j) de la matrice de technologieAindique combien de millions d’euros de bienineibusdroeudonliil1miuerrpdoopruriseessan´ecsontj. La somme des coefficients de chaque colonne deAednolim1dorpitcuotttdealleneˆucodnoilno deurosduproduitrepr´esent´eparcettecolonne.Puisquenousnousattendonsa`cequechaque activit´edeproductionfasseunprotcomptablepositif,lasommedese´le´mentsdechaquecolonne doitˆetreinfe´rieurea`1.Cecisav`ereˆetreunedesconditionspourunematricedetechnologieAqui garantisse queIAnievirecsotisrpeive.`esspoatemunde
Th´eor`eme1.SoitAenurtamcecir´areen×ndont tous les coefficients sont positifs et la 1 somme des coefficients dans chaque colonne est<1. Alors(IA)qeeu`sdeestxitneeosep des coefficients positifs. Si en plus tous les coefficients deAsont strictement positifs, alors tous les coefficients de 1 (IA)sont strictement positifs.
Leth´eor`emesede´montreenappliquantlam´ethodedespivots(Gauss-Jordan)pourinverser 1 (IAteslesop´erationteneovaytnuqteuo)ofmrdtseseppnaoelonesqulinemele´suqseriat LiLi+aLjouLirLiavecaetredecerationsitedop´ueuqusenanodilpps.ifanQupitos genre`aI, les matrices obtenues ont des coefficients positifs. Pourconcre´tiserlexpose´pre´c´edent,consid´eronsune´economiesimplea`troisindustries,avec commematricedentr´ee-sortie   0,15 0,5 0,25   A= 0,3 0,1 0,4. 0,15 0,3 0,2 Supposons que la demande de consommation fluctue entre    20 10 0    c= 20,etc= 20. 10 20 Quellesvontˆetrelesproductioncorrespondantes? Premie`rement,calculonsIA:   0,850,50,25   IA=0,3 0,90,4. 0,150,3 0,8 Pour inverseIAec´vorilanstrmaciaeguemtne´e   0,850,50,25 10 0   0,3 0,90,1 04 0 0,150,3 0,0 18 0 etutilisonslame´thodedespivotspourre´duireles3premie`rescolonnes`alamatriceidentite´.Le re´sultat,arrondia`latroisi`emed´ecimale,est   1 0 01,975 1,564 1,399   0 1 00,988 2,115 1,366. 0 0 10,741 1,086 2,025 1 Lestroisdernie`rescolonnessont(IAedr´leit´eTh`eort1emlsuose).Nootsnuq,eocmmlepe coefficients sont positifs.   20   Quand la demande de consommation estc= 20, le total des sorties sera 10     1,975 1,564 1,399 2084,77 1     x= (IA)c= 0,988 2,115 1,366 20= 75,72. 0,741 1,086 2,025 1056,79
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