LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES

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MEMOIRE presente pour obtenir LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES DE l'UNIVERSITE PARIS-EST par Benoıt Daniel SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE DANS LES VARIETES HOMOGENES Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compose de Gerard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier Frederic Helein Professeur, Universite Paris Diderot Remi Langevin Professeur, Universite de Bourgogne Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro Etienne Sandier Professeur, Universite Paris-Est Creteil Rapporteurs Gerard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University Antonio Ros Professeur, Universidad de Granada

  • merci aux membres cristoliens du laboratoire d'analyse et de mathematiques ap- pliquees

  • courbure moyenne constante dans les varietes homogenes

  • personnels administratifs de l'ufr de sciences economiques et de gestion de creteil

  • varietes

  • theoreme d'immersions isometriques


Publié le : lundi 1 novembre 2010
Lecture(s) : 51
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 65
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´MEMOIRE
pr´esent´e pour obtenir
ˆ `LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER
´DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES
´DE l’UNIVERSITE PARIS-EST
par
Benoˆıt Daniel
`SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE
´ ´ `DANS LES VARIETES HOMOGENES
Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compos´e de
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
´Fr´ed´eric Helein Professeur, Universit´e Paris Diderot
R´emi Langevin Professeur, Universit´e de Bourgogne
Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique
Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro
Etienne Sandier Professeur, Universit´e Paris-Est Cr´eteil
Rapporteurs
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University
Antonio Ros Professeur, Universidad de GranadaRemerciements
J’aimerais tout d’abord exprimer toute ma reconnaissance a` Harold Rosenberg :
c’est lui qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie riemannienne et j’ai beaucoup appris grˆace a` lui.
Sa fac¸on d’aborder les probl`emes est pour moi une grande source d’inspiration. Je le
remercie ´egalement pour ses encouragements constants.
Je suis tr`es honor´e que G´erard Besson, William Minicozzi et Antonio Ros aient
accept´e d’´ecrire les rapports de cette habilitation et je les remercie pour le temps et
l’attention qu’ils ont consacr´es `a cette taˆche. Merci ´egalement `a Frank Pacard pour
´ses conseils, `a Fr´ed´eric H´elein, R´emi Langevin, Etienne Sandier et a` nouveau a` G´erard
Besson, Frank Pacard et Harold Rosenberg d’avoir accept´e d’ˆetre membres du jury.
Mes remerciements vont aussi `a mes autres collaborateurs, Laurent Hauswirth,
William Meeks et Pablo Mira, ainsi qu’`a tous ceux, trop nombreux pour ˆetre cit´es,
avec qui j’ai eu le plaisir de discuter de math´ematiques ou d’autres choses.
Merci aux membres cristoliens du Laboratoire d’analyse et de math´ematiques ap-
pliqu´ees(LAMA)pourl’ambianceaussiamicalequepropice`alarecherchequir`egneau
laboratoireet`aClaudiaLouisonpoursonaidepourlestaˆchesadministratives.Jesalue
aussi les enseignants et personnels administratifs de l’UFR de sciences ´economiques et
de gestion de Cr´eteil ou` j’ai plaisir a` enseigner depuis cinq ans, ainsi que mes amis
et coll`egues que j’ai connus au cours de mon post-doctorat a` l’Instituto nacional de
matem´atica pura e aplicada (IMPA) en 2004-2005.
Je voudrais enfin remercier mes amis pour tous les moments de d´etente extra-
math´ematique et exprimer toute mon affection `a ma famille.
12Table des mati`eres
Introduction 5
1 Les vari´et´es riemanniennes homog`enes de dimension 3 11
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
31.2 Les vari´et´esE (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
21.2.1 Les vari´et´es produitsS (κ)×R : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . 12
21.2.2 Les vari´et´es produitsH (κ)×R : κ<0 et τ =0 . . . . . . . . . 13
1.2.3 Les sph`eres de Berger : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Le groupe de Heisenberg Nil : κ =0 et τ =0 . . . . . . . . . . . 143
1.2.5 Le revˆetement universel du groupe de Lie PSL (R) : κ < 0 et2
τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Mod`ele commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ladiff´erentielle d’Abresch-Rosenbergetl’unicit´e dessph`eresCMCdans
3E (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Le groupe de Lie Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
32 Immersions isom´etriques dans les vari´et´esE (κ,τ) et applications aux
surfaces CMC 23
2.1 Un th´eor`eme d’immersions isom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Surfaces sœurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 22.2.2 Surfaces minimales dans Nil et surfaces CMC dansH ×R . . 293 2
2.2.3 Surfaces jumelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 22.2.4 La famille associ´ee a` une surface minimale dansS ×R ouH ×R 30
2.3 G´en´eralisations et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Surfaces minimales dans le groupe de Heisenberg 35
3.1 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
6663.2 Construction d’anneaux minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Th´eor`emes du demi-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Propri´et´es et classification des graphes minimaux complets. . . . . . . . 42
3.5 Construction de graphes minimaux dont l’image gaussienne est prescrite 44
4 Sph`eres a` courbure moyenne constante dans Sol 453
´4.1 Enonc´e des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 R´eflexion d’Alexandrov et probl`eme isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . 46
4.3 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Unicit´e des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Existence et propri´et´es des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Conclusion et r´esultats ult´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Liste des travaux pr´esent´es 55
4Introduction
L’objet de ce m´emoire est d’´etudier certaines propri´et´es des surfaces minimales ou
a` courbure moyenne constante (CMC) dans les vari´et´es riemanniennes homog`enes de
dimension 3.
Les surfaces minimales et `a courbure moyenne constante constituent un sujet
d’´etude classique en g´eom´etrie diff´erentielle faisant appel `a des techniques provenant
de disciplines tr`es diff´erentes, comme l’analyse complexe, le calcul des variations, la
th´eorie des ´equations diff´erentielles elliptiques, la th´eorie g´eom´etrique de la mesure, la
topologie, les syst`emes int´egrables, la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, etc.
Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales
(c’est-`a-dire`acourburemoyennenulle)sontlespointscritiquesdel’airepourtoutesles
transformationsfixantleurbord,et plusg´en´eralement les surfacesa`courburemoyenne
constante sont les points critiques de l’aire pour les transformations fixant leur bord
et pr´eservant le volume renferm´e par la surface et une surface fixe donn´ee. Lorsqu’on
consid`ere une surface compl`ete sans bord, on demande que les petits domaines de
cette surface v´erifient ces propri´et´es. Les solutions du probl`eme isop´erim´etrique sont
´egalement des surfaces CMC.
3La th´eorie des surfaces minimales deR a d´ebut´e au dix-huiti`eme si`ecle avec les
travaux d’Euler, de Lagrange et de Meusnier. Euler a d´ecouvert le cat´eno¨ıde (surface
minimale de r´evolution) en cherchant la surface d’aire minimale s’appuyant sur deux
cercles parall`eles. Lagrange a ´etabli l’´equation que doit v´erifier une fonction f pour
que la surface d’´equation x = f(x ,x ) minimise l’aire. Meusnier a montr´e que les3 1 2
surfaces minimisant l’aire sont a` courbure moyenne nulle et a d´ecouvert l’h´elico¨ıde
(surface minimale r´egl´ee).
Au dix-neuvi`eme si`ecle, le physicien Plateau a montr´e exp´erimentalement l’exis-
tence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s’appuyant sur un
contour. Par la suite, des math´ematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et
Schwarz se sont int´eress´es aux surfaces minimales. De nouveaux exemples ont ´et´e
d´ecouverts, et Weierstrass a obtenu une description des surfaces minimales en termes
de donn´ees m´eromorphes : c’est la (repr´esentation de Weierstrass ).
Dans la premi`ere moiti´e du vingti`eme si`ecle, les math´ematiciens se sont int´eress´es
au probl`eme de Plateau, c’est-`a-dire trouver une surface d’aire minimale d´elimit´ee par
une courbe ferm´ee donn´ee. L’existence d’une solution a ´et´e d´emontr´ee par les travaux
de Rad´o, Douglas et Courant notamment. Les probl`emes de r´egularit´e ont ensuite ´et´e
´etudi´es entre autres par Osserman, Gulliver et Hildebrandt.
5Plus r´ecemment, les recherches se sont focalis´ees sur les surfaces minimales sans
bordproprementplong´ees:constructiond’exemples(surfacesdeCosta-Hoffman-Meeks
[21, 37], h´elico¨ıdes de genre 1 [39, 35, 81], surfaces de Riemann de genre sup´erieur
[32], etc.), probl`emes de classification et d’unicit´e. Collin [18] a montr´e (utilisant aussi
d’autres r´esultats ant´erieurs, notamment [74, 36, 57, 51]) que le cat´eno¨ıde est l’unique
anneau minimal proprement plong´e, Meeks et Rosenberg [58] ont montr´e (utilisant
notamment la th´eorie de Colding-Minicozzi [14, 15, 16, 17]) que l’h´elico¨ıde et le plan
sont les seules surfaces minimales proprement plong´ees simplement connexes, et enfin
tr`es r´ecemment Meeks, P´erez et Ros [53] ont montr´e (´egalement a` l’aide de r´esultats
ant´erieurs) que les seules surfaces minimales proprement plong´ees de genre 0 avec une
infinit´e de bouts sont les exemples construits par Riemann.
3Parall`element, la th´eorie des surfaces CMC dans R , dans les autres vari´et´es `a
3 3courbure constante (sph`ere rondeS et espace hyperboliqueH ) ou dans une vari´et´e
ambiante quelconque, s’est aussi beaucoup d´evelopp´ee et constitue un th`eme de re-
cherche tr`es actif. Un th´eor`eme fondamental quinousint´eressera plusparticuli`erement
3 3 3est le th´eor`eme de Hopf : les seules sph`eres CMC (immerg´ees) dansR ,H ouS sont
les sph`eres rondes.
Nous allons maintenant nous int´eresser aux surfaces CMC dans les vari´et´es ho-
mog`enessimplementconnexesdedimension3.Onrappellequ’unevari´et´eriemannienne
est dite homog`ene si son grouped’isom´etries agit transitivement dessus,c’est-`a-dire si,
pour tout couple (p,q) de points, il existe une isom´etrie qui envoiep surq. Autrement
dit, toutes les r´egions d’une vari´et´e homog`ene sont ( semblables ). Ces vari´et´es sont
les plus simples a` ´etudier apr`es les vari´et´es a` courbure constante, et constituent un
cadre naturel pour ´etablir des r´esultats de classification et d’unicit´e de surfaces CMC
(a` isom´etries ambiantes pr`es).
Malgr´e quelques travaux importants sur le sujet [42, 26, 64, 30, 63], l’´etude des
surfaces CMC dans les vari´et´es homog`enes (autres que celles a` courbure constante) a
commenc´e `a devenir une th´eorie unifi´ee il y a moins de dix ans, avec les travaux de
Rosenberg [70], Meeks et Rosenberg [55, 54], et Abresch et Rosenberg [1, 2]. D’une
part, Meeks et Rosenberg ont construit des exemples et ´etudi´e la g´eom´etrie et la
topologie des surfaces minimales proprement plong´ees dans des vari´et´es produits de
la forme M ×R. D’autre part, Abresch et Rosenberg ont construit une diff´erentielle
quadratique holomorphe pour les surfaces CMC et ont montr´e l’unicit´e des sph`eres
2 2 2 2CMC (probl`eme de Hopf) dans les vari´et´es produitsS ×R etH ×R (ou`S etH
d´esignent la sph`ere de dimension 2 `a courbure constante et le plan hyperbolique), puis
3dans d’autres vari´et´es homog`enes de dimension 3 not´eesE (κ,τ).
Ces r´esultats ont attir´e l’attention de nombreux chercheurs vers ce sujet, notam-
ment [73, 34, 62, 24, 25, 4, 5, 77, 76, 7, 9, 82, 52, 68, 61, 40, 8]. C’est en particulier
2la th´eorie des surfaces minimales dans H ×R qui a permis a` Collin et Rosenberg
[20] de r´esoudre un important probl`eme ouvert portant sur les applications harmo-
2niques : ils ont construit un diff´eomorphisme harmoniqueC→H , contredisant ainsi
une conjecture de Schoen.
Dans ce m´emoire nous nous int´eresserons a` divers probl`emes relatifs aux surfaces
CMC dans les vari´et´es homog`enes de dimension 3 faisant appel a` des m´ethodes de
6r´esolution vari´ees.
Le chapitre 1 a pour but de pr´esenter les vari´et´es homog`enes que nous´etudierons :
3– d’une part les vari´et´esE (κ,τ), qui sont les vari´et´es simplement connexes dans
lesquelles le th´eor`eme d’Abresch-Rosenberg est valable; ces vari´et´es sont (outre
3 2 2R et les sph`eres rondes) les vari´et´es produitsS ×R etH ×R, le groupe de
HeisenbergNil munid’unem´etriqueinvariante`agauche,lerevˆetementuniversel3
de PSL (R) muni d’une m´etrique invariante `a gauche et les sph`eres de Berger,2
– d’autre part le groupe de Lie Sol .3
Nous exposerons ´egalement bri`evement le th´eor`eme d’Abresch-Rosenberg dans les
3vari´et´esE (κ,τ).
Au chapitre 2 (articles [D1, D2]), nousg´en´eraliserons la correspondance de Lawson
3aux surfaces CMC dans les vari´et´es E (κ,τ). (La correspondance de Lawson est une
correspondanceisom´etrique localeentresurfacesCMCdanslesvari´et´es dedimension3
a` courbure constante; elle est un outil fondamental pour construire des surfaces CMC
ayant des sym´etries.) Nous montrerons l’existence de correspondances isom´etriques
3locales entre les surfaces CMC dans les vari´et´es E (κ,τ) (( surfaces sœurs )). Nous
2 2montrerons aussi que les surfaces minimales dans S ×R et H ×R poss`edent une
famille associ´ee, c’est-`a-dire une famille `a un param`etre de d´eformations isom´etriques
minimales.
Pour cela, nous montrerons d’abord un th´eor`eme d’immersions isom´etriques dans
3les vari´et´esE (κ,τ), qui g´en´eralise le th´eor`eme classique selon lequel les ´equations de
GaussetdeCodazzi constituentunecondition n´ecessaire etsuffisantepourqu’unesur-
faceriemanniennepuisseˆetreimmerg´eeisom´etriquement(localement) dansunevari´et´e
de dimension 3 a` courbure constante. La d´emonstration de ce th´eor`eme repose prin-
cipalement sur des techniques de rep`ere mobile. Ce th´eor`eme a ensuite ´et´e g´en´eralis´e
dans d’autres contextes. La correspondance isom´etrique a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre
3d’autres probl`emes dans les vari´et´esE (κ,τ), notamment un (probl`eme de Bonnet )
[27] et la famille associ´ee pour construire des surfaces minimales proprement plong´ees
2`a courbure totale finie dansH ×R [68, 61].
Au chapitre 3 (articles [D3, DH] et pr´epublication [DMR]), nousnousint´eresserons
13 3).CommedansR ,auxsurfacesminimalesdansle groupedeHeisenbergNil =E (0,3 2
lessurfacesminimalesdansNil sedistinguentbeaucoupdesautressurfacesCMC(par3
exemple il n’existe pas de surface minimale compacte dans Nil alors qu’il existe des3
surfaces CMC H compactes dans Nil pour tout H >0). Il existe aussi des h´elico¨ıdes3
et des cat´eno¨ıdes minimaux dans Nil .3
Nous ´etablirons tout d’abord une formule de repr´esentation ((de Weierstrass )) en
termes d’applications harmoniques a` valeurs dans le plan hyperbolique. Cette formule
est obtenue en ´ecrivant les ´equations relatives aux surfaces minimales a` l’aide de coor-
donn´ees conformes. Elle permet de construire des exemples explicites non triviaux et
d’utiliser la th´eorie des applications harmoniques pour ´etudier l’application de Gauss
des surfaces minimales.
En particulier nous pouvons construire des anneaux minimaux qui ne sont pas
de r´evolution. L’´etude pr´ecise de ces anneaux minimaux permet ensuite de montrer
un th´eor`eme ( du demi-espace vertical ) en utilisant la d´emonstration classique du
73th´eor`eme du demi-espace dans R due a` Hoffman et Meeks [38] qui repose sur le
`principe du maximum. A l’aide de ce th´eor`eme du demi-espace et de th´eor`emes de
convergence, nous montrerons que les graphes minimaux complets dans Nil sont en3
2fait des graphes entiers (c’est-`a-dire au-dessus deR tout entier).
Nous utiliserons ensuite ce r´esultat ainsi que la correspondance des surfaces sœurs
obtenue au chapitre 2 et la classification de Fern´andez et Mira [25] pour r´esoudre le
1 2probl`eme de Bernstein pour les surfaces CMC dansH ×R, c’est-`a-dire que nous2
1 2obtiendrons une classification de tous les graphes entiers CMC dansH ×R.
2
Nous montrerons ´egalement d’autres th´eor`emes du demi-espace pour les surfaces
minimales dans Nil et Sol en utilisant des anneaux compacts a` bord. La convergence3 3
de ces anneaux sera ´etudi´ee a` l’aide d’un th´eor`eme de type Collin-Krust [19, 48] sur
les graphes `a courbure moyenne prescrite ou d’un principe du maximum pour les
applications sous-harmoniques.
Enfin, au chapitre 4 (pr´epublication [DM]), nous nous int´eressons aux surfaces
CMC dans le groupe de Lie Sol . Ce groupe de Lie constitue une vari´et´e homog`ene3
simplement connexe de dimension 3 dont le groupe d’isom´etries est de dimension 3,
3et ainsi n’appartient pas a` la famille (E (κ,τ)). L’objectif est d’´etudier le probl`eme de
Hopf dans Sol , c’est-`a-dire de classifier les sph`eres CMC(immerg´ees) dans Sol . Deux3 3
difficult´es importantes apparaissent :
– la m´ethode utilis´ee par Abresch et Rosenberg pour r´esoudre le probl`eme de Hopf
3dansE (κ,τ) ne peut pas se g´en´eraliser a` Sol car ils ont montr´e qu’il n’existe3
pas de diff´erentielle quadratique holomorphe pour les surfaces CMC dans Sol3
3analogue a` celle deE (κ,τ),
– le probl`eme de l’existence-mˆeme de sph`eres CMC se pose : contrairement a` ce
3qui se passe dansE (κ,τ), pour une valeur H donn´ee de la courbure moyenne,
on ne peut pas calculer explicitement les sph`eres CMC H car il n’y a pas de
rotation dans Sol (on ne peut donc pas utiliser une m´ethode de s´eparation de3
variables et chercher l’´equation d’une courbe g´en´eratrice).
NotonsenrevanchequeSol poss`ededeuxfeuilletagesdontlesfeuillessontdesplans3
de sym´etrie, ce qui permet d’appliquer la technique de r´eflexion d’Alexandrov (plans
mobiles) et de montrer qu’une surface CMC compacte plong´ee est n´ecessairement une
sph`ere.
Dans un premier temps, nous´etudierons le probl`eme de l’unicit´e. Nous montrerons
qu’ilexiste, pourtouteslessurfacesCMCH,unediff´erentielle quadratiquesatisfaisant
l’in´egalit´e de Cauchy-Riemann (une condition plus faible que l’holomorphie) a` condi-
tion de supposer l’existence d’une sph`ere S CMC H dont l’application de Gauss estH
un diff´eomorphisme. Ceci permet ensuite de conclure que cette sph`ereS est l’uniqueH
sph`ereCMCH (a`translations pr`es).Remarquonsque,contrairement a`ladiff´erentielle
d’Abresch-Rosenberg, cette diff´erentielle n’est pas explicite : elle est d´efinie en termes
de l’application de Gauss de la sph`ereS .H
Nous´etudieronsensuitelaquestiondel’exitencedessph`eresCMC,parunargument
de d´eformation. Nous partons d’une solution du probl`eme isop´erim´etrique dans Sol3
`pour un petit volume : on obtient une sph`ere CMC H ou` H est grand. A l’aide du0 0
th´eor`eme des fonctions implicites et d’arguments portant sur les domaines nodaux des
8

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