L2 MAT231 Chapitre Algèbre linéaire Université Joseph Fourier

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Algèbre linéaire L2 – MAT231 – Chapitre 4 – Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2007-2008 1/44 Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année Compléments sur les applications linéaires Matrice associée à une application linéaire Effets d'un changement de base Réduction des endomorphismes (première approche) Déterminant Polynôme caractéristique d'un endomorphisme 2/44 Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année Principaux résultats vus en première année, I Les résultats qui figurent dans les chapitres I Dimension finie I Espaces vectoriels I Calcul matriciel I Systèmes linéaires des notes de cours de première année, voir sont supposés connus. 3/44 Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année Principaux résultats de première année, II I Un résumé des principaux résultats vus en première année (voir également la Feuille d'exercices no 7) et I Les transparents du cours sont disponibles sur 4/44 Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année Chapitre 4, Algèbre linéaire Dans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif de caractéristique 0. On peut supposer qu'il s'agit de R ou de C. 5/44 Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires Compléments sur les applications linéaires Notations. Soient E et F deux K espaces vectoriels. I On note LK(E ,F ) (ou, plus simplement, L(E ,F ) s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps de base), l'ensemble des applications linéaires de E dans

  • groupe de permutations

  • corps de base

  • algèbre linéaire

  • base duale de e?

  • permutation ?

  • application linéaire

  • changement de base


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Algèbre linéaire
L2 – MAT231 – Chapitre 4 – Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2007-2008
Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année
Principaux résultats vus en première année, I
Les résultats qui figurent dans les chapitres I Dimension finie I Espaces vectoriels Calcul matriciel I I Systèmes linéaires des notes de cours de première année, voir
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
sont supposés connus.
Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année
Chapitre 4, Algèbre linéaire
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Dans tout ce chapitre,Kdésigne uncorps commutatif de caractéristique0. On peut supposer qu’il s’agit deRou deC.
Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires
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Proposition Les ensemblesLK(E,F),LK(E), munis des opérationset E (u,v)7→u+v,définie par(u+v)(x) :=u(x) +v(x), (λ,v)7→λv,définie par(λv)(x) :=λv(x), sont des espaces vectoriels surK. De plus, si G est un espace vectoriel surK, la composition des applications, (u,v)7→vu, définit une application deLK(E,F)× LK(F,G)dansLK(E,G)et une application deL(E)× L(E)dansL(E). K KK
Proposition Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie surK, n:=dim(E)et m:=dim(F), alors les espaces vectorielsLK(E,F),LK(E)sont également deet E dimension finie surKet on a 2dim(LK(E,F)) =n×m,dim(LK(E)) =n,dim(E) =n.
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Algèbre linéaire
Principaux résultats vus en première année
Compléments sur les applications linéaires
Matrice associée à une application linéaire
Effets d’un changement de base
Réduction des endomorphismes (première approche)
Déterminant
Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
Algèbre linéaire Principaux résultats vus en première année
Principaux résultats de première année, II
I Un résumé des principaux résultats vus en première année (voir également la o Feuille d’exercicesn 7) et I Les transparents du cours sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires
Compléments sur les applications linéaires
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Notations. SoientEetFdeuxKespaces vectoriels. I On noteLK(E,F)(ou, plus simplement,L(E,F)s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le corps de base), l’ensemble des applications linéaires deEdansF. I On noteLK(E)l’ensemble des applications linéaires deEdans lui-même (endomorphismesdeE). I On noteEl’ensembleL(E,K)des applications linéaires deEdansK(formes linéairessurE). L’ensembleEs’appelle ledualdeE.
Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires
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Plus précisément, soientE={e1, . . .en}une base deEetF={f1, . . .fm}une base deF.
On définit les applications linéairesEij, pour 1imet 1jn, par Eij:EF,parEij(ej) =fietEij(ek) =0 sik6=j. Alors, la famille{Eij|1im,1jn}est une base deLK(E,F).
On définit les formes linéairese, pour 1jn, par j ∗ ∗e:EKe(e) =0 sik6=i. j,parj(ej) =1 etej k ∗ ∗ Alors, la famille{e|1in}est une base deE, appeléebase dualede la baseE. i
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Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires
Transposée d’une application linéaire
Proposition et Définition Étant donnés des espaces vectoriels E et F et u une application linéaire de E dans F, ∗ ∗t on définit une application linéaire de Fdans E, notéeu et appelée transposée de l’application u, par t u(ϕ) :=ϕu pour toute forme linéaireϕF .
On a, t tt tt (u+v) =u+v et(λu) =λu pour tous u,v∈ L(E,F)etλK. De plus, si u∈ L(E,F)et v∈ L(F,G), alors t tt (vu) =uv.
Algèbre linéaire Matrice associée à une application linéaire
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Notations On désigne parMm,n(K)l’ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à I coefficients dansK. C’est unK-espace vectoriel de dimensionmndont une base est donnée par la famille{Mij|1im,1jn}desmatrices élémentaires Mijest la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la i-ième ligne, j-ième colonne qui vaut 1. I On désigne parMn(K)l’ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes. On rappelle que c’est à la fois unK-espace vectoriel et un anneau (non commutatif )pour la multiplication des matrices.
Algèbre linéaire Matrice associée à une application linéaire
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Théorème E Avec les notations précédentes, l’application Mest une application linéaire bijective F (un isomorphisme linéaire) deLK(E,F)dansMm,n(K).
Soit xE un vecteur qui s’écrit x=x1e1+∙ ∙ ∙+xnendans la baseE; on note XEle vecteur colonne des coordonnées de x dans la baseE. Le vecteur u(x)s’écrit u(x) =y1f1+. . .+ymfmdans la baseF; on note YFle vecteur colonne des coordonnées de u(x)dans la baseF.
On peut alors écrire    y1x1  E E =M,càd Y=M(u)X.  F(u) EF F . . ymxn
Algèbre linéaire Effets d’un changement de base
Changements de bases
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Définition 0 0 E On appelle matrice de passage de la baseEà la baseEla matriceet on note P E 0 0 E E P:=M(iE), c’est-à-dire la matrice de l’application identité iE, E E 0 (E,E)(E,E),x7→x
0 E de E dans lui-même. Les colonnes de la matrice Psont les coordonnées des vecteurs E 0 de la baseEdans la baseE.
Proposition 0 0 E E1E La matrice Pest inversible et(P) =P0. E EE
Proposition Soit xE un vecteur dont les coordonnées dans la baseEsont données par le vecteur 0 colonne XEet dont les coordonnées dans la baseEsont données par le vecteur 0 E E colonne X0. Alors, XE=PEeE0E X tX=P X. 0 0 E E E
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Algèbre linéaire Compléments sur les applications linéaires
Bi-dual d’un espace vectoriel
Définition ∗∗ Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On note El’espace dual de l’espace E .Cet espace vectoriel est appelé le bi-dual de E. SiE:={e1, . . . ,en}est une base ∗ ∗ ∗∗∗ ∗∗ ∗∗ de E, on noteE:={e, . . . ,e}la base duale deEet on noteE:={e, . . . ,e} n n 1 1 la base duale deE.
Proposition et Définition ∗∗ Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. L’application c:EE définiepar c(x)(ϕ) :=ϕ(x)xpour tousE, ϕE ∗∗ est un isomorphisme linéaire de E sur E. On l’appelle l’isomorphisme canonique de ∗∗ E avec son bi-dual E.
∗∗ ∗∗∗∗ Étant donnée une baseEde E etE, on a cla base associée de E(ej) =e . j
Algèbre linéaire Matrice associée à une application linéaire
Matrice associée à une application linéaire
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SoientEetFdeux espaces vectoriels, de dimensions respectivesnetm, munis respectivement des basesE={e1, . . . ,en}etF={f1, . . . ,fm}. On définit l’application E M: FLK(E,F)→ Mm,n(K) E E M:u7→M(u) F F E M(u)est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs F u(ej),1jn, dans la baseF,   E c’est-à-direM(u) =moù les coefficientsmsont définis par ij ij F1im,1jn m X u(ej) =mijfipour toutj,1jn. i=1
Avec les notations précédentes, on a E M(E) =M. ij ij F
Algèbre linéaire Matrice associée à une application linéaire
Suite du théorème
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Siu:EFest une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension t∗ ∗ finie, et siu:FEest sa transposée, alors   Ft tE M(u) =M(u). E F
SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels de dimension finie etE,FetGdes bases deE,FetGrespectivement. Soientu:EFetv:FGdes applications linéaires. Alors E FE M(vu) =M(v)M(u) G GF où le produit dans le second membre est le produit des matrices. E En particulier,Mest un isomorphisme de l’anneauLK(E)des endomorphismes deE E dans l’anneauMn(K)des matrices carrées d’ordren=dim(E).
Algèbre linéaire Effets d’un changement de base
Changements de bases et matrices d’applications linéaires
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Proposition Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soit u∈ L(E,F)une 0 application linéaire. On se donne deux basesEetEde l’espace vectoriel E et deux 0 basesFetF. Alorsde l’espace vectoriel F 0 0 E EE EF E M(u) =M(u)MP et0(u) =P0M(u). F FE FF F
Corollaire Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n et u∈ L(E)un endomorphisme de 0 E .SiEetE, il existe une matrice Psont deux bases de E∈ Mn(K), inversible, telle que 0 E −1E M0(u) =P MP. E E
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Algèbre linéaire Effets d’un changement de base
Les diagrammes iEu ui F 0 0 (E,E)−−−−−→(E,E)−−−−−→(F,F)et(E,E)−−−−−→(F,F)−−−−−→(F,F) traduisent les égalités 0 0 E EE E FE M(u) =M(u)PetM0(u) =P0M(u). F FE F FF
Le diagramme commutatif u 0 0 (E,E)−−−−−→(E,E) 0 E M(u) 0 E x 0 00 E EE −1 EyP PyE(P) i i E EE u (E,E)−−−−−→(E,E) E M(u) E traduit les égalités 0 00 E E1E E u=iEuiEetM0(u) = (P)M(u)P. E EE E
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
Valeurs propres – Vecteurs propres
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SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn. Définition Soit u∈ L(E). Le scalaireλKest appelé valeur propre de l’endomorphisme u s’il existe un vecteur xE tel que x6=0et u(x) =λLe vecteur x est dit vecteurx . propre de u associé à la valeur propreλ.
Remarques Le scalaireλKest valeur propre deusi et seulement siKer(uλiE)6={0}. I Le vecteurxest vecteur propre deuassocié à la valeur propreλsi et seulement I sixKer(uλiE)\ {0}.
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
Endomorphismes
diagonalisables
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Théorème et Définition Soit E unK-espace vectoriel de dimension n et soit u∈ L(E)un endomorphisme de E ,de matrice M dans une baseB. Les trois assertions suivantes sont équivalentes. 1.Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u. , . . . ,E ucorrespondant à des valeurs propres 2.Les espaces propres Eλ1λpde E distinctes vérifient E=Eλ⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕λp. 1 E 3.Il existe une baseEde E telle que la matrice M(u)de u dans cette base soit E diagonale. Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u (resp. la matrice M) est diagonalisable.
Corollaire Soit E unK-espace vectoriel de dimension n et soit u un endomorphisme de E qui adment n valeurs propres distinctes dansK. Alors l’endomorphisme u est diagonalisable.
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
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Hypothèse (T) On dira que le corpsKpossède la propriété (T) si, pour toutK-espace vectorielE, de dimension finie, tout endomorphismeudeEpossède au moins une valeur propre, c’est-à-dire qu’il existe au moins un élémentλKtel queKer(uλiE)6={0}.
Théorème SoitKun corps possédant la propriété (T), et soit E un espace vectoriel de dimension finie surK. Alors, tout endomorphisme u de E est trigonalisable.
Remarque.On montrera ultérieurement queCpossède la propriété (T). Le corpsR ne possède pas la propriété (T).
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Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
Réduction des endomorphismes (première approche
Rationale.Étant donné un endomorphismeud’un espace vectoriel de dimension finie Esur un corpsK, il s’agit de trouver une base deEdans laquelle la matrice de l’endomorphisme soit la plus simple possible, c’est-à-dire une matrice diagonale ou une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure), formes qui permettent de résoudre simplement des systèmes linéaires ou des équations différentielles linéaires par exemple.
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
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Définition Siλest valeur propre de u, le sous-espace vectoriel Eλ:=Ker(uλiE)de E s’appelle l’espace propre de u associé à la valeur propreλ(il est, par définition, non réduit à {0}).
Proposition Soit u∈ L(E). Siλ1, . . . , λpsont des valeurs propres de u, deux à deux distinctes, alors les espaces propres associés, sont en somme directe, c’est-à-dire, , Eλ1, . . . ,Eλ p pour tout j,1jp,   \ E+∙ ∙ ∙+E+E+∙ ∙ ∙+E={0}. Eλjλ1λj1λj+1λp
Corollaire Si u∈ L(E)et sidim(E) =n alors u possède au plus n valeurs propres distinctes dans K.
Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes (première approche)
Endomorphismes
trigonalisables
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Théorème et Définition Soit E unK-espace vectoriel de dimension n et soit u∈ L(E)un endomorphisme de E ,de matrice M dans une baseB. Les deux assertions suivantes sont équivalentes. 1.Il existe une baseE={e1, . . . ,en}de E telle que les sous-espaces vectoriels
V1:=Vect(e1),V2:=Vect(e1,e2). . ,, .Vn:=Vect(e1, . . . ,en)
soient stables par u, c’est-à-dire u(Vj)Vjpour1jn. E 2.Il existe une baseEde E telle que la matrice M(u)de u dans cette base soit E triangulaire supérieure, c’est-à-dire de la forme   a11a12∙ ∙ ∙a1n 0a∙ ∙ ∙a 22 2n .   . .. 0 0∙ ∙ ∙ann
Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u (resp. la matrice) est trigonalisable. Les E coefficients diagonaux de la matrice M(u)sont valeurs propres de u dansK. E
Algèbre linéaire Déterminant
Groupe des permutations
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Notations • • PournN, on désigne parNl’ensemble{1,2, . . . ,n}. I n On désigne parSnlegroupe des permutations, c’est-à-dire le groupe des I bijections deNdans lui-même. Notons que le groupeSnan!éléments. n On peut expliciter une permutationσ∈ Snpar un tableau I   1 2∙ ∙ ∙n σ=. σ(1)σ(2)∙ ∙ ∙σ(n) On noteστouστla composition des deux permutationsσetτ; on noteιla I permutation identité. I On appelletranspositionune permutationτqui échange deux indices et qui laisse les autres inchangés. Ainsi, une permutationτest de la formeτ=τijτij(i) =j, τij(j) =i,etτij(k) =k,pourk6=i,k6=j. 2 Pour une permutationτ, on aτ=τ.
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