Le type ensemble

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Niveau: Supérieur, Master
CHAPITRE I Le type «ensemble » Resume. • Frequemment utilises, les ensembles sont des objets mathematiques speci- fiques, munis d'operations et de proprietes qui leur sont propres. Il est donc naturel d'en elaborer une theorie. • Autre argument en faveur d'une theorie des ensembles: l'existence de nombreuses ques- tions mettant en jeu les ensembles et leur taille (equipotence), notamment le probleme du continu sur l'existence ou non d'ensembles de taille intermediaire entre celles de N et de R. • Muni des operations ? et ?, tout ensemble du type P(A) a une structure d'algebre de Boole; inversement, toute algebre de Boole finie est de ce type, ce qui, en un sens, acheve l'etude des ensembles finis. • Faute de pouvoir definir commodement les ensembles a partir d'objets plus primitifs, on recourt a une approche axiomatique. • L'axiome d'extensionnalite affirme qu'un ensemble est determine par ses elements. • Premiere etape (Cantor): axiome de comprehension affirmant que toute propriete donne naissance a un ensemble. • Seconde etape (Frege): echapper au paradoxe de Berry en restreignant la comprehen- sion aux proprietes exprimables par une formule du premier ordre. • Troisieme etape (Zermelo): echapper au paradoxe de Russell en remplac¸ant la compre- hension par la separation; il faut alors reintroduire d'autres axiomes d'existence: paire, union, parties.

  • unique inter- valle

  • proprietes collectives

  • id id

  • momorphismes pour les structures algebriques

  • propriete utilisee pour operer

  • structures topologiques

  • echapper aux paradoxes de berry et de russell mene au systeme de zermelo

  • systeme axiomatique


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 26
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