L1SM Université de Nice Sophia Antipolis Algèbre

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L1SM 2011-2012 Université de Nice Sophia Antipolis Algèbre TD1 : Nombres complexes Exercice 1 : n ∑ i=1 ai = a1 + a2 + · · · + an?1 + an = an?0 + an?1 + · · · + an?(n?2) + an?(n?1) = n?1 ∑ j=0 an?j Les nombres complexes Deux représentations : z = a + ib avec a, b ? R, coordonnées cartésiennes z = ?ei? avec ? ? R+ et ? un angle, coordonnées polaires Pour passer de l'une à l'autre ?ei? = ? cos ? + i? sin ? La somme : (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2) Le produit : (?1ei?1 ) ? ( ?2ei?2 ) = ?1?2ei(?1+?2) ou (a1 + ib1) ? (a2 + ib2) = (a1a2 ? b1b2) + i(a1b2 + b1a2) La puissance : (?ei?)n = ?nein? Le conjugué z = a ? ib = ?e?i? et ses propriétés : z1 + z2 = z1 + z2, z1 ? z2 = z1 ? z2, zn = z n, z = z zz = a2 + b2 = ?2, z + z = 2 Re(z), z ? z = 2i Im(z) b b z z b -b a? -? ? z et son conjugué z Exercice 2 : 1.

  • cos ?2

  • distance de z

  • i12 √

  • sin ?

  • ?ei? avec ? ?

  • demi-plan supérieur


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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L1SM 2011-2012 Université de Nice Sophia Antipolis
Algèbre
TD1 : Nombres complexes
Exercice 1 :
n n−1X X
a = a +a ++a +a = a +a ++a +a = ai 1 2 n−1 n n−0 n−1 n−(n−2) n−(n−1) n−j
i=1 j=0
Les nombres complexes
Deux représentations :
z = a+ib avec a,b∈R, coordonnées cartésiennes zb
iθ +z = ρe avec ρ∈R et θ un angle, coordonnées polaires ρ
iθPour passer de l’une à l’autre ρe = ρcosθ+iρsinθ
θ aLa somme : (a +ib )+(a +ib ) = (a +a )+i(b +b )1 1 2 2 1 2 1 2
iθ iθ i(θ +θ )1 2 1 2 -θLe produit : ρ e × ρ e = ρ ρ e1 2 1 2
ou (a +ib )×(a +ib ) = (a a −b b )+i(a b +b a )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2niθ n inθLa puissance : ρe = ρ e -b z−iθLe conjugué z = a−ib = ρe et ses propriétés :
nnz +z = z +z , z ×z = z ×z , z = z , z = z1 2 1 2 1 2 1 2 z et son conjugué z
2 2 2zz = a +b = ρ , z +z = 2 Re(z), z−z = 2i Im(z)
Exercice 2 :
21. =−2i.
i
2. (2+i)(3−2i) = 2×3−2×2i+i×3−i×2i = 6−4i+3i−2×(−1) = 8−i.
33. (1−i) =−2−2i.
3 3 34. = +i .
1−i 2 2
1+i 15. Pour calculer il faut mettre sous la forme c+di avec c,d∈R.
2−i 2−i
Pour cela on multiplie en haut et en bas par le complexe conjugué.
1 2+i 2+i 2 1 1+i 2 1 1 3Donc = = = + i, et enfin = (1+i)( + i) = + i.
2−i (2−i)(2+i) 5 5 5 2−i 5 5 5 5
9
9 9Exercice 3 : On a (1−i) = (1−i) = (1+i) d’où
7 7 9 16 16(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
= = =
99 9 9 9(1−i) (1−i) (1+i) 2((1−i)(1+i))
Comme la puissance à calculer est grande on passe en coordonnées polaires :
√ √ π 16 π
i 16 i16 8 i4π 8
4 41+i = 2e (faites un dessin), donc (1+i) = 2 e = 2 e = 2 et enfin
7 8(1+i) 2 1
= =
9 9(1−i) 2 2
.
bbz−2
Exercice 4 :
−π1. −4i a pour module 4 et pour argument .
2
√ √ √ −ππ −π i +πi i ( )
4 4 42. On a calculé 1+i = 2e donc 1−i = 2e et−1+i = 2e (faites un dessin)√ √
3π 3πi
4donc −3+3i = 3 2e , le module est 3 2 et l’argument .
4
√ √ √√ √
1+i 3 1 1 3 π π 1+i 3√ √ √3. = (1+i 3) or 1+i 3 = 2( +i ) = 2(cos +isin ). Donc a pour
3+1 3+1 2 2 3 3 3+1
2 π√module et pour argument .
33+1
iθ −iθ4. e −e = 2isinθ.
Exercice 5 :
(a) Im(z)> 0.C’estledemi-plansupérieur,ycomprisl’axedesx:
(b) |z|6 1. C’est l’intérieur du cercle unité, bord compris :
1
(c) |z−2| > 1. C’est l’extérieur, bord non compris, du cercle centré en 2 et de rayon 1 :
z
et donc | |
1 32 2
2π 2π1 i −i
3 3(d) |z| = =|z−1|. Ce sont les deux points e et e :
|z|
1On cherche d’abord les points tels que |z| = .
|z|
1On a le module ρ = , donc ρ = 1, c’est le cercle unité.
ρ
On cherche maintenant les points tels que |z−1| = 1 :
C’est le cercle centré en 1 et de rayon 1.
1-1 0 1 2
2Il faut donc calculer les deux points d’intersection de ce cercle
1avec le cercle unité. On voit facilement que x = et par
2√
3Pythagore y =± .
2
(e) |z−i| >|z +i|. C’est le demi-plan sous l’axe horizontal, axe non compris :
|z−i| est la distance de z à i, i
|z +i| est la distance de z à −i.
Ces deux distances sont égales lorsque z est sur la médiatrice
du segment qui joint i et −i, c’est à dire l’axe horizontal. z
En dessous de cet axe la distance de z à i est plus grande que -i
la distance de z à −i.
(f) |z−1| >|z +i|. C’est le demi-plan à gauche de la médiatrice du segment qui va de−i à 1,
médiatrice non comprise :
|z−1| est la distance de z à 1,
|z +i| est la distance de z à −i. z
Ces deux distances sont égales lorsque z est sur la médiatrice 1
du segment qui joint 1 et −i, c’est à dire la droite y =−x.
À gauche de cette droite la distance de z à 1 est plus grande -i
que la distance de z à −i.
bbbbbbbbbbbExercice 6 :
√ √
π πi i
4 3(a) On passe en coordonnées polaires. On a calculé 1+i = 2e et aussi 1+i 3 = 2e d’où
√ π 2πi π−( ) i3 3on déduit −1+i 3 = 2e = 2e (faites un dessin).
√ 12
24π 8i−1+i 3 12 12 i π( ) 32 e 2 e 2 i3πDonc = = = 2 e =−4.20 √ 20π 10 i5π20 i(1+i) 2 e42 e
θ 2 θ θ θ(b) On utilise les formules avec : cosθ = 2cos −1 et sinθ = 2sin cos . Donc
2 2 2 2

θθ θ θ θ θ θ θ2 i π−( )21+cosθ−isinθ = 1+2cos −1−2isin cos = 2cos cos −isin = 2cos e
2 2 2 2 2 2 2
iθ −iθ i(π−θ) 1 1 iθSi z = ρe alors z = ρe donc −z = ρe et = e . Donc si z = 1+cosθ−isinθ
z ρ
θ θ 1 1 θi π−i ( )22−z = 2cos e et = e
θ2 z 2cos
2
Exercice 7 :
(a) On pose z = x+iy avec x,y ∈R et z = 1.
2 21+x+iy (1+x+iy)(1−x+iy) 1−x −y +2iy1+zAlors u = = = = . Donc2 21−z 1−x−iy (1−x−iy)(1−x+iy) (1−x) +y
(i) u est réel si et seulement si y = 0 c’est à dire z ∈R\{1}.
2 2 2 2(ii) u est imaginaire pur si et seulement si 1−x −y = 0 ou encore x +y = 1 c’est à
dire z appartient au cercle unité privé du point (1,0).
2 2 22 |1+x+iy| (1+x) +y
(iii) u est de module 1 si et seulement si |u| = = = 1,2 2 2(1−x) +y|1−x−iy|
2 2 2 2soit (1+x) +y = (1−x) +y ou encore 4x = 0.
1+iy 1+iy
Donc x = 0 c’est à dire z est imaginaire pur et alors u = = et |u| = 1.
1−iy 1+iy
(b) Remarquons que si z = 0,1 ou i il n’y a que deux points distincts qui sont donc alignés.
iz−iOn veut que iz −i et z −i forment entre eux un angle de 0 ou de π, donc que ait
z−i
pour argument 0 ou π, c’est à dire soit un réel. On pose z = x+iy avec x,y ∈R, on a alors
2 2iz−i −y +i(x−1) (−y +i(x−1))(x−i(y−1)) −x−y +1+i(x +y −x−y)
= = =
2 2z−i x+i(y−1) (x+i(y−1))(x−i(y−1)) x +(y−1)
2 2 1 2 1 2 1qui est réel si et seulement si x +y −x−y = 0 ou encore (x− ) +(y− ) = .
2 2 2
1 1 1√Le point d’affixe z est sur le cercle de centre ( , ) et de rayon , cercle qui contient les
2 2 2
points d’affixe 0,1 et i.
√ √ −π n −nπi in
4 4Exercice 8 : On a calculé 1−i = 2e donc (1−i) = 2 e .
Exercice 9 :
(a) Pour le calcul des racines carrées de nombres complexes en coordonnées cartésiennes on
peut utiliser la méthode suivante :
2
Soit c∈C, on cherche x,y ∈R tels que (x+iy) = c,
2 2x +y = |c|
on résoud le système qui a 4 couples (x,y) de solutions2 2x −y = Re(c)
et on garde les deux couples tels que signe(xy) = signe(Im(c)).
6√
2z = 10−4i 6 :q √ √ √
2 210−4i 6 = 10 +(4 6) = 196 = 14. On résoud le système

2 2 √ √x +y = 14 2 2qui a pour solutions x = 12 et y = 2 donc x = ±2 3 et y = ± 22 2x −y = 10
√ √ √ √
et on doit avoir signe(xy) négatif donc finalement z = 2 3−i 2 ou z =−2 3+i 2.

2z = 7+2i 3 : √ √

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