Les calculatrices sont autorisees

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont autorisees. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** Ce probleme porte sur l'etude d'une suite double et de differents contextes dans lesquels on retrouve cette suite. On designe par N l'ensemble des entiers naturels, par N? l'ensemble N prive de 0, par Z l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres reels. Pour n ? N, on note [|0, n|] l'ensemble des entiers naturels k tels que 06 k6n. On note Mn+1(Z) l'anneau des matrices carrees d'ordre n + 1 a coefficients dans Z. Pour M ? Mn+1(Z), on note M = (mp,q)(p,q)?[|0,n|]2 ou mp,q est l'element de la ligne p et de la colonne q. Par exemple M ? M2(Z) sera note M = ( m0,0 m0,1 m1,0 m1,1 ) .

  • rayon de convergence de la serie

  • coefficients dans z

  • matrice de passage de la base

  • matrices triangulaires

  • serie

  • espace des polynomes

  • reel des applications de classe c∞


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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Lescalculatricessontautorise´es. **** N.B.Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancea`laclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcisionde lare´daction. Siuncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonc´e,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilae´t´e amen´e`aprendre. **** Ceproble`meportesurl´etudedunesuitedoubleetdedie´rentscontextesdanslesquelsonretrouve cette suite. Ond´esigneparNl’ensemble des entiers naturels, parNl’ensembleNir´vp,parede0Zl’ensemble des entiers relatifs et parResedblemsrrembno.slee´esnl PournN, on note [|0, n|] l’ensemble des entiers naturelsktels que 06k6n. On noteMn+1(Zerdrmstauaednaen)lsdor´eescarriceneiceoca`1+sansdntZ. PourM∈ Mn+1(Z), on noteM= (mp,qo)u`mp,qse´ltladegneli´eelntmepet de la colonne 2 (p,q)[|0,n|]   m0,0m0,1 q. Par exempleM∈ M2(Zrano)set´eM= . m1,0m1,1 PourM∈ Mn+1(Z), on note det(Mel)te´derminantdeMetcom(M) la comatrice deM. R[Xpourset,´eeltnrsceicaeoem`sˆoynolspdecepaeslengise´d]nN,Rn[Xces-oupaesngisselee´d] deR[X´erieuroue´gerg´aeli`nafoˆemdsdeedpslony]n. Les partiesII,IIIetIVelasseulles;reeldenaide´e´utiuetasledesemtionprcel`obetnatnese´dndnep partieInoedhccanudeceseparties.rapaapitseuqenusnadtıˆ PARTIE I Onde´nitlasuitedoubledenombresre´els(ap,q)2par : (p,q)N (i)a0,0= 1 (iitout) pourpN,ap,0= 0 (iii) pourtoutqN,a0,q= 0 2 (ivtout () pourp, q)N,ap+1,q+1=ap,q+ (p+ 1)qp+1,q. Laconside´rationduntableau,danslequellesap,qevce´aspssontdisopindice de ligne etqindice decolonne,pourraser´eve´lerduneutilit´ecertaine. I.1.PourqN, calculera1,q. I.2.Calculera2,1eta2,2. I.3.Pourq>2, exprimera2,qen fonction dea2,q1urlevalareuiedd´.nEeda2,q. I.4.PourpNsid`erel,oncontee´paorrp´iPp:«pour toutqN, on aap,qN». Montrer que pour toutpNi´etroprl,pa´ePpest vraie. I.5.Pourp > q, calculerap,q. I.6.PourpN, calculerap,p. I.7.PournNo,e´dnngisrapeAnlatremadercoircdr´eaerna`erid-a`-tse(c+1nlignes+ 1 eta`n+ 1colonnes), dont le terme de la lignepet de la colonneqestap,q, pour tout 2 (p, q)[|0, n|] . Expliciter les matricesA2,A3,A4etA5.
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PARTIE II Dans cette partie,nl.tureernaitnenuengise´d II.1.SoitM= (mp,q)∈ Mn+1(Z). II.1.1.Montrer que det(M)Z. II.1.2.Montrer quecom(M)∈ Mn+1(Z). 1 II.1.3.On rappelle qu’une matriceMest inversible dansMn+1(Z) si et seulement siM existeetappartient`aMn+1(Z). Montrer queMest inversible dansMn+1(Z) si et seulement si det(M) = 1. II.2.(etiitnsulaO´endBp)pNseededˆynlmoopR[X] par :B0= 1 et pourpN, p1 Q Bp= (Xj). j=0 II.2.1.Montrer que (B0, B1, . . ., Bn) est une base de l’espace vectorielRn[X] ;on notera (B) cette base. n On note (X) la base canonique (1, X, . . ., X) deRn[X]. On notePnla matrice de passage de la base (Xbala(esa`)B) etQnla matrice de passage de la base (Bbala`)(esaX). II.2.2.On prendn= 4, expliciter les matricesP4etQ4. II.2.3.Montrer quePnnaugalrisepue´ireure`acoecientsadsntuesmaneictrrietZ. II.2.4.Calculer det(Pn). II.2.5.Montrer queQnsnadtuesmaneictrrietalrinauge´irsepu`acoeureentseciZ. q P q On noteQn= (βp,qPour tout) .q[|0, n|], on a doncX=βp,qBp. 2 (p,q)[|0,n|] p=0 II.2.6.tnana`EnodnXtsenciecoesrlnedticusparleuresvareim´dteer,sile`β0,q,β1,q,β2,qpour q[|0, n|]. II.2.7.Montrer queQn=An`ouAniced´enieauetsalamrtI.7. PARTIE III On noteFsdectionelassleedrle´ilacasppcepaeslieorctveC]0urn´edssie,+sru[a`teelav dansRcitaoinitlappl.Ond´enφdeFdansFpar : 0 φ(f) =gou`g(x) =xf(x). q q1 20 PourqN, on noteφ=φφ; ainsiφ=φφ(par convention :φ=idF). III.1.euqreeriV´φest un endomorphisme deFliusjrceit?fsE-tilinjectif?Pr´ecresioneluayt-Es. deφ. III.2.roprurspectelesvsrrplaueelvsseteesdreop´eDrmteerinφ. 2 2 III.3.PourfF, expliciterφ(f´etermin).Dduereelonayφet en donner une base. III.4.SoitnN. Montrer qu’il existe des entiersdp,qtels que, pour toutq[|1, n|] et tout q P q p(p) (p) fF, on ait la relation : pour toutxdans ]0,+[,φ(f)(x) =dp,qx f(x`u,o)f p=1 estlad´erive´epedeme`i-f. Onadmetquecetted´ecompositionestunique. ∗ ∗ III.5.On convient qued0,0= 1 et que, pourpNetqN,dp,0=d0,q= 0 etdp,q= 0 sip > q. 2 Montrer que pour tout (p, q)[|1, n|] , on adp,q=ap,q`u,oelsap,qseetnoltsnisd´ermes dans la partieI.
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PARTIE IV IV.1.Soitϕnctiond´lafoeinseruRparϕ(t((exp) = expt)lafoncti`uexpest)1o,xeno-op nentielle. IV.1.1.etD´mier´edeimitentlppmeevoldee´enlrϕ`alne4erdrot= 0. IV.1.2.Pournntiaarvv´rieelevalauedrledae´de1`a4,end´eduirn-emi`eedϕen 0. SoitEun ensemble de cardinaln,nN. On appelle partition deE, tout ensemble de parties non vides deEnuoientsnoltrae´ed,a`xuntoi,desuxdesjdiE. Chaque partie de la partition s’appelle une classe. j IV.2.Pour tout entierjN, on notePnle nombre de partitions deEenjclasses. j 0∗ ∗0 Par convention, on noteP= 1 et, pour toutnNetjN,P=P= 0. 0n0 j IV.2.1.Pourj > n, calculerPn. 1nIV.2.2.CalculerPetPpournN. n n IV.2.3.On supposej>2 etn>1. SoitaE. En distinguant parmi les partitions deEenjclasses, celles pour lesquelles le singleton j j1j {a}paradelenoj,ititestlassunece´rletiusitaleg´Pn=P+jP. n1n1 j 2 IV.2.4.deiueruqpeuotruot(End´j, n)N, on aPn=aj,n, lesaj,ne´dsemretsetlet´nasni dans la partieI. IV.3.On notePnle nombre de partitions deE. Par conventionP0= 1. (n) IV.3.1.Pournnadt1ea`avirer4,calculPnet comparerPn`aϕu`o)(0ϕest la fonction de´nieenIV.1. j IV.3.2.ExprimerPnal`idaesedPn. Dans la suite, on admettra la formule n P k k (1)P=C Pˆome.lenteocseicdstnnibu n+1n k`uosleCnso k=0 IV.3.3.Montrer que pour toutnNon aPn6n!. +PPn n IV.4.PourxR, on notes(x) =xgrelvo.elesasruqcenoe´ir n! n=0 IV.4.1.e´DirdueedIV.3.3.e´uorueire´pustsqu.a1l`gaedocvnrelereyanoas´erieegencedel 0 IV.4.2.deeadi`rlatnerMo(1)que pour|x|<1, on as(x) =s(x) expxo(pnuorrdae´evolerpp ens´erieentie`reexpxdeuehcdyirsesxe´proderleeCauuitdtutesilire`etien.s) IV.4.3.de´dnEerius(x). (n) IV.4.4.Montrer que pour toutnN, on aPn=ϕ(0).
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Findel´enonce´.
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