Les calculatrices sont autorisées

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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1 / 6 Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On désigne par \ l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par _ l'ensemble des nombres rationnels. On note * l'ensemble privé de 0. Etant donné un entier naturel non nul n , on note a b1, n l'ensemble des entiers naturels k tels que 1 k n≤ ≤ . Pour n entier naturel non nul, on note ( )\nM (respectivement ( )1 \n,M ) l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans \ . Etant donné une matrice A , la notation ( ),i jA a= signifie que ,i ja est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note nI la matrice unité de ( )\nM c'est-à-dire, telle que ( ),n i jI a= avec : Pour tout i , , 1i ia = et pour tout i j≠ , , 0i ja

  • propriété

  • entier

  • matrice vérifiant la propriété

  • ?? ??

  • image de l'application linéaire

  • espace vectoriel des matrices colonnes

  • ?? ??

  • base de nr


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On désigne par\l'ensemble des nombres réels, par`l’ensemble des nombres entiers naturels et * par_l’ensemble des nombres rationnels. On note` l’ensemble`privé de 0. Etant donné un entier naturel non nuln, on note1,n l’ensembledes entiers naturelsk telsque 1kn. ote respecn,) Pournentier naturel non nul, on nn(\)(tivement1(\) l’espacevectoriel des matrices carrées ànlignes (respectivement l’espace vectoriel des matrices colonnes ànlignes) à coefficients dans\. Etant donné une matriceA, la notationA=(a)signifie queaest le coefficient de la ligneiet i,ji,j de la colonnejde la matriceA. On notela nmatrice unité de(\)c'est-à-dire, telle quen=(ai,j)avec : n Pour touti,a=1 et pour toutij,a=0 . i,i i,j eJla matriKla matrice On notnce carrée den(\)dont tous les coefficients sont égaux à 1 etn colonne deMdont tous les coefficients sont n,1(\)égaux à 1. n e, ,..., L’espace vectoriel\est rapporté à la base canonique(1e2en).
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Objectifs :Le problème porte sur l’étude de matrices vérifiant une propriété( ). P Dans la partie I, on fait établir des résultats sur une matrice particulière vérifiant la propriété( ). P La partie II conduit, à travers l’étude des matrices vérifiant la propriété( ), à caractériser ces P matrices à l’aide de matrices semblables. Dans la partie III, on construit, à l’aide de produits scalaires, une matrice vérifiant la propriétéP). Les trois parties sont indépendantes les unes des autres. PARTIE I 0 1 0 1 0  1 0 1 0 0      SoitM=0 1 0 0 1M(R). 5   1 0 0 0 1     0 0 1 1 0   2 I.1.Calculer la matrice.2 I.2.Exprimer la matrice+Men fonction des matricesJet .5 5 2 I.3.Exprimer la matriceJen fonction de la matriceJ. 5 5 I.4.Déduire des questions précédentes un polynôme annulateur de. I.5.?Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice I.6.; déterminer cette valeurMontrer quepossède une valeur propre entière (et une seule) propre entière ainsi que le sous-espace propre associé.
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PARTIE II Dans cette partienet sontdes nombres entiers tels que2δn1. On dit qu’une matriceM=mvérifie laie les quatre (i,j)n(R)propriété(P)lorsqu’elle vérif conditions suivantes :  (1)est symétrique  (2)Pour touti1,n,m=0 i,i  (3)Chaque ligne decomporteδcoefficients égaux à 1 et ncoefficients égaux à 0.  (4)Pour tout(i,j)1,nx1,navecijcoefficient, lem=si et0 , i,j  seulementsi, il existe un entierk1,nque telm=m=1 . i,k j,k  L’entierkest alors unique. On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété(P): sim=1, alors pour tout entierk1,non a le produitm m=0 . i,j i,k j,k M. O =mn suppose que la matriceP Soit(i,j)n(R)la propriété vérifie( ). 2 2 II.1.Expression de. On note=(a). i,j II.1.1.Pouri1,n, calculer les coefficientsai,i. II.1.2.Pour(i,j)1,nx1,navecijle coefficient, détermineraselon la valeur i,j dem. i,j 2 II.1.3.Montrer que=JM+dIdest un nombre entier que l’on déterminera. n n n Dans la suite, on note(respectivementϕ) l’endomorphisme deR, de matrice n (respectivement de matriceJ), relativement à la base canoniquee,e,...ede n1 2,n)R. On note n idl’endomorphisme identité deR. n Soitvle vecteur deRdont la matrice colonne des coordonnées relativement à la base canonique n . deRestKn
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II.2.Relation entrenet . II.2.1.DéterminerIm( )., l’image de l’application linéaire II.2.2.Soituun vecteur du noyau defid.En calculant(fDf)(u), montrer queu.est colinéaire à II.2.3.et déterminer le sous-espace propreest une valeur propre deMontrer que correspondant. 2 II.2.4.Déduire des questions précédentes l’égalitén=δ+1. II.3.Valeurs propres de.  Dansla suite de cette questionII.3,λest une valeur propre deavecδet n i i u=x eun vecteur propre deassocié à la valeur propreλ. i=1 n II.3.1.Justifier l’affirmation : il existe une base deR.formée de vecteurs propres de n ) l’égalité II.3.2.Justifierxi=0 .Que vautφu? i=1 2 II.3.3.Montrer queλest racine de l’équation(E):x+x+1δ=0 . II.3.4.On noteaetbles deux racines de l’équationE). On suppose qu’une seule de ces  racinesest valeur propre de, par exemplea. En utilisant la trace de  l’endomorphisme, exprimeraen fonction de. En déduire une impossibilité. Les deux racinesaetbde l’équation(E)sont donc des valeurs propres de. Dans la suite, on supposea>b.
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II.4.Relations portant surr,s,a,bet . On noterla dimension du noyau dea idetsla dimension du noyau deb id. 2 II.4.1.Exprimer(ab)en fonction deδ. r s a1II.4.2. Exprimer.en fonction dele produit matriciel    1 1b1    II.4.3. Endéduire(rs) (ab). en fonction de II.4.4.quelle valeur dea-t-on Pourr=s? Quevalent alorsrets? Dans la suite, on caractérise la matricepar une matrice diagonale semblable à. II.5.Premier cas. On suppose queab_. II.5.1.Montrer quer=s. En déduireδetn. II.5.2.Détermineraetb.et donner une matrice diagonale semblable à II.6.Deuxième cas. On suppose queab_. m* II.6.1.écrit Onab= avecm etq dans`. Montrer que tout nombre premier qui q diviseqdivisem. En déduire quea b`. II.6.2.que Montrerabest un entier impair supérieur ou égal à 3. En notantab=2p+1 * avecp`, exprimerδ. En déduireen fonction deaetben fonction de. 2 2 II.6.3.On notec=ab. Montrer quec divise(c+3) (c5). En déduire que c{3, 5,15. II.6.4. Pourles différentes valeurs dec, donner le tableau des valeurs de,n,a,b,rets.
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PARTIE III 5 rthonormB=e,e,e,e,e. On considère l’espace vectoriel euclidienRrapporté à la base oale(1 2 3 4 5) 5 On note(u w)le produit scalaire de deux vecteursuetwdeR. On considère tous les vecteursuobtenus en ajoutant deux vecteurs distincts deB: i u=e+eavecα ≠ β. iβ III.1.Justifier que l’on définit ainsi 10 vecteursu. i On indexe les vecteursude façon arbitraire :u,i1,10. i i 5 III.2.Soit unendomorphisme deR quiréalise une bijection de la basesur elle-même. B ut(i,j)1,101,10, on a(uiuj)=ψ(ui)ψ(uj)).Montrer que pour tox ( III.3.Calcul des produits sc alaires(uiuj). III.3.1.Pouri1,10, calculeru u. (i i) III.3.2.On suppose queu=e+eet que= +βγ iα βujeαeγavec .Calculer(u u). i j III.3.3.On suppose queu=e+eet queu=e+e,avec les quatre indicesβ, , iβjε tous différents. Calculer(u u). i j III.4.SoitA=aaveca=u u. (i,j)i,j(i j) III.4.1.deÉcrire une combinaison linéaireA, etJ susceptiblede vérifier la 10 10 propriété(P)définie dans la partie II. III.4.2.Justifier que cette matricevérifie la propriété(P). Fin de l'énoncé.
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