Le systeme de Zermelo–Fraenkel

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Niveau: Supérieur, Master
CHAPITRE III Le systeme de Zermelo–Fraenkel Resume. • On introduit les ensembles purs comme obtenus recursivement a partir de ? avec l'aide de P et ? . • Les ordinaux finis satisfont aux axiomes de Peano, et peuvent etre pris comme representation des entiers naturels par des ensembles. • On peut representer les couples par des paires, puis les fonctions par des ensembles de couples. • A partir de la, de proche en proche, on peut definir pour chaque objet mathematique x une copie x qui est un ensemble pur. Il y a donc beaucoup d'ensembles purs, ce qui legitime l'option de se restreindre a ce type d'ensembles. • Pour les ensembles purs, la signature minimale reduite a ? est raisonnable ; on part donc d'une base axiomatique centree sur la separation pour les formules associees a cette signature. • Pour garantir l'existence de l'ordinal ?, on ajoute un axiome specifique dit de l'infini, et on obtient le systeme de Zermelo Z. • Pour etablir le theoreme de comparaison et garantir l'existence d'ordinaux comme ? + ? ou ?1, on ajoute les axiomes de remplacement qui affirment que l'image d'une correspondance fonctionnelle dont le domaine est un ensemble est aussi un ensemble. • L'introduction d'ensembles par des definitions recursives ordinales est alors valide. • Le systeme de Zermelo–Fraenkel ZF est obtenu a partir de Z en ajoutant les axiomes de remplacement, plus un axiome dit de fondation exprimant que tout ensemble est pur.

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Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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