L1 Math I Analyse Fiche

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 – Math I-Analyse – Fiche 3 1 Limites, continuite, derivabilite, Theoreme de Rolle et accroissements finis, 1 Limites, continuite Exercice 1 Montrer que l'application f de R? dans R definie par f(x) = sin(1/x) pour tout x 6= 0 n'a pas de limite quand x tend vers 0. (On pourra utiliser les suites un = 1npi et vn = 12npi+pi/2 .) Exercice 2 Pour chacune des fonctions f suivantes, determiner si f admet une limite en a et le cas echeant calculer cette limite : (i) f(x) = 3x 2 ? 1 4x+ 7 , a = ±∞, (ii) f(x) = x3 ? 1 x2 ? 1, a = 1, (iii) f(x) = x 2 + √ x2 x , a = 0, (iv) f(x) = x√1 + x2 ? 1, a = ±∞; (v) f(x) = 1√1 + x2 ? 1, a = 0, (vi) f(x) = 1√1 + x? 1, a = 0, (vii) f(x) = √ x+ √ x+√x?√x, a = +∞, (viii) f(x) = √ x2 + 5x+ 3? √ x2 ? 1, a = ?∞.

  • derivees - concepts elementaires

  • application continue de l'intervalle

  • celebre constante d'euler

  • unique ?n ?

  • application continue


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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L1 – Math I-Analyse – Fiche 3
1itimLtion,cesetiun
Limites,continuite,derivabilite, TheoremedeRolleetaccroissementsnis,
1
Exercice 1Montrer que l’applicationfdeRdansRraedpeinf(x) = sin(1/x)pour toutx6= 0n’a pas 1 1 de limite quandxtend vers0. (On pourra utiliser les suitesun=etvn=.) n2n+/2
Exercice 2Pour chacune des fonctionsfsiuavtnsed,eetsierinrmfadmet une limite enaet le cas echeantcalculercettelimite: 2 32 3x1x1x 2 (i)f(x) =, a=∞,(ii)f(x) =, a= 1,(iii)f(x) =x+, a= 0, 2 4x+ 7x1x x1 1 (iv)f(x) =, a=∞; (v)f(x) =, a= 0,(vi)f(x) =, a= 0, 2 2 1 +x+1 1x1 1+x1 r q p p √ √ 2 2 (vii)f(x) =x+x+xx, a= +,(viii)f(x) =x+ 5x+ 3x1, a=∞.
Exercice 3Pour chacune des fonctionsfsuivantes calculer la limite defen0: 2 sinxsinx xsin(1/x) (i)f(x) =; (ii)f(x; () =iii)f(x) =. xsin 3xsinx Exercice 4Les applications suivantes deRdansRle-tˆselepnevungloesereetrospsppsadeenonticali continues deRdansR? 1 1 u1(x;) =u2(x) =x|1 +|;u3(x) =xcos(1/x). |x|x Exercice 5iuavtnseostnrviasilesassertionsseDmretreni.se (a) Lasomme de deux fonctions continues en un point est continue en ce point. (b) Lasomme d’une fonction continue en un point et d’une fonction discontinue en ce point est dis-continue en ce point. (c) Lasomme de deux fonctions discontinues en un point est discontinue en ce point. (d) Lasomme de deux fonctions discontinues en un point est continue en ce point. (e) Leproduit de deux fonctions continues en un point est continue en ce point. (f )Le produit d’une fonction continue en un point et d’une fonction discontinue en ce point est dis-continue en ce point.
Exercice 6Soit la fonction f:R→R ½ xE(1/x)six6= 0 x7 1six= 0. DeterminerlensembledespointsxRuofest continue. Tracer son graphe.
2xln|x| Exercice 7tincfoLaeinnodseruR\{1,0}parf(x) = 1xut-eperpaeenogrploteerllˆe x+ 1 continuiteen1?et en 0
Exercice 8Sif:RRest une fonction continue, montrer que|f|est une fonction continue. Lareciproqueest-ellevraie?
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