L2 semestre bis

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
L2, semestre 4 bis, 2010-2011 Probabilites discretes Serie d'exercices 5 Exercice 1 Soit s > 1. On dit que X suit une loi ? de parametre si l'on a ?n ? N? P(X = n) = 1 ?(s) 1 ns , ou l'on a pose ?(s) = +∞∑ n=1 1 ns . Soit donc X suivant une loi ? de parametre s. On tire Y au hasard – c'est a dire avec equiprobabilite – entre 1 et X. a) Pour n, k ? N?, calculer P(Y = k|X = n). b) On pose Z = YX . Montrer que la fonction de repartition FZ est strictement crois- sante sur [0, 1]. c) Soient p, q deux entiers positifs premiers entre eux, avec p ≤ q. Calculer P(Z = pq ). d) On rappelle que ?(n) designe le nombre d'entiers entre 1 et n qui sont premiers avec n. Deduire de ce qui precede une preuve probabiliste de l'identite ?(s+ 1) +∞∑ n=1 ?(n) ns+1 = ?(s). e) Montrer ( +∞∑ n=1 1 n2 )( +∞∑ n=1 ?(n) n3 )( +∞∑ n=1 ?(n) n5 ) = ∫ 3 2 x dx.

  • variable aleatoire

  • probabilite

  • loi jointe du couple de variables aleatoires

  • montrer ?k ?

  • developpement en serie entiere

  • variable de poisson de parametre ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 21
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 4
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´ FEUILLE 5 :DETERMINANTS 1.Claucelesrletd´mierntnaiusstnav:s 1 0 23 4 1 2 3 43 0 1 10 10 0 1 1 10 2 5 4 3 20 2 1 11 0 00 a)b)c)d1 0) 32 2 0 1 0 22 4 5 10 001 0 1 01 2  3 1 0 03 2 4 10 01 0 1 2 11 2 2.sli-slun?tsanivsutsanntsolesvquelPoure`marapsedsruelainrmte´esdleestr 2 2 1a a0a b1aabac1λλ 2 2 a) 1bb b)a0c c)ab1bbc d)λ1λ 2    0 1 2cb b0acbc1c λλ1
1 1 11 cosαcos 2α abc2a2a e)b+c c+a a+b f) cosαcos 2αcos 3α g) 2b bca2b     bc ca abcos 2αcos 3αcos 4α2c2c cab 3.ean´litiudedt´rinimrete´clac,tnauler:lisinEtumalunalt b+c c+a a+b a1+b1b1b1 2 22 22 2 (a)b+c c+a a+b ,(b)b2a2+b2b2 3 33 33 3 b+c c+a a+b b3b3a3+b3 4.reluclaCtsaninrmte´esdleDnsuivants :
λ0 0anλ0 0an 1 11 1 0 1 1λ a) 00b) 0c) 1 λ a10 0λ a2  1 1nλ a aa 0 010n2λ+a1
an a1a1a1a10 0 a b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b . . a a aa 1 2 22.0 . b. .. . . . d)e)f. .) . a1a2a3a3.. . .. . . . . a2 0.. .b   b∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙b a   a1a2a3ana10 0 5.Soient (an)n>1,(bn)n>1(cn)n>1esdesuitroist.snOe´leerrsonbmetd´lere`eidnscotnanimre
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a1 10 0 b c1a2b 2 0 Δn= 0 bn1 cn1a 0 0n a)Trouverunerelationder´ecurrenceliantΔn,Δn1et Δn2. b) Calculer Δndans les cas suivants: i)an=bn=n+ 1, cn= 1 (IntroduireDn= ΔnΔn1). 2 ii)an= 2n+ 1, bn= (n+ 1), cn= 1 (IntroduireDn= Δn(n+ 1)Δn1).
6.drematneeaVnitdn.Sdeo´nermDtionon1+else´rserbma0, a1,∙ ∙ ∙, ansndinOocel.e`er d´eterminant(n+ 1, n+ 1)suivant : 2n 1a0a∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙a 0 0 2n ∙ ∙a 1a1a∙ ∙ ∙ ∙1 1 Δ(a0, a1,∙ ∙ ∙, an) =. .. . . .. . 2n a∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1an nan 1) On suppose que les nombresa0,∙ ∙ ∙, an1Posonssont distincts.P(x) = Δ(a0, a1,∙ ∙ ∙, an1, x). Montrer quePpuaesuldede´rgelypoomnˆeunstnedeoss`quipnracines distinctes que l’on de´terminera. 2)Ende´duireuneexpressiondeP(x) puis de Δ(a0, a1,∙ ∙ ∙, an) en fonction de Δ(a0, a1,∙ ∙ ∙, an1) pour tousa0, a1,∙ ∙ ∙, andistincts ou non. 3) Calculer Δ(a0, a1,∙ ∙ ∙, an). 4) Soientnno+1rembitsistcne´rsdslea0, a1,∙ ∙ ∙, anetn´reesl+n1morbseb0,∙ ∙ ∙, bn. Montrer quilexisteununiquepolynoˆmePdedesuualprge´niiur´evuopqeuotrticompris entre 1 et nla relationP(ai) =bi.
7.SiM´rracecippano,eelypoleelarecomnˆresica´tdeeituqestunematrMet l’on notePM lepolynoˆmed´eniparPM(λ) = det(MλI).   O U SoientUetV(see´rracsecirtmauxden, ntairecseldsuemxnsid`ere).OncoA= et V O   O O B=o(u`Oise´lengdirecmatae´(eacrrn, nSoit) nulle).λerbmonnu.lee´r V O a)Calculerdedeuxmanie`reslede´terminantdelamatrice(AλI)(BλI). b)End´eduirelepolynˆomecaract´eristiquedeAen fonction de celui deU V. c) Montrer queU VetV Uue.oolepˆoynlentemmˆire´qitsacemtcar
8.SoientAune matrice (p, q) etBune matrice (q, pmrnie´etedsnastnO.)lccautpesdleerul matricescarre´esABet deBA. a)Montrerquelonnapasforce´mentdet(AB) = det(BA). b) Montrer que sip > q, alors det(AB) = 0.Est-ce vrai aussi de det(BA) ?
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9.tamrofedntnamierleulnnnomye´rtqieued´dteasdematriceantisuqrenliixepetsMtron (2n+ 1,2n+ 1). 10.fsrotneldsCeumelElisanutirdleseuo,r´raremuivamessst`eessyu`o,stnmengise´dun parame`trere´el.   (m1)x+my+z=m+ 1mx+ (m+ 1)y+mz=m+ 1 2 (a)mx+ 2y+ 3z= 3,(b) (2m1)x+ (m1)ymz=m1   2 (m+ 1)x+my+ (m1)z=m12x4y+ 2mz=m3m4 11.antdesd´eterminatnestxarti,srtuorlveaneresgdtrmaseciviusetna:ssilitunE    a1 2+a0a b a1    (a)aa3 2a ,(b)a2b3a2 a2 +a1 + 2a2aba2b b 12.1) SoitA∈ Mn(Zr´ar(eertamcecienu)n, n)`oeacesiontrerqutneisrM.ceitnesAest inversible dansMn(Z), alors det(A) =±1. 2)R´eciproquement,montrerquesiA∈ Mn(Z) et det(A) =±1, alorsAest inversible (dans 1 Mn(R)) etA∈ Mn(Zlemunndotantunosililarerofani`ereasser)tipo(nu,omrnortreecttdere l’inverse d’une matrice en fonction de la comatrice).
3 3 13.Soitf:R−→Rlippeaun:enieparcationd´ f(x, y, z) = (5xy+ 9z,3x+ 4y, x+y+z) a) Montrer quefutseceriatamrsnereim´dteertee´ianlinatioplicneapAdans les bases cano-niques. b) CalculerP(λ) = det(AλIe´etmrnireelvslaeursdetd)eλpour lesquellesAλIn’est pas inversible. LamatriceAest-elle inversible ? c)D´eterminerunebasedeKer(fλaleurstrcunedesvuo´vee.suop)ahcrdI 3 d) Montrer que l’on obtient une baseBdeRaseslesbsantunise´rne.unseboet 0 ´ e) Ecrire la matriceAdefdans la baseB. 1 ´ f) Ecrire la matrice de passagePesebaladeaconinuq`elabasaB, puis calculerP. Quelle 0 relation a-t-on entreAetA? 0n n g) CalculerApournZdeiune´dtereA. 14.A) Soitn>snocnO.reitnenu2id`erea1,∙ ∙ ∙, an, b1,∙ ∙ ∙, bndse´ree.Slstoi 1b2b3∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙bn a2a2b2+ 1a2b3∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙a2bn a3a3b2a3b3+ 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙a3bn Dn= . . . .... . . . .... ananb2anb3∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙anbn+ 1 1) Montrer queDn= 1. 2) SoientXnetYnpar:nissd´eonnelocsruetcevsel    a1b1    Xn= , Yn=  . . anbn 3
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