L2 MASS Algebre lineaire Annee

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
L2 MASS - Algebre lineaire Annee 2011-2012 Controle Continu 2 (novembre 2011) Questions de cours. Soit f : V ? V un endomorphisme d'un espace vectoriel V . (1) Donner la definition de vecteur propre associe a la valeur propre ?. Un vecteur propre de valeur propre ? est un vecteur ~x non nul verifiant l'equation f(~x) = ?~x. Soit g : E ? F une application lineaire entre deux espaces vectoriels E et F de dimension finie. (2) Enoncer le theoreme du rang applique a l'application lineaire g. Le theoreme du rang reside dans l'egalite suivante dim ker(g) + rang(g) = dimE . Exercice 1 (Application lineaire). Dans l'espace vectoriel R2[X] des polynomes de degre inferieur ou egal a 2, on considere l'appli- cation suivante { f : R2[X] ? R2[X] P 7? (X ? 1)P ? + 2P . (1) Montrer que l'application f est lineaire. Soient ?, µ ? R and soient P,Q ? R2[X]. On a alors f(?P + µQ) = (X ? 1)(?P + µQ)? + 2(?P + µQ) = (X ? 1)(?P ? + µQ?) + ?.

  • base choisie

  • elements sur la diagonale

  • l2 mass - algebre lineaire

  • coordonnees des images des vecteurs de la base

  • b?

  • x2 dans la base b?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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L2MASS-Alg`ebrelin´eaire
Anne´e2011-2012
ControˆleContinu2(novembre2011)
Questions de cours. Soitf:VVun endomorphisme d’un espace vectorielV. (1)Donnerlad´enitiondevecteurpropreassoci´ea`lavaleurpropreλ.
Un vecteur propre de valeur propreλest un vecteurx~qu´eioatnnlntari´elvnuonf(~x) =x~λ.
Soitg:EFaenutoecsvceselririeetneredxuseappplicationlin´eaEetFde dimension finie. ´ (2)Enoncerlethe´ore`medurangapplique´a`lapplicationline´aireg.
Leth´eor`emedurangr´esidedansle´galite´suivante
dim ker(g) + rang(g) = dimE .
Exercice 1rnel)in´aetaiioplic(Ap. Dans l’espace vectorielR2[Xolspde]sdmeˆoynie´rgedeueire´fnrou´egal`a2,oncosndie`erlpalp-i cation suivante ( f:R2[X]R2[X] 0 P7→(X1)P+ 2P . (1) Montrerque l’applicationfriae´niltsee.
Soientλ, µRand soientP, QR2[X]. On a alors
0 f(λP+µQ) = (X1)(λP+µQ) +2(λP+µQ) 0 0 = (X1)(λP+µQ) +λ.2P+µ.2Q 0 0 =λ(X1)P+λ.2P+µ(X1)Q+µ.2Q | {z }| {z } =λf(P) =µf(Q) =λf(P) +µf(Q),
ce qui montre que l’applicationfaeri.eestlin´ 2 ´ (2) Ecrirela matriceM:=M atB,B(fcalippael)deaeriil´nitnofdans la baseB:={1, X, X}.
L’image des vecteurs de la baseBpar l’endomorphismefest 2 2 f(1) = 2, f(X) =1 + 3X, f(X) =2X+ 4X . 1
La matriceM=M atB,B(f)edise´sedsseamegedesrm´edonncooreoftsrseuctvesebalade Bdans la baseB, soit   21 0 M= 032.   0 04
(3) Calculerla trace trfntnatdeetd´miereltefde l’endomorphismef.
Commelatraceetde´terminantsontind´ependantsdelabasechoisie,onpeutlescalculersur la matriceMme´eels´laurssntlanogaid:e.Latarecseltsamoemed trf= 9. Comme la matriceMos,ee´dnre´prueisttega´ermteanintiedsalpuorudeaigntsrterusluia ´el´ementssurladiagonale: detf= 24.
´0 (4) Ecrirela matrice de passageP:=M atB,B(id) de la famille de vecteurs
dans la baseB.
02 B:={1,(X1),(X1)}
La matrice de passageP=M atB,B(id)aledesabeen´essdctverseuro´meeedcsoodrnoestf 0 0 Bdans la baseB, soit 2 2 1 = 1,(X1) =1 +X,(X11) =2X+X; dou`   11 1   P1= 02.   0 01
1 (5) Calculerl’inversePde la matriceP.
On effectue le calcul de l’inverse de la matricePnted`inamaleaviusere     11 1 10 011 0 1 01 10 0 1 1 1  LL+2L 0 12 0 1 032 20 1 020 1L1L1+L20 1 0 0 1 2  LLL   1 13 0 01 00 10 0 10 01 00 1 0 0 1 Ce qui donne au final   1 1 1 1   P1 2= 0.   0 0 1 2
20 (6)Ende´duirelescoordonn´eesdupolynoˆmeQ:= 32X+ 7Xdans la baseB.   3   2 Lescoordonn´eesdupolynˆomeQ= 32X+ 7Xdans la baseBsont[Q]B=2. Les   7 0 coordonne´esdupolynˆomeQdans la baseBsont obtenues en effectuant le produit suivant     1 1 13 8 1 0    [Q]B=P[Q]B1 2= 02 = 12.     0 0 17 7 Donc 2 2 Q= 32X+ 7X= 8 + 12(X1) + 7(X1). 1 (7)Querepre´sentelamatriceP MP? La matrice obtenue en effectuant le produit 1 P MP=M atB,B(id)M atB,B(f)M atB,B(id) =M atB,B(f) 0 00 0 0 repre´sentelendormorphismefdans la baseB. 1 (8)De´terminerlamatricePP Metne.sidsere´anxmeri`deued 0 L’image des vecteurs de la baseBpar l’endomorphismefest 2 2 f(1) = 2, f(X1) = 3(X1), f((X= 4(1) )X1). 1 La matriceP MP=M atB,B(f)etforesdescm´ee´nnodroomisedseesvdeesagsdurteec 0 0 0 0 la baseBdans la baseB, soit   2 0 0 1   P MP= 03 0.   0 0 4 isanenfaltat´esuelacemtnceetdtri:ullcOetnruvroerec       1 1 121 011 11 1 123 4 1    P MP0 31 2= 02 012 = 01 20 38       0 0 10 04 00 10 0 10 04   2 0 0   = 03 0.   0 0 4
Exercice 2´e)ilitiDga(sibanola. Onconside`relamatriceMM3(R) suivante   1 10   M0:= 22.   0 02 3
(1)Calculerlepolynoˆmecaract´eristiqueχMde la matriceM. Lepolynoˆmecaracte´ristiquedelamatriceMe´ts`lagae: 1X1 0 χM(X) =2X2. 0 02X End´eveloppantparrapporta`ladernie`religne,ontrouve 1X1 χM(X) =(X+ 2)=(X+ 2)(X(X+ 1)2) 2X 2 2 =(X+ 2)(X+X2) =(X(+ 2)X1). (2)De´terminerlespectredeMse-t,cirel`a-demblensspurprroesedlevaedseM. Le spectre deMal`alenest´egrscaniseesbmeledacarecomnˆlypodu:euqitsire´t SpecM={1,2}. ´ (3) Est-ceque la matriceMnonc?(E´ecierprgineotsrtbaellasiouevqumeseltnemese`roe´ht utilisez.) Commelepolynoˆmecaract´eristiqueχMde la matriceMsteinsce,d´malaetricMest trigo-nalisable. (4)D´eterminerlesous-espacepropreE2ssaorrpeavaleurpoci´e`al2. Le sous-espace propreE2avearlproureplicosa`e´as2aripne´dtse 3 E2={XR|M X=2X}.   x   Si on poseX=ytauqnoil´e,M X=2Xdevient   z ( x+y=2x x+y= 0 2x2z=2y⇐⇒ z= 0. 2z=2z Donc, le sous-espace propreE2propleurlava´e`aicossaer2a`gelase´t   1 E2=Vect1.   0 ´ (5) LamatriceM)ilit.zesqduieavgoounsaule´esotr-`eelmleeEemotnncenlrhetsripbea´eilc(e?s Unematriceestdiagonalisablesietseulementsisonpolynoˆmecaracte´ristiqueestscinde´etsi lesdimensionsdessous-espacespropres(nonre´duitsauvecteurnul)sonte´gales`alamultiplicite´ alge´briquedesvaleurspropresdanslepolynoˆmescaracte´ristique.IciladimensiondeE2est 1<2; donc la matriceMn’est pas diagonalisable. 4
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